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07-08第2学期优化设计试卷练习及答案2


一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、

二、名词解释 目标函数 、 约束条件 。 1.凸规划 对于约束优化问题

? 2? ? ?12? 2.函数 f ? x1, x2 ? ? x12 ? x22 ? 4x1x2 ? 5 在 X 0 ? ? ? 点处的梯度为 ? ? ,海赛矩阵 ? 4? ? 0 ? ? 2 ?4?

为? ? ? ?4 2 ?
3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映,因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣, ,同时必须是设计变量的可计算函数 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 洁 。 。 工程实际问题,的基础上力求简

min f ? X ?

s.t. g j ? X ? ? 0 ( j ? 1, 2,3, ???, m)
若 f ? X ? 、 g j ? X ? ( j ? 1, 2,3, ???, m) 都为凸函数,则称此问题为凸规划。 2.可行搜索方向 是指当设计点沿该方向作微量移动时,目标函数值下降,且不会越出可行域。 3.设计空间:n 个设计变量为坐标所组成的实空间,它是所有设计方案的组合 4..可靠度 5.收敛性 是指某种迭代程序产生的序列 ? X k ? k ? 0,1, ????? 收敛于 lim X k ?1 ? X ?
k ??

5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 。 方向作为搜索方向,因此最速下降法又称为 梯度法,其 加速步长 法来确定,此法是指依次迭代的步

收敛速度较 慢

6.非劣解:是指若有 m 个目标 fi ? X ??i ? 1,2 ???, m? ,当要求 m-1 个目标函数值不变坏时,找 不到一个 X,使得另一个目标函数值 fi ? X ? 比 fi ? X ? ? ,则将此 X ? 为非劣解。 7. 黄金分割法:是指将一线段分成两段的方法,使整段长与较长段的长度比值等于较长段 与较短段长度的比值。 8.可行域:满足所有约束条件的设计点,它在设计空间中的活动范围称作可行域。 9.维修度 略

8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 ?f ? X 0 ? ? 0 必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 约束优化问题,这种方法又被称为 升维 法。 优化问题变成 无

10 改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张,收缩,压缩 11 坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12.在选择约束条件时应特别注意避免出现 不必要的约束 。 空间中描述出来,为了在 n 的方法。 建立搜索方向, 和 相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少

三、简答题 1.什么是内点惩罚函数法?什么是外点惩罚函数法?他们适用的优化问题是什么?在构 造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同? 1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边 界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法 的惩罚因子是由大到小,且趋近于 0 的数列。相邻两次迭代的惩罚因子的关系为

13.目标函数是 n 维变量的函数,它的函数图像只能在 n+1, 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 14.数学规划法的迭代公式是 计算最佳步长 15 协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 目标函数等值面

X k ?1 ? X k ? ?k d k ,其核心是

的多目标优化设计问题的。 是首要和关键的一步,它是

r k ? cr k ?1 (k ? 1, 2, ???) c 为惩罚因子的缩减系数,其为小于 1 的正数,通常取值范围在
0.1 ~ 0.7
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16.机械优化设计的一般过程中, 取得正确结果的前提。

建立优化设计数学模型
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2)外点惩罚函数法简称外点法,这种方法新目标函数定义在可行域之外,序列迭代点从可 行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优 化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子,它是由小到大,且趋近于 ? 的数列。惩罚因子按 下式递增 r k ? cr k ?1 (k ? 1, 2, ???) ,式中 c 为惩罚因子的递增系数,通常取 c ? 5 ~ 10 2.共轭梯度法中,共轭方向和梯度之间的关系是怎样的?试画图说明。 1 . 对于二次函数, f ? X ? ? X T GX ? bT X ? c ,从 X k 点出发, G 的某一共轭方向 d k 作一维 沿 2 搜索,到达 X k ?1 点,则 X k ?1 点处的搜索方向 d j 应满足 ? d j ? 始点 X k 的梯度之差 gk ?1 ? gk 与 d k 的共轭方向 d j 正交。
T

后,最终取得约束最优解。 三、计算题
0 1.试用牛顿法求 f ? X ? ? 8x12 ? 5x22 的最优解,设 X ? ? ? ?10 10? 。 T

初始点为 X ? 0? ? ?10 10? ,则初始点处的函数值和梯度分别为
T

? gk ?1 ? gk ? ? 0 ,即终点 X k ?1 与

f ? X 0 ? ? 1700 ?16 x ? 4 x2 ? ? 200 ? ,沿梯度方向进行一维搜索,有 ?f ? X 0 ? ? ? 1 ??? ? ? 4 x1 ? 10 x2 ? ?140 ?

?10? ? 200? ?10 ? 200? 0 ? X 1 ? X 0 ? ? 0?f ? X 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ??? ?10? ?140 ? ?10 ? 140? 0 ?

? 0 为一维搜索最佳步长,应满足极值必要条件
f X 1 ? min f X 0 ? ??f X 0 ? m i n ?? ? ?
? ?

? ?

? min 8 ? ?10 ? 200 0 ? ? 4 ? ?10 ? 200 0 ? ? ?10 ? 140 0 ? ? 5 ? ?10 ? 140 0 ? ? ? ? ?
2

?

?

?

? ??
2

?

3.为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进?. 答:共轭梯度法是共轭方向法中的一种,在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点 处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向,这是最速下降 法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度,也就是对负梯度进行修正。所以 共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。 4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。


?? ??0 ? ? 1060000?0 ? 59600 ? 0 ,
从而算出一维搜索最佳步长

?0 ?

59600 ? 0.0562264 1060000

?10 ? 200? 0 ? ? ?1.2452830 ? 则第一次迭代设计点位置和函数值 X 1 ? ? ??? ? ?10 ? 140? 0 ? ? 2.1283019 ?
f ? X 1 ? ? 24.4528302 ,从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去,便可求得最优

5.算法的收敛准则由哪些?试简单说明。 略 6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成?简单说明。


解。
2、试用黄金分割法求函数 f ?? ? ? ? ?

20

?

的极小点和极小值,设搜索区间

7.简述随机方向法的基本思路 答:随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点,利用随机数的概率特性,产生 若干个随机方向, 并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。 从初始点出发,沿搜索方向以一定的步长进行搜索,得到新的 X 值,新点应该满足一定的 条件,至此完成第一次迭代。然后将起始点移至 X ,重复以上过程,经过若干次迭代计算
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?a, b? ? ?0.2,1? (迭代一次即可)
解:显然此时,搜索区间 ? a, b? ? ?0.2,1? ,首先插入两点 ?1和?2 ,由式

?1 ? b ? ?( b ?
?2 ? a ? ? ( b ?

a ?1 ) ? a ) ?

0 ?. ? 1 ? ? 1 6 8 ? ? . ? 1 ?8 0 6 ?

0 . 2 1

0 . 5 0 5 6 0 . 2 0 . 6 9 4 4

0?. 2
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计算相应插入点的函数值 f ??1 ? ? 40.0626 f ?? 2 ? ? 29.4962。 , 因为 f ??1 ? ? f ??2 ? 。所以消去区间 ? a,?1 ? ,得到新的搜索区间 ??1,b? , 即 ??1, b? ? ?a, b? ? ?0.5056,1? 。 第一次迭代: 插入点 ?1 ? 0.6944 ,

迭代序号

a 0.2 0.5056

?1
0.5056 0.6944

?2
0.6944 0.8111

b 1 1

y1
40.0626 29.4962

比较

y2
29.4962 25.4690

0 1

〉 〉

全国 2011 年 7 月高等教育自学考试考前练习题现代设计方法
?2 ? 0.5056 ? 0.618(1? 0.5056) ? 0.8111
一、单项选择题(本大题共 20 小题,每小题 1 分,共 20 分) 1.数字化仪在早期 CAD 作业中经常使用,它是一种( A.输入设备 C.存储设备 ) B.输出设备 D.绘图设备

相应插入点的函数值 f ??1 ? ? 29.4962, f ??2 ? ? 25.4690 , 由于 f ??1 ? ? f ??2 ? ,故消去所以消去区间 ? a,?1 ? ,得到新的搜索区间 ??1,b? ,则

2.滚筒式绘图仪一般采用插补原理进行绘图,但在绘图过程中有时不需要插补。绘制以下方向的线段 时需要插补的是( ) A.X 方向线段 C.±45 方向线段
o

, 至此完成第一次迭代, 形成新的搜索区间 ??1 , b? ? ?a, b? ? ?0.69441?。 继续重复迭代过程,
最终可得到极小点。

B.Y 方向线段 D.一般方向线段

3.在采用 Cohen—Sutherland 编码裁剪算法剪裁线段时,如果一条线段跨越两个区,则当其两端点编
0 2 3.用牛顿法求目标函数 f ? X ? ? 16x12 ? 25x2 +5 的极小点,设 X ? ? ? ? 2 2? 。 T

码的逻辑乘为零时,则该线段( A.全部可见 C.部分可见

) B.全部不可见 D.不确定
o

0 解:由 X ? ?

? ?f ? ? ?x ? ? 32 x ? ? 64 ? T 1 ? ? 2 2? ,则 ?f ? X 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?f ? ?50 x2 ? ?100 ? ? ? ? ? ?x ? ? 2?
2

4. 在消隐处理中, 当进行平面可见性测试时, 若平面的法线矢量和视线矢量的夹角大于 90 , 则该面 ( ) A.可见 C.部分可见 B.不可见 D.不确定

? ? f ? ?x 2 2 0 ? f ? X ? ? ? 21 ? ? f ? ? ?x2 ?x1

? f ? ?1 ? 32 ?1 ?x1?x2 ? ?32 0 ? ?? ,其逆矩阵为 ?? 2 f ? X 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 f ? ? 0 50 ? ?0 ? 2 ? ? ?x2 ?
2

? 0? ? 1? 50 ? ?

5.一逐行扫描光栅显示器的水平扫描频率为 15600HZ,垂直扫描频率为 50HZ,则该显示器( ) A.水平方向有 15600 个像素点 C.一条水平扫描线上有 312 个像素点 B.垂直方向有 312 条水平扫描线 D.垂直方向上有 50 条扫描线
*

6.F(x)为单值、连续、可微且无约束的一元函数,则在点 x=x 处有极大值的充分条件是( ) A. F ?( X ) ? 0
?

?1 ?1 ? 2? ? 32 因此可得: X 1 ? X 0 ? ?? 2 f ? X 0 ? ? ?f ? X 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 0 ? ?
f ?X
1 ?

? 0? ? 64 ? ?0? ?? ? ? ? ? 1 ? ?100? ?0? 50 ? ?
T

B. F ?( X ) ? 0
?

F ??( X ? ) ? 0 F ??( X ? ) ? 0

C. F ??( X ) ? 0
?

D. F ?( X ) ? 0
?

? ? 5 ,从而经过一次迭代即求得极小点 X ? ?0 0?
20

, f ?X

?

??5

7.外点罚函数法的特点是(



A.适合处理等式约束的最优化问题 B.探索过程在可行域内进行 C.适合处理不等式约束的最优化问题 D.需要先求出初始内点

4.下表是用黄金分割法求目标函数 f ?? ? ? ? ?

?

的极小值的计算过程,请完成下表。

8.在单峰搜索区间[a,b]内任取两点 a1、a2,若函数值 F(a1)=F(a2),则缩小后的区间为( ) A.[a,a1] C.[a1,a2] B.[a1,b] D.[a,a2]
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9.以下关于函数的梯度的说法不正确的是( A.函数的梯度是标量 C.函数的梯度是矢量 D.求函数的极小值时常沿负梯度方向搜索
*

) B.函数值沿梯度方向变化最剧烈

R R R
A. R ? R ? R
2 3 4

R

R R R
B. (1 ? R ? R 2 )(3 ? 2R) R 4 D. (1 ? R ? R 2 )(3 ? 2R)

2/ 3

10.多元函数 F(x)在点 X 附近一阶偏导数连续,则该点为极大值点的充分条件为( ) A. F(x )=0 C.F(x )=0
* *

B. D.

F(x )=0,H(x )正定 F(x )=0,H(x )负定
* *

*

*

C. 3R ? 2 R
2

3

11.平面桁架结构中,某单元局部编码依次对应的总体编码为 8,6,则单元则度矩阵中的元素 k34 应放 入总体刚度矩阵[K]中的( ) A.16 行 15 列 C.12 行 16 列 12.平面三解形单元的刚度矩阵阶数为( ) A.2×2 C.4×4 B.3×3 D.6×6 B.11 行 12 列 D.11 行 15 列

18.为了检查灯炮的质量,抽取 100 只灯泡进行试验,灯泡工作到 100 小时有 30 只损坏,工作到 150 小时又有 20 只损坏,从 100 小时到 150 小时这段时间灯泡的平均失效密度为( ) A.0.004 C.0.2 B.0.006 D.0.5

19.电器元件(系统)的失效密度函数一般服从( ) A.正态分布 C.威布尔分布 B.指数分布 D.对数正态分布

13.平面刚架结构中的杆单元,单元中的位移分量个数为( ) A.3 C.9 14.平面问题的弹性矩阵与材料的( ) A.弹性模量和硬度有关 C.弹性模量和强度有关 B.弹性模量和泊松比有关 D.强度和泊松比有关
2

B.6 D.12

20.当强度和应力的均值相等时,零件的可靠度( ) A.大于 50% C.等于 50% B.小于 50% D.难以确定

二、多项选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 21.固定窗口大小和位置不变,改变视区的有关参数,可以实现显示图形的( A.放大 C.左右移动 E.扭曲 22.计算机软件是实现 CAD 各项技术功能的核心,软件是指与计算机系统操作使用有关的( ) A.程序 C.规则 B.规程 D.设计说明书 B.缩小 D.上下移动 )

15.若把平面应力问题的弹性矩阵改成平面应变问题的弹性矩阵,只需将( ) E /(1 ? ? ) ? ? A. E 换成 E /(1 ? ? ) ? 换成 ? /(1 ? ? ) , B. E 换成 E /(1 ? ? ) ? 换成 ? (1 ? ? ) ,
2 2

C. E 换成 E /(1 ? ? ) ,换成 ? /(1 ? ? )
2

E.使用说明书 23.求解无约束问题的主要方法有( ) A.Powell 法 C.梯度法 E.简约梯度法 24.对平面刚架结构的单元刚度矩阵有影响的因素为( ) A.杆件长度 C.杆件的横截尺寸 E.杆件横截面在结构中的方位 B.杆件材料的强度 D.杆件横截面的对称性 B.单纯形法 D.复合形法

D. E 换成 E /(1 ? ? ) ? 换成 ? (1 ? ? ) ,
2

16. 表决系统中各子系统的寿命均服从指数分布, 2/3 且失效率均为 ? , 则该表决系统的平均寿命为 ( )

5 6? 3 C. 2?
A.

2 3? 6 D. 5?
B.

17.图示由 7 个子系统组成的复杂系统,各子系统的可靠度均为 R,则该系统的可靠度为( )
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25.正态分布中的均值 ( ) A.表征随机变量分布的离散程度 C.决定正态分布曲线的位置 E.影响正态分布曲线的对称性 三、填空题(本大题共 10 小题,每小题 1 分,共 10 分) 26 . 输 入 设 备 的 主 要 作 用 是 将 字 符 、 平 面 上 或 空 间 中 点 的 坐 标 值 输 入 计 算 机 中 , 其 基 本 功 能 是 。 型和关 B.表征随机变量分布的集中趋势 D.决定正态分布曲线的形状

42.某机电系统由三个串联子系统组成,各子系统寿命服从指数分布,且各子系统的平均寿命分别为 500h,400h,800h,试求整个系统的平均寿命为多少?
2 2 43.目标函数 F ( x) ? 4 x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ,具有等式约束

h( x) ? x1 ? x2 ? 8 ? 0 ,试求目标函数的极值并判断是极大值还是极小值。
44.一薄板受力及支承情况如图所示,作用力的大小为 F,采用平面应力问题分析其应力分布情况。将 结构划分成 4 个节点,2 个平面三角形单元如图示,两单元在整体坐标系统下具有相同的单元刚度矩阵

27.数据模型是指数据库内部数据的组织方式,最常用的数据模型有三种:层次型、 系型。

28.标准件的图形构成可以分为四个层次:最基本的通用几何元素的 A 类构件、专用于某一图形文件的 通用 B 类构件、由 A 类和 B 类构件组成的 K 类事件和由 类组成的 G 类组件。

?k ?(1)

? ?k ?

( 2)

29.0.618 法在选定的单峰区间内不断消去一部分区间,把区间越缩越小,其每次区间缩短率是 的。 30.设计体积为 500cm 的园柱形包装盒,按用料最省的原则,确定其高度 H 直径 D 的尺寸,该问题的 目标函数为 。 法和加权残值法来
3

?3 ? ?1 ?? 2 ? a? ?? 1 ?? 1 ? ?0 ?
F

对 3 0 ?1 ?1 ?2 2 0 0 0 1 1 0 1 0

? ? ? 称? ? ? ? ? 2 ? ?

31.单元刚度矩阵的推导是有限元方法中的关键环节,一般可采用直接法、 确定。

y 4 k j ( 2) (1) 1 i j k i 3

30

32. 在进行平面桁架结构有限元分析时, 单元局部坐标系下的刚度矩阵与整体坐标系下刚度矩阵的转换 矩阵的阶数为 阶。 。

33.200 只灯泡工作 100 小时后,有 20 只损坏,此时这批灯泡的存活频率为

34.由 5 个相同元件组成的串联系统,要求系统的可靠度在 0.99 以上,则每个元件的可靠度至少应 为 。 下和规定的时间内,完成规定功能的能力。

2 X

35.可靠性是指产品在

试写出总体刚度矩阵,并引入支承条件写出平衡方程。

四、简答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 36.说明几何造型中的体素构造法(CSG)的基本思想。该方法所要存储的几何模型信息有哪些? 37.在工程设计的 CAD 作业中,一般对以线图形式给出的系数或参数如何处理? 38.什么是约束条件?约束条件和可行域有何关系? 39.在有限元分析时,何谓对称结构?一般如何处理? 40.说明常规设计方法中采用平均安全数的局限性。 五、计算题(本大题共 4 小题,41、42 题每小题各 5 分,43、44 题每小题各 10 分,共 30 分)

全国 2011 年 7 月高等教育自学考试考前练习题现代设计方法答案
一、单项选择题(本大题共 20 小题,每小题 1 分,共 20 分) 1.A 11.B 2.D 12.D 3.C 13.B 4.A 14.B 5.B 15.C 6.D 16.A 7.A 17.B 8.C 18.A 9.A 10.D 二、多项

19.B 20.C

选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 21.AB 22.ABCDE 23.ABC 24.ACE 25.BC

?0 0 1? ? ? 41.已知 ?ABC ? 2 0 1 ,将该三角形沿 X 方向移动 1 个单位,沿 Y 方向移动 2 个单位后,再放 ? ? ?1 1 1? ? ?
大 1 倍,求变换后 ?ABC 各顶点的坐标。
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三、填空题(本大题共 10 小题,每小题 1 分,共 10 分) 26.定位和拾取 30. 27.网络 28.A、B 和 K 31.变分 29.相等 32.2×4

min F ( X ) ?

1 ?D 2 ? ?DH 2
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33.0.9

34. 5 0.99 或 0.99799

35.规定条件

四、简答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 36.体素构造法的基本思想是: 各种各样形状的几何形体都可以由若干个基本单元形体,经过有限次形状集合运算(又称拼合运算)构 建得到。如圆柱体、锥体、六面体等都可以作为基本形体。 分) (3 CSG 方法所要存储的几何模型信息是: 所用的基本形体的类型、参数和所采用的拼合运算过程。 分) (3 37.在工程设计的 CAD 作业中,对以线图形式给出的系数或参数和处理方法有以下几种: (1)如果能找到线图原来的公式,则找到原公式将公式编入程序。 分) (2 (2)将线图离散化为数表,再用表格的处理方法加以处理。 分) (2 (3)用曲线拟合的方法求出线图的经验公式,再将公式编入程序。 分) (2 38.设计变量的取值范围有限制或必须满足一定的条件,对设计变量取值的限制称为约不条件。 分) (2 不等式约束条件将设计空间划分为可行域和非可行域,设计方案只能在可行域内选取。 分) (2 等式约束条件只允许设计方案在可行域的等式约束线(或面)上选取。 分) (2 39.当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一平面(对平面问题对称于某一直线) ,其结 构内部的应力及位移也对称于该平面(线) ,这类结构称为对称结构。 分) (3 对于对称结构一般按如下方法处理: 当对称结构只有一个对称平面(线)时,只研究它的一半。若对称结构有两个相互垂直的对称平面(线) 时,则只研究它的四分之一。 分) (3 40.平均安全系数未同零件的失效率联系起来,有很大的盲目性。 分) (2 从强度一应力干涉图可以看出: (1)即使安全系数大于 1,仍然会有一定的失效概率。 分) (2 (2)当零件强度和工作应力的均值不变(即对应的平均安全系数不变) ,但零件强度或工作应力的离散 程度变大或变小时,其干涉部分也必然随之变大或变小,失效率亦会增大或减少。 五、计算题(本大题共 4 小题,41、42 题名 5 分,43、44 题各 10 分,共 30 分) 41.这是一组合变换,先求出组合变换的变换矩阵。 沿 X 方向移动 1 个单位,沿 Y 方向移动 2 个单位,变换矩阵为

?1 0 0? ? ? 所以组合变换矩阵为: T ? T1T2 ? 0 1 0 ? ? ?1 2 1 ? ? ?
所以变换后的三角形顶点的坐标短阵为:

? 2 0 0? ? 2 0 0? ?0 2 0? ? ?0 2 0? (1 分) ? ? ? ? ?0 0 1 ? ? 2 4 1 ? ? ? ? ?

?0 0 1? ?A?B ?C ? ? ?ABC ? T ? ?2 0 1? ? ? ?1 1 1? ? ?

?2 0 0? ?2 4 1? ?0 2 0? ? ?6 4 1? ? ? ? ? ?2 4 1 ? ?4 6 1? ? ? ? ?

(1 分)

变换后的三角形各顶点的坐标为:A(2,4) ,B(6,4) ,C(4,6) 分) (1 42.所于三个子系统寿命服从指数分布, 所以三个子系统的失效率分别为:

?1 ?

1 1 1 (h ?1 ) , ?2 ? (h ?1 ) , ?3 ? (h ?1 ) 500 400 800
3

(2 分)

串联系统的失效率为

?s ? ? ?i ?
i ?1

1 1 1 ? ? ? 0.00575 h ?1 ) ( 500 400 800 1 ? 173.9(h)

(2 分)

则整个系统的平均寿命为:

?s

(1 分)

43.该问题为具有等式约束的极值问题,可以通过约束条件消去一个设计变量。 分) (1 由等式约束条件得: x1 ? 8 ? x2 将上式代入目标函数得:
2 2 F ( x) ? 4x2 ? x2 ? (8 ? x 2 ) ? (8 ? x2 ) x2 ? 3x2 ? 20x2 ? 64 (2 分)

对于一元函数取极值,其一阶导数必须等于零。∴

dF( x2 ) ? 6 x2 ? 20 ? 0 可得(2 分) dx2

?1 0 0? T1 ? ?0 1 0? ? ? ?1 2 1 ? ? ?

x2 ?
(1 分)

10 14 ,x1 ? 8 ? x 2 ? 3 3

(1 分)

d 2 F ( x2 ) 14 10 T 又∵在 ( , ) 点处函数的二阶导数为: ? 6 ? 0 (2 分) 2 3 3 dx2
(1 分) ∴点 (

?2 0 0 ? ? ? 放大 1 倍,变换矩阵为: T2 ? ?0 2 0 ? ?0 0 1 ? ? ?

14 10 T , ) 为函数的极小值点。 分) (1 3 3
(1 分)

目标函数的极植为: F ( x?) ? 30.67

44.单元局部编码和整体编码的对应关系为
第11页共34页 第12页共34页

单元(1) i 单元(2) i

j j

k ?1,2,4 k ?3,4,2

单元刚度矩阵中子块对应关系为

[K ]

(1)

? K11 ? ? ? K 21 ?K ? 41

K12 K 22 K 42

K14 ? ? K 33 ?, ] 2) ? ? K ( K 24 ? [ K ? 43 ? K 23 K 44 ? ? ?
(1 ? k14) (1) ( 2) ? k 24 ? k 24 ? (2 ? k 34 ) (1) ( 2) ? k 44 ? k 44 ? ?

K 34 K 44 K 24

K 32 ? K 42 ? ? K 22 ? ?

(2 分)

所以总体则度矩阵为
(1 ?k11) ? (1) k [ K ] ? ? 21 ?0 ? (1) ?k 41 ? (1 k12) (1 (2 k 22) ? k 22 ) (2 k 32 ) (1 (2 k 42) ? k 42 )

?1 ?0 1 ? ?0 0 1 ? 0 0 0 1 a? ?0 0 0 0 3 ? ?0 0 0 0 1 ?0 0 0 0 ? 2 ? ?0 0 0 0 ? 1 ?

3 0 3 ?1 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?

? ?u1 ? ? ?? ? ? ? 1? ? ?u 2 ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ??? ?u 3 ? ? ?? 3 ? ? ? ? ? ?u 4 ? ? ?? ? ? ? 4? ? ?

0 0 0 0 3F ? 2 F ? 2 0 0

? ? ? ? ? ? ? ? (2 分) ? ? ? ? ? ? ?

0 (2 k 23 )
(2 k 33 ) (2 k 43 )

课程名称: 现代设计方法

一、 单选题 ( 每题 1 分,共 10 题,共 10 分,下列各小题备选答案中,只有一个符 合题意的答案。多选、错选、不选均不得分 )

?3 ?1 ? ?? 2 ? ?1 ??? ?0 ? ?0 ?? 1 ? ?0 ?
(3 分)

1 3 0 ?1 0 0 ?1 ?2

?2 0 3 0 ?1 ?1 0 1

?1 ?1 0 3 0 ?2 1 0

0 0 ?1 0 3 1 ?2 ?1

0 0 ?1 ?2 1 3 0 ?1

?1 ?1 0 1 ?2 0 3 0

0 ? ? 2? ? 1 ? ? 0 ? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? 3 ? ?

1. 参数化绘图在定义图形时关键是利用了图形的( ) A.相似性 B.多样性 C.个别性 D.特殊性 2. 下列设备不属于 CAD 作业输入设备的,有( ) A.绘图仪 B.键盘 C.数字化仪 D.光笔
0 3. 二维图形比例变换矩阵中 T ? ?a d ? ,可有( ) ?0 ? ? ?

A.a=0,d=1

B. a=1,d=0

C. a=d=1

D. a=d=0

4. 内点罚函数法的特点是( ) A.能处理等式约束问题 C. 初始点可以在可行域外 B.初始点必须在可行域内 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外

节点位移矢量为:{ u1

v1 u2

v2

u3

v3

u4

v4 } T

(1 分) (1 分)

5. 对于极小化 F(x), 而受限于约束 gμ(x)≤0(μ= 0,1,2,…,m)的优化问题, 其内点罚函数表达式为 ( ) A. ?( X , r ( k ) ) ? F ( X ) ? r ( k ) ?1 / g ? ( X )
? ?1
m

约束条件为: u1 ? 0,v1 ? 0,u 2 ? 0,v2 ? 0 作用于结构上的外力为: F3 x ? ? F cos30 ? ?
o

B. ?( X , r ( k ) ) ? F ( X ) ? r ( k ) ? 1 / g ? ( X )
? ?1

m

3F , 2
F 2
(1 分)

C. ?( X , r ( k ) ) ? F ( X ) ? r ( k ) ? max[ 0, g ? ( X )]
? ?1

m

D. ?( X , r ( k ) ) ? F ( X ) ? r ( k ) ? min[0, g ? ( X )]
? ?1

m

F3 y ? ? F sin 30 0 ? ?
所以引入支承条件后的平衡方程为:

6. 设 F(X)为区间(0,3)上的单峰函数,且 F(1)=2、F(2)=1.5,则可将搜索区间(0,3)缩小为( ) A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(1,3)

7. 标准正态分布是定义为( ) A.μ=1,σ=0.5 的正态分布 C.μ=0,σ=1 的正态分布
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B.μ=1,σ=1 的正态分布 D.μ=0.5,σ=1 的正态分布
第14页共34页

8. 抽取 100 只灯泡进行实验,灯泡工作到 50 小时有 12 只损坏,工作到 70 小时有 20 只损坏,从 50 小时到 70 小时这段时间内灯泡的平均失效密度是( ) A.0.006 B.0.004 C.0.01 D.0.12

27. 零件在工作中,作用在零件上的应力呈指数分布,均值为 ?? ? 1000 MPa ,强度服从正态分 布,均值: ?? ? 2100 MPa ,标准差: S? ? 168Mpa ,试计算该零件的可靠度与失效概率。 28. 有一批钢轴, 规定钢轴直径不超过 1.5cm 就是合格品, 已知钢轴直径尺寸 X 服从 N(1.49, 0.0052)。 (查正态分布表得 ? ( 2) = 0.97725, ? (1) =0.8413,φ(1)=0.2420,φ(2)=0.05399,

9. 当转换开关的可靠度为 1 时,非工作冗余系统的可靠度为 R1, 工作冗余系统的可靠度为 R2, 则 R1 与 R2 之间的关系为( ) A. R1<R2 B. R1>R2 C. R1= R2 D. R1≤R2 10. 设试验数为 N0,累积失效数为 Nf(t),仍正常工作数 Ns(t),则存活频率是指( )
A.

? ?1 (0.05)= .64485, ? ?1 (0.04)= .74485) 1 1
(1)试判断这批钢轴的废品率是多少? (2)如果要保持有 95%的合格率,那么应该规定钢轴直径的合格尺寸是多少?

N f (t ) N0
填空题

N (t ) B. s N0
(

N (t ) C. s N f (t )

D.

N f (t ) N s (t )
)
、 、关系型。 。

二、

每题 1 分,共 10 题,共 10 分

11. 显示器中的坐标系是 坐标系 。 12. 数据模型是数据库内部数据的组织方式,包括的是 13. 有限元位移法中单元分析的主要内容

14. 设某约束优化问题目标函数为 F(X), 个约束条件为 gi(X)≤0, 3 (i=1,2,3), X 0 点满足 - ? F(X 在 0)=2 ? g (X 0)+ ? g (X 0),则起作用的约束为 1 2 。

15. 常用的一维最优化方法有黄金分割法和 。 16. 设 F(X)是区间[a,b]上的单峰函数,1、2 是该区间的内点,且有 F(1)<F(2),则可将区间缩小 为 。 17. 有两个电容串连的电路,设 R1、R2、F1、F2 分别为两个电容的可靠度与失效概率,则该电路 的可靠度为 。 18. 弹性模量 E 是指单元体只在 X 方向拉伸时,X 方向上的正应力(σX)与 的比值。 19. 正态分布曲线与横坐标轴间围成的总面积恒等于 。 20. 应力、强度均为正态分布时的安全系数是 。

三、 简答题
21. 22. 23. 24.

(

每题 10 分,共 4 题,共 40 分

)

设计数据处理的常用方法有那些? 简述求解优化问题的图解法基本步骤。 请简述梯度法和共轭梯度法的特点。 简述可靠性的重要意义。

四、 计算题

(

每题 10 分,共 4 题,共 40 分

)

25. 用黄金分割法求解以下问题(缩小区间三次) 。

min f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 ,给定初始区间 ?a, b? ? ?0,3?,取 ? ? 0.1 。
2 2 26. 用梯度法求解 min f ( X ) ? x1 ? x2 ? 6 x1 ? 9 , X ( 0) ? ?1,1? , ? ? 0.1 。

T

一、 单选题 1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 二、 填空题 11.绝对 12. 13. 1.结构离散化;2.单元分析;3.整体分析 14. g1(X )和 g2(X ) 15. 抛物线法(二次插值法) 16. [a,2] 17. R1*R2] 18. X 方向上的正应变 19. 1 10. 三、 简答题 ( 每题 10 分,共 4 题,共 40 分 ) 21. 设计数据处理的常用方法有那些? (1)取整数 (2)四舍五入取整 (3)按某数的倍数取整 (4)取标准值 (5)判断两实数是否相等 22. 简述求解优化问题的图解法基本步骤。 答:图解法的基本步骤是:首先确定设计空间;再作出约束可行域;画出目标函数的一簇 等值线;最后根据等值线与可行域的相互关系确定最优点。 23. 请简述梯度法和共轭梯度法的特点。 梯度法:梯度法又称最速下降法,基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的 负梯度方向作为搜索方向,求目标函数的极小值。特点:迭代计算简单,只需求一阶偏导 数,所占的存储单元少,对初始点的要求不高,在接近极小点位置时收敛速度很慢。共轭 梯度法: 在梯度法靠近极值点收敛速度减慢的情况下, 共轭梯度法可以通过构造共轭方向, 使其收敛速度加快,具有一次收敛速度,使得计算过程简便,效果又好;在每一步迭代过 程中都要构造共轭方向,比较繁琐。
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24. 简述可靠性的重要意义。 可靠性:产品在规定的条件下和规定的时间内,完成规定功能的能力。可靠性是一项重要 的质量指标。1)高可靠性产品才能满足现代技术和生产的需要;2)高可靠性产品可获得 高的经济效益;3)高可靠性产品,才有高的竞争能力 四、 计算题
25. 用黄金分割法求解以下问题(缩小区间三次) 。

a* ?

a?b ? 1.011 2

f (a * ) ? 1
2 2 26. 用梯度法求解 min f ( X ) ? x1 ? x2 ? 6 x1 ? 9 , X ( 0) ? ?1,1? , ? ? 0.1 。

T

解:第一次迭代 初始点 X ( 0) ? ?1,1?
T

min f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 ,给定初始区间 ?a, b? ? ?0,3?,取 ? ? 0.1 。
解: 第一次缩小 (1)在初始区间[0,3]内,取计算点 a1(0) 、a2(0)并计算函数值,有 (0) (0) a1 =0+0.382*3=1.146 f1=f(a1 )= 1.043 a2(0)=0+0.618*3=1.854 f2=f(a2(0))= 2.459 (2)比较函数值,存在 f(a1(0)) < f(a2(0)),则极小点在[0, 1.854]之间 a1(1)= 0.708 f1=f(a1(1))= 1.170 a2(1)= 1.146 f2=f(a2(1))= 1.042 (3)判别迭代终止条件 1.854> ? ? 0.1 第二次缩小 (1)比较函数值,存在 f(a1(1))> f(a2(1)),则极小点在[0.708, 1.854]之间 (2) (2) a1 = 1.146 f1=f(a1 )= 1.043 (2) (2) a2 = 1.416 f2=f(a2 )= 1.347 (2)判别迭代终止条件 1.146> ? ? 0.1 第三次缩小 (2) (2) (1)比较函数值,存在 f(a1 ) < f(a2 ),则极小点在[0.708, 1.416]之间 (3) (3) a1 = 0.979 f1=f(a1 )= 1.001 (3) (3) a2 = 1.146 f2=f(a2 )= 1.043 (2)判别迭代终止条件 0.708> ? ? 0.1 将各次缩短区间的有关计算数据列于下表:

此时 f ( X ( 0) ) ? 5 ;

函数梯度表达式是 ?f ( X ) ? ?f ( x1 , x2 ) ? ?2x1 ? 6 由于 X ( 0) ? ? ,1? ,计算出 ?f ( X (0) ) ? ?? 4 2? 1
T T

2x2 ?

T

沿 ? ?f ( X

( 0)

) 方向求一维极小:
(1) (1) (1)

q(a) ? f ( X ( 0) ? a?f ( X ( 0) )) ? f ( X (1) ) ? [ X 1 ]2 ? [ X 2 ]2 ? 6[ X 1 ] ? 9 ? [1 ? 4a]2 ? [1 ? 2a]2 ? 6[1 ? 4a] ? 9


dq ( a ) ? 0 得 a (0) ? 0.5 da
(1)

从而得 X

? X (0) ? a?f ( X (0) ) ? [3 0]T
(1)

此时函数值为 f ( X

)?0

第二次迭代 初始点 X (1) ? ?3 0?
T T

此时 f ( X (1) ) ? 0
T

由于 X (1) ? ?3 0? ,计算出 ?f ( X (1) ) ? ?0 0?

区间缩短次数 a b a1 a2 f1 f2 b-a 原区间 0.000 3.000 1.146 1.854 1.043 2.459 3.000 1 0.000 1.854 0.708 1.146 1.170 1.042 1.854 2 0.708 1.854 1.146 1.416 1.043 1.347 1.146 3 0.708 1.416 0.979 1.146 1.001 1.043 0.708 4 0.708 1.146 0.875 0.979 1.031 1.001 0.438 5 0.875 1.146 0.979 1.043 1.001 1.004 0.270 6 0.875 1.043 0.939 0.979 1.007 1.001 0.167 7 0.939 1.043 0.979 1.003 1.001 1.000 0.103 8 0.979 1.043 1.003 1.018 1.000 1.001 0.064 ? ? 0.1 ,迭代可终止,近似最优解为 可见,缩短 8 次后,区间长度 0.064<

?f ( X (1) ) ? ? ? 0.1 迭代终止
函数值为 f ( X
(1)

)?0

27. 零件在工作中,作用在零件上的应力呈指数分布,均值为 ?? ? 1000 MPa ,强度服从正态分 布,均值: ?? ? 2100 MPa ,标准差: S? ? 168Mpa ,试计算该零件的可靠度与失效概率。

解: z 0 ?

? ? ? ??
S ? ? S?
2 2

? ?1.08

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可靠度 R ?

1 ? z2 1 z0 z2 exp(? )dz ? exp? ( )dz ? 0.1401 ? ? 2 2 2 ? z0 2 ??
2

A) 平移变换 B)全比例变换

C)图形的比例、对称、旋转和错切变换 D)透视变换 )

6、对三维图形进行绕 X 轴旋转变换的变换矩阵为( B

失效概率 F ? 1 ? R ? 0.8599 28. 有一批钢轴, 规定钢轴直径不超过 1.5cm 就是合格品, 已知钢轴直径尺寸 X 服从 N(1.49, 0.005 )。 (查正态分布表得 ? ( 2) =0.97725, ? (1) =0.8413 ,φ(1)=0.2420,φ(2)=0.05399,

? ?1 (0.05)= .64485, ? ?1 (0.04)= .74485) 1 1
(1)试判断这批钢轴的废品率是多少? (2)如果要保持有 95%的合格率,那么应该规定钢轴直径的合格尺寸是多少?
解:(1)废品率= 1 ? ? ( (2) ?( z ) ? 0.95

?cos? ? A) ? 0 ? sin ? ? ? 0

0 ? sin ? 1 0 0 cos? 0 0

0? 0? ? 0? ? 1?

0 ?1 ? B) ?0 cos? ?0 ? sin ? ? 0 ?0

0 sin ? cos? 0
AB

0? ? cos? 0? C) ?? sin ? ? ? ? ? 0 0 ? ? 1? ? 0
) D) 单纯形法

sin ? cos? 0 0

0 0 1 0

0? 0? ? 0? ? 1?

7、下列方法中属于无约束优化方法中的间接法是( A) 共轭梯度法 B) 变尺度法

C) 坐标轮换法

1.5 ? 1.49 ) ? 1 ? ?(2) ? 1 ? 0.97725 ? 0.02275 0.005

8、单纯形替换算法中,从一个单纯形到另一个单纯形的迭代主要通过( ABCD )等操作来实现。 A) 反射 B) 扩张 C) 收缩 D) 缩边 D )

d ? 1.49 z? ? 1.64485 0.005 d ? 1.498cm

9、下列方法中属于约束优化方法中的间接法是( A)复合形法 B)可行方向法

C) 随机方向法 D)惩罚函数法

10、按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行,分为( ABC ) A)内点法 B)外点法 C)混合法

制造专业 2008 级《现代设计方法》课程考核试卷
得分 一、不定项选择题(在每个小题的四个备选答案中选出正确答案,填在 题末的括号中) (本大题共 10 小题,每小题 2 分,总计 20 分)
1、产品设计的一般过程可分为为( ABCD A) ) 。

得分

二、判断题(在题末的括号中正确的打√,错误的打×) (本大题共 10 小题,每小题 1.5 分,总计 15 分)
( √ ) ( × )

1、梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值 。 2、功能树能充分表达各分功能之间的分界和有序性关系,而功能结构图则不能。

产品规划阶段 B) 原理方案设计阶段 C) 技术设计阶段 D) 施工设计阶段 3、设计过程的评价依据是评价目标,评价目的包括技术评价目标、经济评价目标和社会评价目标三个 ABCD )。 C)效益原则 D)审核原则 4、凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。 ) 。 5、黄金分割法属于一维搜索中的试探法。 方面的内容。 ( √ ) ( √ ) ( √ )

2、产品设计的一般原则是( A)创新原则

B)可靠原则

3、根据设计工作本身的特点,要正确决策,一般应遵循哪些基本原则( ABCDE A)系统原则 B)可行性原则 C)满意原则 D)反馈原则 E)多方案原则

6、对正则形式的方程组进行一次附加的转轴运算,可以从一个基本解转换到另一个基本解,从而把基 4、在设计方案的评选中,最常用的评价方法包括( ABCD A)评分法 B)技术经济评价法 C)模糊评价法 ) 。 本变量与非基本变量进行交换。 7、坐标轮换法属于无约束优化方法中的直接法。 ( √ ) ( √ ) ) D)最优化方法

5、在二维图形的变换矩阵中

?a b ?c d ? ?l m ?

p? ?a b ? ? 各部分的功能是: ?c d ? 实现( C )功能; q? ? ? s? ?

8、 变尺度法的基本思想是: 通过放大或缩小各个坐标的尺度, 把函数的偏心程度降到最低限度。 √ (

9、惩罚函数法中障碍项的作用是当迭代点在可行域内时,在迭代过程中将阻止迭代点越出可形域。 ( √ 10、有限元中的单元刚度矩阵为对称矩阵。
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?l m? 实现( A )功能;? p? 实现( D )功能;S 实现( B )功能。 ?q ? ? ?
第19页共34页



( √



得分 1、把二次函数

三、计算题(本大题共 3 小题,其中 1、2 题 10 分,3 题 15 分,总计 35 分)

f ? x1, x2 , x3 ? ? 3x ? x ? 2x ? 3x1x2 ? x1x3 ? 4x1 ? 5x2 化为矩阵向量形式并检验 Q
2 1 2 2 2 3

是否正定,如正定,试用公式

求这个函数的极小点。 X * ? ?Q?1b (4)求拉格朗日乘子(4 分)

? 0? ?g 2 ( x ? ) ? ? ? ? ?1?

解:将原函数按矩阵向量形式展开,得

(4 分)

由于拉格朗日乘子均为非负,说明 3、试用黄金分割法求函数 与题中函数比较各项系数为: (2 分) 次的计算过程填入下表。

x (1) ?是一个最优点,因为它满足 K-T 条件。 [1 0]T f (? ) ? ? 2 ? 2? 的极小点。搜索区间为-3≤a≤5,迭代 5 次,并将每

对称矩阵 Q 的三个 主子式依次为: (2 分)

因此矩阵 Q 是正定的 所以,极小点是 (2 分)

2、用库恩—塔克(K-T)条件判断如下不等式约束函数在[1 0] 点处是否为约束最优点。
2 f ( x) ? ( x1 ? 2)2 ? x2 ? min g1 ( x ) ? x12 ? x2 ? 1 ? 0

T

g 2 ( x ) ? ? x2 ? 0
解: (1)当前点

( T) ? ? x ? 0 x (1) ? [1g0]x为可行点,因为满足如下约束条件(2 分)
3 1

每步迭代过程 2.5 分(最后一步的迭代包括结论共 2.5 分)

g1 ( x (1) ) ? 0 g 2 ( x (1) ) ? 0
(2)在

四、论述题(本大题共 2 小题,每小题 15 分,总计 30 分)
1、 试论述现代设计方法的基本特点。

x ? [1 0]
(1)

T

g3 ( x (1) ) ? ?1 ? 0
?

起作用约束为 g1 和 g2 ,因为

g3 ( x ) ? 0
(1)

(1 分)

答:1)程式性:研究设计的全过程,要求设计者从产品规划、方案设计、技术设计、施工设计到试验、 试制进行全面考虑,按步骤有计划地进行设计; (2 分)

(3)各函数的梯度(3 分)

? 2( x1? ? 2) ? ? ?2? ?f ( x ) ? ? ? ?? ? ?? 2 x2 ? ? x1 ?1 ? 0? ?
第21页共34页
x2 ?0

2)创造性:突出人的创造性,发挥集体智慧,力求探寻更多突破性方案,开放创新产品; 分) (2
第22页共34页

3)系统性:强调用系统工程处理技术系统问题,设计时应分析各部分的有机关系,力求使系统整体最 优。同时考虑技术系统与外界的联系,即人-机-环境的大系统关系; (2 分)

大题共 10 小题,每小题 2 分,总计 20 分)
1、产品设计的一般过程可分为为( A) ABCD ) 。

4)最优化:设计的目的是得到功能全、性能好、成本低的价值最优的产品,设计中不仅考虑零部件参 数、性能的最优,更重要的是争取产品的技术系统整体最优; (3 分)

产品规划阶段 B) 原理方案设计阶段 C) 技术设计阶段 D) 施工设计阶段 ABCD )。 C)效益原则 D)审核原则 ) 。

2、产品设计的一般原则是( A)创新原则

5)综合性:现代设计方法是建立在系统工程、创造工程的基础上,综合运用信息论、优化论、相似论、 模糊论、可靠性理论等自然科学理论和价值工程、决策论、预测论等社会科学理论,同时采用集合、矩 阵、图论等数学工具和电子计算机技术,总结设计规律,提供多种解决设计问题的科学途径; (3 分) 6)计算机化:将计算机全面引入设计,提供设计者和计算机的密切配合,采用先进的设计方法,提高 设计质量和速度,计算机不仅用于设计计算和绘图,同时在信息储存、评价决策、动态模拟、人工智能 等方面将发挥更大作用。 2、试论述创造性思维的特点和过程。 答:创造性思维的特点: 1) 思维的敏锐性。这主要体现在发现意识上。一个良好的设计者必须善于发现,发现是创造性思维的 源泉。 分) (2 2) 思维的独创性。创新不是重复,它必须是与众人、与前人有所不同的观点与看法。 分) (2 3) 思维的多向性。即要着重从几个不同的角度思考问题。 分) (2 4) 思维的跨越性。思维具有跨越性,这是创造性思维往往不同凡响的关键。 分) (2 5) 思维的综合性。即思维体现整体综合品质,主要包括智慧杂交能力和思维统摄能力。 分) (2 创造性思维的过程 1) 存储准备阶段。 围绕问题搜索信息, 使问题和信息在脑细胞及神经网络中留下印记。 在这个阶段里, 创造主体试图使信息概括化和系统化,形成自己的认识,了解问题的性质,澄清疑难与关键点等, 同时开始尝试和寻找解决方案。 分) (2 2) 酝酿加工阶段。 在围绕问题进行积极的思索时, 大脑不断地进行能量积累, 为产生新的信息而运作。 这个阶段人脑总体上根据各种感觉、知觉、表象提供的信息,超越动物脑只停留在反映事物的表明 现象与外部联系的局限,认识事物的本质。 分) (2 3) 顿悟阶段。人脑有意无意地突然出现某些新的形象、新的思维,使一些长久未能解决的问题在突然 之间得以解决。 分) (1 (3 分)

B)可靠原则

3、根据设计工作本身的特点,要正确决策,一般应遵循哪些基本原则( ABCDE A)系统原则 B)可行性原则 C)满意原则 D)反馈原则 E)多方案原则 ) 。

4、在设计方案的评选中,最常用的评价方法包括( ABCD A)评分法 B)技术经济评价法 C)模糊评价法

D)最优化方法

5、在二维图形的变换矩阵中

?a b ?c d ? ?l m ?

p? ?a b ? ? 各部分的功能是: ?c d ? 实现( C )功能; q? ? ? s? ?

?l

A) 平移变换 B)全比例变换

? p? m? 实现( A )功能;? ? 实现( D )功能;S 实现( B )功能。 ?q ?

C)图形的比例、对称、旋转和错切变换 D)透视变换

6、对如下的线性方程组应选择哪一个系数作为轴元素,可以使得到的解为基本可行解( B )

3 1 x2 ? 2 x3 ? x4 ? 0 ? 3 4 4 1 3 0 ? x2 ? 3 x3 ? x4 ? x5 ? 5 4 4 x1 ?
A) ?
3 4

B) 2

C) ?

1 4

D) 3 AB ) D) 单纯形法

7、下列方法中属于无约束优化方法中的间接法是( A) 共轭梯度法 B) 变尺度法

C) 坐标轮换法

8、单纯形替换算法中,从一个单纯形到另一个单纯形的迭代主要通过( ABCD )等操作来实现。 A) 反射 B) 扩张 C) 收缩 D) 缩边 D )

9、下列方法中属于约束优化方法中的间接法是( A)复合形法 B)可行方向法

C) 随机方向法 D)惩罚函数法

制造专业 2008 级《现代设计方法》课程考核试卷
试卷 C (A/B/C) 考试方式:闭卷 考试时间(120 分钟)

10、按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行,分为( ABC ) A)内点法 B)外点法 C)混合法

一、不定项选择题(在每个小题的四个备选答案中选出正确答案,填在题末的括号中) (本
第23页共34页 第24页共34页

得分

二、判断题(在题末的括号中正确的打√,错误的打×) (本大题共 10 小题,每小题 1.5 分,总计 15 分)
对称矩阵 Q 的三个 ( √ ) 主子式依次为: (2 分)

1、梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值 。

2、总功能可以分解为分功能,分功能可继续分解,直至功能元。功能元是不能再分解的最小功能、单 元,是能直接从物理效应、逻辑关系等方面找到解决方案的基本功能。 ( √ ) 因此矩阵 Q 是正定的 所以,极小点是 3、设计过程的评价依据是评价目标,评价目的包括技术评价目标、经济评价目标和社会评价目标 三个方面的内容。 4、凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。 5、黄金分割法属于一维搜索中的试探法。 6、二次插值法属于一维搜索中的试探法。 7、坐标轮换法属于无约束优化方法中的直接法。 ( √ ) 2、用库恩—塔克(K-T)条件判断如下不等式约束函数在[1 0] 点处是否为约束最优点。
2 f ( x) ? ( x1 ? 2)2 ? x2 ? min g1 ( x ) ? x12 ? x2 ? 1 ? 0
T

(2 分)

( √ ) ( √ ) ( × ) ( √ ) 解: (1)当前点

g 2 ( x ) ? ? x2 ? 0 g3 ( x ) ? ? x1 ? 0

8、变尺度法的基本思想是:通过放大或缩小各个坐标的尺度,把函数的偏心程度降到最低限度。 ( √ )

x (1) ? [1 0]T为可行点,因为满足如下约束条件(2 分)
g1 ( x (1) ) ? 0 g 2 ( x (1) ) ? 0 g3 ( x (1) ) ? ?1 ? 0
?

9、 惩罚函数法中惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时, 在迭代过程中将迫使 迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。 10、有限元中的单元刚度矩阵为对称矩阵。 ( √ ) ) (2)在

x ? [1 0]
(1)

T

起作用约束为 g1 和 g2 ,因为

g 3 ( x (1) ) ? 0

(1 分)

( √

(3)各函数的梯度(3 分)

得分 1、把二次函数

三、计算题(本大题共 3 小题,其中 1、2 题 10 分,3 题 15 分,总计 35 分)
2 2 f ? x1, x2 , x3 ? ? 3x12 ? x2 ? 2x3 ? 3x1x2 ? x1x3 ? 4x1 ? 5x2 化为矩阵向量形式并检验 Q

? 2( x1? ? 2) ? ? ?2? ?f ( x ) ? ? ? ?? ? ?? 2 x2 ? ? x1 ?1 ? 0? ?

是否正定,如正定,试用公式

求这个函数的极小点。 X * ? ?Q?1b (4)求拉格朗日乘子(4 分) (4 分)

? 0? ?g 2 ( x ? ) ? ? ? ? ?1?

x2 ?0

解:将原函数按矩阵向量形式展开,得

由于拉格朗日乘子均为非负,说明

x (1) ? [1 0]T 是一个最优点,因为它满足 K-T 条件。

与题中函数比较各项系数为:
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(2 分)
第26页共34页

3、用共轭梯度法求下面函数的极值。已知初始点[1,1]T,迭代精度

? ? 0.001 2 f ( x) ? x12 ? 2 x2 ? 4 x1 ? 2 x1 x2

解: 1)第一次沿负梯度方向搜寻(2 分) 计算初始点处的梯度

? 2 x ? 2 x2 ? 4 ? ? ?4 ? ?f ( x 0 ) ? ? 1 ?? ? ? ? 4 x2 ? 2 x1 ? x0 ? 2 ?
取 沿

(2 分)

方向进行一维搜寻,得(3 分)

?4? d 0 ? ? g0 ? ? ? ?? 2?

?1? ? 4 ? ?1 ? 4? 0 ? x1 ? x 0 ? ? 0 d 0 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ?1? ? ?2? ?1 ? 2? 0 ?
为一维搜索最佳步长,可通过

f ( x1 ) ? min f ( x 0 ? ? d 0 ) ? min(40? 2 ? 20? ? 3) ? ?
求得:

?1' (a0 ) ? 0

? 0 ? 0.25
?1 ? 4a0 ? ? 2 ? x1 ? ? ??? ? ?1 ? 2a0 ? ?0.5?
四、论述题(本大题共 2 小题,每小题 15 分,总计 30 分)
2、 试论述现代设计方法的基本特点。 答:1)程式性:研究设计的全过程,要求设计者从产品规划、方案设计、技术设计、施工设计到试验、 试制进行全面考虑,按步骤有计划地进行设计; (2 分)



为建立第二个共轭方向,需计算 x1 点处的梯度及系数β 0 值,得 (3 分)

?2 x ? 2 x2 ? 4? ? ? 1? ?f ( x ) ? ? 1 ?? ? ? ? 4 x2 ? 2 x1 ? x1 ?? 2?
1

?0 ?

?f ( x )
1

2 2

?f ( x 0 )

?

5 ? 0.25 20

2)创造性:突出人的创造性,发挥集体智慧,力求探寻更多突破性方案,开放创新产品; 分) (2 3)系统性:强调用系统工程处理技术系统问题,设计时应分析各部分的有机关系,力求使系统整体最 优。同时考虑技术系统与外界的联系,即人-机-环境的大系统关系; (2 分)

4)最优化:设计的目的是得到功能全、性能好、成本低的价值最优的产品,设计中不仅考虑零部件参

?1? 1 ? 4 ? ? 2 ? d ? ??f ( x ) ? ?0 d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? 4 ?? 2? ?1.5?
1 1 0
(2 分)

数、性能的最优,更重要的是争取产品的技术系统整体最优;

(3 分)

5)综合性:现代设计方法是建立在系统工程、创造工程的基础上,综合运用信息论、优化论、相似论、 模糊论、可靠性理论等自然科学理论和价值工程、决策论、预测论等社会科学理论,同时采用集合、矩 阵、图论等数学工具和电子计算机技术,总结设计规律,提供多种解决设计问题的科学途径; (3 分)

第27页共34页

第28页共34页

6)计算机化:将计算机全面引入设计,提供设计者和计算机的密切配合,采用先进的设计方法,提高 设计质量和速度,计算机不仅用于设计计算和绘图,同时在信息储存、评价决策、动态模拟、人工智能 等方面将发挥更大作用。 2、试论述设计中作出正确决策一般应遵循的基本原则。 答:1)系统原则:从系统的观念来看,任何一个设计方案都是一个系统,可用各种指标来描述,而方 案本身又会与制造、检验、销售等其它系统发生关系。决策时不能只从方案本身或方案中某一性能指标 出发,还应考虑以整个方案的总体目标为核心的有关系统的综合平衡,以达到企业总体最佳的决策; (3 分) 2)可行性原则:作出的决策应该具有确定的可行性。成功的决策不仅要考虑需要,还要考虑可能;要 估计有利的因素和成功的机会,也要估计不利的因素和失败的风险;要考虑当前的状态和需要,也要估 计今后的变化和发展; (3 分) (3 分)

5.在消阴处理中,进行极大/极小检验,如果两个物体的投影不满足极大/极小条件,则两个物体之间( D ) A.相互完全遮挡 矩阵( C ) B.正定 C.半负定 D.负定 B.部分相互遮挡 C.相互不遮挡 D.遮挡关系不确定 6. 若函数 F(x)在 Dl 上具有连续二阶导数(D 是 Dl 内部的凸集), F(x)为 D 上的凸函数的充分必要条件是 F(x)的 Hessian 则

A.半正定

7.对约束优化问题,设计变量的选择( C ) A.可以在可行域中 B.不允许在可行域中 C.只允许在可行域中 D.不一定在可行域中 )

8.要将一个有约束问题的求解转化为一系列无约束问题的求解,可以选择( C A.复合形法 B.简约梯度法 C.罚函数法 B ) D.变尺度法 D.共轭梯度法

9.在解决线性规划问题时,首选的优化方法为( A.外点罚函数法 B.单纯形法

C.拟牛顿法

10.当目标函势沩凸函数,约『束函彭嘣黜函数时,K—T 条件是约束优化问题取得极值的( D ) A.必要条件 B.充分条件 C.一般条件 D.充分必要条件 11.有限元分析中,下列单元属于二维单元的是( D ) A.六面体单元 B.四面体单元 C.杆单元 D.三角形单元 12.用有限元方法求解问题获得的解属于( A ) A.近似解 B.精确解 C.解析解 D.半解析解 13.采用杆单元进行平面刚架有限元分析,杆单元的一端具有( B ) A.两个自由度 A.第 5 行第 3 列 B.三个自由度 B.第 14 行第 3 列 C.四个自由度 C.第 5 行第 14 列 D.六个自由度 D.第 14 行第 14 列 14.某刚架单元两节点对应的总体编码为 5 和 3,则局部座标系下的单元刚度系数 k 在总体刚度矩阵中的位置为( D ) 1 5.在平面应变问题中,沿轴线方向( C ) A.应变、应力都为零 C.应变为零,但应力不为零 B.应力为零,但应变不为零 D.应变、应力都不为零

3)满意原则:设计工作比较复杂,设计要求本身已包括很多方面,更何况这些方面又无法准确评价, 因而在设计中是无法获得十全十美的方案,只能在众多方案中选取一个或几个相对满意的方案; (3 分) 4)反馈原则:设计过程中的决策是否正确,要通过实践来检验,要根据实践过程中每个因素在发展变 化中所反馈的信息,及时作出调整,正确决策; (3 分)

5)多方案原则:随着设计过程中各设计方案的逐步具体化,人们对各方案的认识也会逐渐加深。为了 保证设计质量, 特别是在方案设计阶段, 决策可以是多方案的。 决策者可以让几个选出的方案同时发展, 直到确定各方案的优劣后再作出新的决策。
高等教育自学考试考前模拟试题现代设计方法试题 一、单项选择题(本大题共 20 小题。每小题 1 分。共 20 分) 1.CAD 一词已经成为世界通用的名词,它是指( A ) A.计算机辅助工程 B.计算机辅助制造 C 计算机辅助设计 D.计算机辅助工艺规程设计 2.实验测试了自变量为 3,4,5,6,7,8 时的函数值,现要用抛物线插值法计算 5.3 处的函数值,选择下列哪组自变 量及其对应的函数值进行插值计算较为合理( C ) A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,6,7 C 三维 D.6,7,8 3.设备坐标系的维数一般为( B ) A.一维 B.二维 D.四维 4.将平面图形沿 X 方向平移 10 个单位,沿 Y 方向平移 15 个单位,其坐标变换矩阵为( A )

(3 分)

16.若产品的平均寿命等于失效率的倒数则产品的寿命服从( C ) A.正态分布 B.泊松分布 C.指数分布 D.二项分布 17.在平均安全系数不变的情况下,由于强度(或应力)的分散度增大会使零件的可靠度( A ) A.降低 B.提高 C.不变 D.无法确定 18.当系统中任何—个零件发生故障都会导致整个系统失效,该系统是( A ) A.串联系统 B.冗余系统 C.表决系统 D.非工作冗余系统 19.并联系统的可靠度比组成该系统的零件的可靠度( B ) A.底 B.高 C.相等 D.不确定 20.产品工作到 t 时刻后的单位时间内发生失效的概率称为( D ) A.平均寿命 B.平均失效密度 C.平均可靠度 ) D.绘图仪 E 平移 E.光笔 D.平均失效率 二、多项选择题(本大题共 5 小题。每小题 2 分.共 10 分) 21.下列设备属于 CAD 的输入设备的,有( A.显示器 B.扫描仪 BCE

? 1 0 0? ? 1 0? A. 0 ? ? ?10 15 1? ? ?

0 0? ? 1 ? 0 1 0? B. ? ? ?? 10 ? 15 1? ? ?

? ?10 0 0? ? ? ? C. 0 15 0 D. ? 0 ? ? ?10 ?10 0 1? ? ? ? 1
第29页共34页

0 15 0

0? 0? ? 1? ?

C.键盘

22.通过矩形窗口与矩形视区的匹配,可以实现图形的( ABD ) A.放大 B.缩小 C.锗切 D.摇视 23.下列方法中属于利用目标函数的导数构造搜索方向的优化方法有( BE ) 第30页共34页

A.坐标轮换法

B.梯度法

C.单纯形

D.Powell 法

E.变尺度法

24.单元刚度矩阵具有( ACE ) A.奇异性 B.正定性 C.分块性 D.稀疏性 E.对称性 25.如图所示的 2/4 表决系统,下列情况系统可以正常工作的是( ABCDE ) A.a、b 失效 c、d 正常 B.a 失效 b、c、d 正常 C.a、b、c、d 正常 D.a、c 正常 b、d 失效 E.a、d 失效 b、c 正常 三、填空题(本大题共 10 小题,每小题 1 分,共 10 分) 26.可靠度是对产品可靠性的 概率 度量。 组合 支撑 方式。 软件和专用。 拓扑结构 信

F

( k ?1)

?F

(k )

? ?或

F ( k ?1) ? F ( k ) F (k )

??

用梯度的模作为终止迭代规则。

?F (k ?1) ? ?

38. 在有限元分析中,对结构划分的单元数是否越多越好?为什么? 答.不是。 单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸和自由度数。 虽然一般单元的数量越多精度越高,但也有一个界限,超过这个值,精度的提高就不明显。 39. 系统的可靠分配按分配原则不同,有哪些分配方法?各自分配原则是什么? 答. (1)系统的可靠度分配方法有:等同分配法、加权分配法和动态规划最优分配法。 (2) (a)等同分配法按系统中各元件(子系统或零部件)的可靠相等的原则进行可靠度分配。 (b)加权分配法按各子系统在整个系统中的重要度以及各子系统的复杂度作为权重的原则来分配可靠度。 (c) 动态规划最优分配法可以把系统的成本等因素为最小作为目标函数, 而把可靠度不小于某给定值作为约束条件的原 则分配可靠度;也可以把系统的可靠度尽可能大作为目标函数分配可靠度。 有约束优化 二 次 拟合成 40. 试简述编码剪裁(Cohen-Sutherland)算法的基本原理。 答.将窗口的四个边界向两边延伸,把平面分成 9 个区域,每个区域用四位二进制表示; 线段的端点落在哪个区域则端点的编码就与该区的编码相同; 如果线段两端点的编码都为“0000” ,则线段位寺窗口内;如果线段两端点编码的逻辑乘不为“0000” ,则线段位于窗口 外; 如果线段不能用上述方法测试决定,则将线段分割,然后用上述方法判断。 非节点 载荷需要进行载 五、计算题(本大题共 4 小题,41、42 题各 5 分,43、44 题各 10 分,共 30 分) 41.已知某零件的工作应力和材料强度均服从正态分布,且应力的均值为 480Mpa,标准差为 36Mpa,材料强度的均值为, 瞬态 问题。 标准差为,试确定零件的可靠度。 答.零件的工作应力和材料强度均服从正态分布,且

27.系统的可靠度取决于组成系统的零部件的可靠度和零部件的 28.CAD 系统的软件根据其用途可分为三类,它们是:系统软件、 息数据。

29. 在实体的边界表面表示法(B--re: p)中, 实体外表面信息数据可分为两类, 它们是几何信息数据和

30.优化问题按目标函数的性质和约束的性质分为无约束优化问题和 收敛性。

31.对于一种优化算法,如果从理论上讲经过有限步搜索可求出二次目标函数的极值点,则这种算法具有

32.工程数据采用程序化方法处理时,一般有两种方法,一种为查表、插值的方法,另一种为将数据和线图 经验公式 。 函数值 增长最快的方向。

33.梯度方向是指 荷的移置处理。

34.对结构进行有限元分析时,结构所受的载荷可以分为节点载荷和非节点载荷,对于

35.用有限元法求解汽车在路面谱激励下的响应,该问题属于 四、简答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 36.在进行图形处理时,为什么要引入规格化设备坐标系?

答: (1)由于用户的图形是定义在世界坐标系里,而图形的输出是定义在设备坐标系里。不同的图形设备具有不同的设 备坐标系且其工作范围也不相同。 (2)为了便于图形处理,有必要定义一个标准设备,引入与设备无关的规格化设备坐标系,采用一种无量纲的单位代替 设备坐标,当输出图形时,再转化为具体的设备坐标。 (3)规格化设备坐标系的取值范围是左下角(0,0) ,右上角(1,1) ,其工作范围为 0~1。 37.迭代法的基本思想是什么?常用的终止准则有哪些? 答. (1)迭代法的基本思想是“步步逼近” ,最后达到目标函数的最优点。 首先选择一个尽可能接近极值点的始点,从初始点出发,按照一定的原则寻找可行方向和初始步长,向前跨出一步,得 到新点,再把新点作为初始点重复进行。每次迭代都必须使目标函数值向最优值靠近。 (2)常用的终止规则有

? r ? 78MPa, ? r ? 600MPa,? s ? 36MPa, ? s ? 480MPa
?? ?

?r ? ?s ? r2 ? ? s2
600 ? 480 782 ? 362 ? 1.39686

?

查表得,该零件的可靠度为:R=0.91924
2 x (0) ? [0,0]T 开始,求无约束问题 MinF (x)= x12 ? x2 ? x1 x2 ? 4 x2 ? 10的最优解。 (计算

42.用梯度法,从起始点 (a) (b) 用相邻两点的矢量差的模作为终止迭代规则。

x ( k ?1) ? x ( k ) ? ?
两步)

用两次迭代的目标函数值之差作为终止迭代规则。

答(1)求初始点梯度 ?F ( x) 第31页共34页

? {2x1 ? x2 ,2x2 ? x1 ? 4}T
第32页共34页

?F ( x (10) ) ? {0,4}T
(2)第一次搜索

正方向为沿轴线方向由节点 2 指向节点 3,在局部坐标系下每个单元的刚度矩阵分别为[K]

(1 )

=E ?

?F ( x (10 ) ) ? 4

S (0) ? ??F ( x (10) ) / 4 ? ?{0,1}T
( 2)

? 1 ? 1? ? ,[K] ?? 1 1 ?

a ( 0) ? 2

x (1) ? x (0) ? aS (0) ? {0,0}T ? 2{0,1}T ? {0,?2}T
(1)

=

2 [ K ](1) ,求桁架的总体刚度矩阵[k]. 2
e

(3)第二次搜索 ?F ( x
(1)

)?2
(1)

S (1) ? ??F ( x (1) ) / 2 ? ?{0,1}T
(1)

?cos ? 答.平面桁架的坐标转换矩阵为 T ? ? ? 0 ?0 1 0 0 ? ?? ? ?0 0 0 1 ?
(1)

sin ? 0

0 cos ?

0 ? sin ? ? ?
( 2)

(e)

a

?1

x

( 2)

?x

? aS

? {0,?2} ? 2{1,0} ? {?1,?2}
T T

T

由局部坐标系与总体坐标系的关系知:单元(1) ?

? 90? ,单元(2) ? ? 135 ?

43.一组合变换如下,先将图形绕(3,4)点旋转 60°,然后放大一倍。 (1) (2) 试求该组合变换的变换矩阵; 三角形各顶点的坐标为 A(10,0) 、B(10,20) 、C(0,20) ,试求经过上述变换后三角形各顶点坐标。

?T

(1)

T

( 2)

2 ? 2

?? 1 1 0 0? ? 0 0 ? 1 1? ? ?

答. (1)将图形绕(3,4)点旋转 60°的变换矩阵:

在整体坐标下单元的刚度矩阵为

?K ?(e) ? ?T (e) ?T ?K ?(e) ?T (e) ?
?0 0 ?0 1 ? E? ?0 0 ? ?0 ? 1 0 0? 0 ? 1? ? 0 0? ? 0 1?

0 0? ? cos(60?) sin(60?) 0? ?1 0 0? ? 0.5 0.866 0? ?1 ?0 ? ?? sin(60?) cos(60?) 0? ?0 1 0? = ?? 0.866 T1 ? ? 1 0? ? 0 .5 0? ? ?? ? ? ?? 3 ? 4 1? ? 0 0 1? ?3 4 1? ? 4.9643 ? 0.598 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 0 0? ? ? 将图形放大一倍 T2 ? 0 2 0 ? ? ?0 0 1 ? ? ?
该组合变换的变换矩阵:

? ?K ? ? T (1)
(1)

? ? ?K ? ?T ?
T (e) (1)

?K ?( 2) ? ?T ( 2) ?T ?K ?( 2) ?T ( 2) ?

0.866 0? ?2 0 0? ? 1 1.732 0? ? 0.5 ?? 0.866 ? ?0 2 0? ? ?? 1.732 T ? T1 ? T2 ? ? 0.5 0? ? 1 0? ? ? ? ? 4.9643 ? 0.598 1? ?0 0 1? ? 9.928 ? 1.196 1? ? ?? ? ? ? ?10 0 1? ? ? (2)三角形顶点坐标矩阵为: ?ABC ? 10 20 1 ? ? ? 0 20 1? ? ?
变换后三角形的坐标: ?A?B ?C ?

? ? ?1 ?1 ? ? ? ? 2 ?? 1 1 1 ? 1? ? E 4 ?? 1 1 1 ? 1? ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ?

单元(1)局部码对应的总码为 1、3,单元(2)局部码对应的总码为 2、3

? ?K ?

(1)

?K ? ? 11 ? K 31

K 13 ? K 33 ? ?

(1)

? ?K ?

()

?K ? ? 11 ? K 31

K13 ? K 33 ? ?

(1)

按照刚度订成法,可得出总体刚度矩阵为

? ?ABC ? T

1.732 0? ? 19.928 16.124 1? ?10 0 1? ? 1 ?10 20 1? ?1.732 1 0? = ?? 14.712 36.124 1? =? ?? ? ? ? ? 0 20 1? ?9.928 ? 1.196 1? ? 24.712 18.804 1? ? ?? ? ? ?
44.如图所示的平面桁架, 由两个单元组成, 单元 (1) 与单元 (2) 二者之间角为 45°, ,

??

?K ? ? ? 0 (1 ?K 31) ?
(1) 11

0
(2 K 22 ) (2 K 32 )

单元(1)的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点 1 指向节点 3,单元(2)的局部坐标 第33页共34页

?0 0 0 ? 0 ?0 1 2 ? ?0 0 (1) 4 ? K 13 ? ? 2 (1 K 23) ? ? E ?0 0 ? ? 4 (1 (2 K 33) ? K 33 ) ? ? ? 2 ?0 0 ? 4 ? ? 2 ?0 ? 1 4 ?
第34页共34页

0 0 2 ? 4 2 4 2 4 2 ? 4 ?

0 0 2 4 2 4 2 4 2 ? 4

? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? 2 ? ? ? 4 ? 2? 1? ? 4 ? 0


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