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【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业:8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图]


第八章

立体几何

第1讲

空间几何体的结构、三视图和直观图

基础巩固

1.在下面四个命题中,真命题有(

)

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形;③底面 为矩形的平行六面体是长方体;④侧面是正方形的正

四棱柱是正方体. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】A 【解析】由棱柱、直棱柱的概念可得命题④正确. 2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰, 以下四个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【答案】B 【解析】选项 B 由于底面形状未定,仅依靠等腰不能确定侧面高是否相等.

3. 如 图 所 示 , 已 知 △ABC 的 水 平 放 置 的 直 观 图 是 等 腰 Rt△A'B'C', 且 ∠A'=90°,A'B'=,则△ABC 的面积是( ) A. B.2 C.4 D.1 【答案】B 【解析】因为由题意可知∠A'B'C'=45°,A'B'=, 从而 B'C'=2, 所以△ABC 为直角三角形,∠B=90°,AB=2A'B'=2,BC=B'C'=2. 故 S△ABC=×2×2=2. 4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【答案】D 【解析】正方体的三视图均为正方形;圆锥的三视图为两个相同的三角形和带一圆

心的圆;三棱台的三视图为两个不同的梯形和两个嵌套的三角形 ;正四棱锥的三视 图为两个相同的三角形和一个正方形.故选 D. 5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图甲所示 , 则该几何体的侧视图 为( )



【答案】B 【解析】由三视图的相关知识易知应选 B. 6.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E,F 分别是棱 AA1,DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为( ) A. B.1 C.1+ D. 【答案】D 【解析】由题意知球 O 半径为,球心 O 到直线 EF 的距离为,因此直线 EF 被球 O 截 得的线段长 d=2. 7.一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形, 俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )

A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】由三视图知该几何体为正六棱锥,底面边长为 1,高为,侧视图为等腰三角 形,底边边长为,高为.故所求侧视图的面积为. 8. 棱 长 为 a 的 正 四 面 体 ABCD 的 四 个 顶 点 均 在 一 个 球 面 上 , 则 此 球 的 半 径

R=
【答案】a

.

【解析】 如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O,由 D 点向底面 ABC 作垂线,垂足为

H,连接 AH,OA,则可求得, AH=a, DH=a. 在 Rt△AOH 中, 可得=R2, 解得 R=a.

9.有一块多边形的菜地 ,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 (如 图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 . 【答案】2+ 【解析】在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45°, 可得 BE=. ∵四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1.故 BC=BE+EC=+1. 由此可还原原图形如图.

在原图形中,A'D'=1,A'B'=2, B'C'=+1, 且 A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C', 故这块菜地的面积为 S=(A'D'+B'C')·A'B' =×2=2+.

10.如右图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面 圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体 ,若这个平面垂直于圆 柱底面所在平面,那么所截得的图形可能是下图中的 (把可能的图的序号 都填上).

【答案】①③ 【解析】截面为轴截面时可得①,不是轴截面时可得③.

11.某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392cm2,母 线与轴的夹角为 45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.

【解】作出圆台的轴截面如图. 设圆台的上、下底面半径分别为 x cm 和 3x cm,延长 AA1 交 OO1 的延长线于点

S.
在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°. 于是 SO=AO=3x,OO1=2x. 又×(6x+2x)×2x=392,解得 x=7, 所以圆台的高 OO1=14cm,母线长 l=OO1=14cm,底面半径分别为 7cm 和 21cm. 12.在半径为 25cm 的球内有一个截面,它的面积是 49π cm2,求球心到这个截面的距 离.

【解】设球半径为 R,截面圆的半径为 r,球心到截面的距离为 d,如图. ∵S=π r2=49π cm2, ∴r=7(cm). 因此 d==24(cm). 故球心到这个截面的距离为 24cm. 13.如图①,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直,图②为该四棱 锥的正视图和侧视图,它们是腰长为 6cm 的全等的等腰直角三角形.

图①

图② (1)根据图②所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA.

【解】(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线,边长为 6cm 的正方形,如图,其面积为 36cm2.

(2)由侧视图可求得 PD==6. 由正视图可知 AD=6 且 AD⊥PD. 故在 Rt△APD 中,PA==6(cm). 拓展延伸 14.从一个底面半径和高均为 R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心 为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并且 平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.

【解】几何体轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱截面半径 O1C=R,

设圆锥截面半径 O1D=x, ∵OA=AB=R, ∴△OAB 为等腰直角三角形. 又 CD∥OA, ∴BC=CD=R-x. 又 BC=R-l, ∴x=l. 故所求截面面积为 S=π R2-π l2=π (R2-l2).


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