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圆的弦长


4.2.1直线和圆的位置关系

位置 图形 关系

几何特征

方程特征

判定方法 几何法 代数法

相交

有两个公 共点

方程组有 两个不同 实根

d<r

△>0
<

br />相切

有 且 只 有 方程组有 一 个 公 共 且只有一 点 个实根

d=r d>r

△=0 △<0

相离

没 有 公 共 方程组 点 无实根

例3、设有圆C : ( x ? 2)2 +(y-4)2 =9与直线l : ax ? y ? 4 ? a ? 0
(1)证明:无论a为何实数,直线l与圆C恒相交 (2)试求直线l被圆C截得弦长的最大值
解:(1)如图设圆心到l的距离为d 圆心C (2, 4), 半径r ? 3 d? 又 a a ?1
2

2a ? 4 ? 4 ? a a ?1
2

?

a a2 ? 1

a2 ? 1 ? a2 ? a ? 0 ?? 1 ? 3 ? r ? l与C 恒相交

y
D

B
d
C(2,4)

A

0

x

例3、设有圆C : ( x ? 2)2 +(y-4)2 =9与直线l : ax ? y ? 4 ? a ? 0
(1)证明:无论a为何实数,直线l与圆C恒相交 (2)试求直线l被圆C截得弦长的最大值
另解:(1)因为l:y=a(x-1)+4 过定点N(1,4) N与圆心C(2,4)相距为1
例1

y

B

显然N在圆C内部,故直线l与圆C恒相交 A
N C(2,4)

0 x (2)在y=ax+4-a中,直线恒过定点,弦AB的最大值为直径的长, a为斜率,当a=0时,l过圆心,弦长等于6

例1.已知直线 y=x+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 点,求弦长|AB|的值
x 2 ? y 2 ? 25

相交于A,B两

解法一:(求出交点利用两点间距离公式)

? y ? x ?1 2 y 由? 2 消去 y 得 2 x ? 2 x ? 3 ? 0 2 ?x ? y ? 4
?1 ? 7 ?1 ? 7 ? x1 ? , x2 ? 2 2
A O

B

1? 7 1? 7 ? y1 ? , y2 ? 2 2

x

?1 ? 7 1 ? 7 ?1 ? 7 1 ? 7 ? A( , ), B( , ) 2 2 2 2

? | AB |?

14

2 2 2 2 x ? y? 4 ? 25 x ? y 1 .已知直线 x-y+1=0 与圆 相交于 A,B 两点,求弦长

|AB|的值

x 2 ? y 2 ? 25

y 解法二:(解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形)

设圆心O(0,0)到直线的距离为d,则

B

2 d? ? 2 2 1 ? (?1)
2 2

1

r A

d
O

?| AB |? 2 r ? d ? 14
总结:求圆的弦长可以利用圆中 半弦长、弦心距d 及半径 r 构成 的直角三角形来求,此时弦长 2 R2 ? d 2

2 2 2 2 x ? y? 4 ? 25 x ? y 1.已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点,求弦长

|AB|的值
解法三:(弦长公式)

x 2 ? y 2 ? 25

? y ? x ?1 由? 2 消去y 2 ?x ? y ? 4 得2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 3 ? x1 ? x2 ? ?1, x1 x2 ? ? 2
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1? k 2 ? 1?1 ? 14
2

y B A

O

x

?x ? x ?
1
2

2

? 4 x1 x2

3 (?1) ? 4 ? (? ) 2
2

方法小结
求圆的弦长方法

?l ? 2 2 ? R ? d ?? ? 2? ? ?

2

(1)几何法:用弦心距,半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标,用两点间距离公式 (2)代数法:
用弦长公式 AB ? 1? k x1 ? x 2
2

韦达定理

例2、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 方程。
解:因为直线l 过点M,可设所 求直线l 的方程为:

y

y ? 3 ? k ( x ? 3) 即 : kx ? y ? 3k ? 3 ? 0
2 2

对于圆: x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 25 ? 圆心坐标为(0, ?2), 半径r ? 5 如图: TF ? 4 5
EF ? 2 5

T

M

. .
E

O

x

F

, OE ? 5

OE ?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ? 1

?

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ? 1

? 5
y

解得: 所求直线为:

1 k ? 2或k ? ? 2
M

x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2x ? y ? 3 ? 0 E

. .

O

x

F

练习.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 6 2的 直线的方程. ? 分析:充分利用半径?弦?弦心距之间的关系. ? 解:如下图所示, AB ? 6 2, OA ? 2 5, 作OC⊥AB于C,

求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为 线的方程.



? ? ? ? ? ? ? ? ?

在Rt△OAC中,OC= 20 ? (3 2)2 ? 2. 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y+4=k(x-6), 即kx-y-6k-4=0. ∵圆心到直线的距离为 2, | 6k ? 4 | ? 2, ∴ 2 1? k 即17k2+24k+7=0. 7 . ∴k1=-1,k2= ? 17 ∴所求直线方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.

直线与圆相交,求直线方程
例2.已知过点M ( ?3,?3)的直线l被圆x ? y ? 4 y ? 21 ? 0
2 2

所截得的弦长为 4 5 , 求直线l的方程.
变式1:点M和圆方程不变,截得弦 长为 8, 求直线l的方程. 变式2:点M和圆方程不变,
求截得的弦长最长时,直线l 的方程 变式3:点M和圆方程不变, 求截得的弦长最短时,直线l 的方程 变式4:点M和圆方程不变,当直线
把圆的周长分为 1 : 2两部分时,求l的方程.

y

M C.

.

O

x

E
F

练习
1.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆x2+y2=4所得劣弧 所对圆心角大小为_______.
y
B 圆心到直线距离 d=

3
O

M
A x

OM 3 cos ?MOA ? ? OA 2
得∠AOB=2∠MOA=600

小结
判断直线与圆位置关系
方法1: 根据直线与圆方程组成 的方程组的解的个数判断; 方法2: 根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系判断.

弦长问题
方法1:联立方程,利用弦长 计算式: 方法2:应用圆中直角三角形 : l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

?l? r ? d ?? ? ?2?
2 2

2

求切线方程
方法1: 设切线斜率,写出切线 方程,联立方程,利用判别式 为0; 方法2: 设切线斜率,写出切 线方程,用圆心到切线距离 等于圆的半径.

2.已知圆C : x ? ( y ? 1) ? 5, 直线l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

(1)证明:对m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若 AB = 17求m的值 B
d r

A

l

(2)由平面解析几何的垂径定理可知
17 3 m 3 ? d ? 5 ? ? ,即 ? 2 4 4 1? m 4
2 2

17 2 r ? d ?( ) 2
2 2

得m 2 ? 3则m ? ? ?m 的值为 ? 3

3

变式演练1
m为何值时,直线2 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 5
2 2

(1)无公共点;(2)截得弦长为2;
解: (1)由已知,圆心为O(0,0), 半径r ?

5,

圆心到直线2 x ? y ? m ? 0的距离d ?
因为直线与圆无公共点, ? d ? r ,即 m

m 2 ? (?1)
2 2

?

m 5

,

5 故当m ? 5或m ? ?5时,直线与圆无公共点。
(2)如图,有平面几何垂径定理知

? 5 ? m ? 5或m ? ?5
y d r 0 x

m r ? d ? 1 , 即5 ? ? 1得m ? ?2 5 5
2 2 2 2

故当m ? ?2 5时,直线被圆截得的弦长为2

例1[变式].求直线l : 3 x ? y ? 6 ? 0被圆x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 所截得的弦长.
方法1:应用圆中直角三角形: 半径为r ,圆心到直线距离为d,弦长为l ?l? r ? d ?? ? ?2?
2 2 2

探究二:直线与圆相交,弦长 问题 2 2
y

l

B A

数形结合

C. D

方法2:联立方程,利用弦长 计算式: l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

O

x

代数运算

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

直线与圆相交,求直线方程
例2.已知过点M ( ?3,?3)的直线l被圆x ? y ? 4 y ? 21 ? 0
2 2

所截得的弦长为 4 5 , 求直线l的方程.
变式1:点M和圆方程不变,截得弦 长为 8, 求直线l的方程. 变式2:点M和圆方程不变,
求截得的弦长最长时,直线l 的方程 变式3:点M和圆方程不变, 求截得的弦长最短时,直线l 的方程 变式4:点M和圆方程不变,当直线
把圆的周长分为 1 : 2两部分时,求l的方程.

y

M C.

.

O

x

E
F

练习
1.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆x2+y2=4所得劣弧 所对圆心角大小为_______.
y
B 圆心到直线距离 d=

3
O

M
A x

OM 3 cos ?MOA ? ? OA 2
得∠AOB=2∠MOA=600

小结
判断直线与圆位置关系
方法1: 根据直线与圆方程组成 的方程组的解的个数判断; 方法2: 根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系判断.

弦长问题
方法1:联立方程,利用弦长 计算式: 方法2:应用圆中直角三角形 : l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

?l? r ? d ?? ? ?2?
2 2

2

求切线方程
方法1: 设切线斜率,写出切线 方程,联立方程,利用判别式 为0; 方法2: 设切线斜率,写出切 线方程,用圆心到切线距离 等于圆的半径.

练习
圆(x-3)2+(y+5)2=50被直线4x-3y=2截得
10 的弦长是________.

能力提升:

1.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0当直线l 被C截得的弦长为 2 3时,则a=( C ) (A)

2

(B) 2 - 2

(C)

2 -1

(D)

2 ?1

B D A
L

.C

?l ? 2 2 ? R ? d ?? ? 2? ? ?

2

能力提升
2.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆x2+y2=4所得劣弧 所对圆心角大小为_______.
y
B 圆心到直线距离 d=

3
O

M
A x

OM 3 cos ?MOA ? ? OA 2
得∠AOB=2∠MOA=600

能力提升:

1.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0当直线l 被C截得的弦长为 2 3时,则a=( C ) (A)

2

(B) 2 - 2

(C)

2 -1

(D)

2 ?1

B D A
L

.C

?l ? 2 2 ? R ? d ?? ? 2? ? ?

2

检测:

1、求直线 弦长。

x ? 3y ? 2 3 ? 0

被圆

x ?y ?4
2 2

截得的

㈡应用提高 方法小结㈡
求圆的弦长方法 (1)几何法:用弦心距,半径及半弦构成直角三角形的三边 求交点坐标,用两点间距离公式 (2)代数法:
用弦长公式 AB ? 1? k x1 ? x 2
2

韦达定理

1、定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平 分线的交点,叫做三角形的内心。
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等; 内心与顶点连线平分内角。
A

O

B

C

点O是△ABC的内心
A

① OD=OE=OF=r
F O E

② AO平分∠BAC

BO平分∠ABC
B

D

C

CO平分∠ACB ③ AE=AF

BD=BF
CD=CE

思考4:设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点,过点M作圆 的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程如何?
解:设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x ? y1 y ? r 2 , lBP : x2 x ? y2 y ? r 2
2 ? x x ? y y ? r (1) ? 1 0 1 0 ?? 2 ? x x ? y y ? r (2) 2 0 ? 2 0

A

y

M

o

B

x

由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上 由(2)说明点 ( x2 , y2 )在直线x0 x ? y0 y ? r 2上

? l AB : x0 x ? y0 y ? r

2

x0x+y0y=r2


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