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高二数学上学期期中复习解三角形数列不等式习题与答案


专注数学,成就孩子

高二期中模拟卷(一)
一、选择题(每小题 5 分, 共 50 分) 1.已知数列: 1, 4 , 7 , 10 ,?, 3n ? 2 ,则 31 是这个数列的 ( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 12 项 D.第 21 项 2.已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16,则a8 的值是( ) A.

16 B.

8

C.

7

D. ) D. ) D.

4

3.已知等比数列 ?a n ?中, a 2 ? 2,a5 ? A. ?

1 ,则公比 q 为( 4

1 B. ? 2 C. 2 2 4.已知 a ? b , c ? R , 则下列不等式中正确的是(
A. ac ? bc
2

1 2 1 1 ? a b

B. ac ? bc
2

2

C. a ? c ? b ? c )

5.不等式 5 ? x ? 4 x 的解集为( A. (?5,1) C. (?1,5)

B. (??,?5) ? (1,??) D. (??,?1) ? (5,??)
? ?

6.已知 ?ABC 中, a ? 4 , A ? 30 , B ? 45 ,则 b 等于( A. 3 B. 3 2 C. 4 2 )



D. 4 3

7.已知 ?ABC 如图(1) ,则边长 BC 的长为( A. 2 C. 7
2 2

A
3 2

B. 5 D. 3
2

60 ?
图(1)

B
) D. 120
?

C

8.在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,则 A 等于( A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

9.已知等差数列 {a n } 的公差为 2 ,若 a1 , a 3 , a 4 成等比数列,则 a1 等于( A.? 2 B. ? 4 C. ? 6 D. ? 8



?x ? y ? 1 ? 10.已知 x 、 y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ? y ? ?1 ?
A. ? 5 B.





3 2

C. 3
1

D. ? 3

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二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.在 ?ABC 中, b ? 4,c ? 6, ? 30 ,则 ?ABC 的面积为 A
2 ?



12.对任意 x ? R ,不等式 kx ? 2kx ? 1 ? 0 恒成立,则 k 的取值范围为__ ___________; 13. 已知数列 {a n } 中, an ?

1 n ? n ?1

(n ? N ? ) ,数列的前 n 项和为 S n ,则 S15 =



14.如图(2) ,黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案中有黑百两 种颜色地面砖共_________________块。

图(2) 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15.(本小题共 13 分) 解不等式组
[来源:Zxxk.Com]

{

x 2 ?6 x ?7?0 x ? 2?0

16.(本小题共 13 分) 已知等差数列 ?an ?中, a1 ? 2, a3 ? a 4 ? 19 , 求(1)数列的通项 a n ; (2)数列的前 n 项和 S n .

2

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? 17.(本小题共 13 分) 已知在 ?ABC 中, A ? 60 , a ?

6 , c ? 2 ,求角 C 和边长 b .

[来源:学科网 ZXXK]

18.(本小题共 13 分)某海防哨所 O 发现在它的北偏西 15 ,距离为 30 海里的 A 处有一艘船,该船向正东 方向航行, 20 分钟后到达哨所北偏东 45 的 B 处,求这艘船的航 速是多少海 里/小时? 北
?

?

A


B


O
北 图(3) (3)



3

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19. ( 本小题共 14 分) 本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总 费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 /分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电 视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元。问该公司如何分配在 甲 、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

20. (本小题共 14 分)已知数列 {a n } ,其前 n 项和为 Sn ?

3 2 7 n ? n 2 2

(n ? N ? ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式,并证明数列 {a n } 是等差数列; (2)如果数列 {bn } 满足 a n ? log 2 bn ,证明数列 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 R n ; (3)设 cn ?

9 k ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N 都 (2an ? 7)(2an ? 1) 57

成立的最大正整数 k 的值.
[来源:学科网]

4

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高二期中模拟卷(二)
一、选择题(60 分) 1.在△ABC 中,若 a2=b2+c2+ 3 bc ,则 A 的度数为 A.300 B.1500 C.600 D.1200 ( )

o 2.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的值为

( A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3 (



3.若三角形三边长之比为 3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是 A.60° B.90° C.120° D.150° 4.已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64







5.如果数列 ?an ? 是等差数列,则 A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 6.已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则 A. ? B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5





1 3

a1 ? a3 ? a5 ? a7 等于 a2 ? a4 ? a6 ? a8
C.





1 3

B. ?3

1 3
2

D. 3

7.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =





A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

8.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 A.4 B.3 C.2 D.1

a c ? ? ( m n




9.已知等差数列 ? an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? B. ?6 x?2 10.不等式 ≥0 的解集是 x ?1 A. [2,+∞] B. ? ??,1? ∪(2,+∞) A. ?4 C. ?8 D. ?10



( C. (-∞,1)
5



D. (-∞,1)∪[2,+∞]

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11.已知点(3,1)和(- 4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 A.a<-7 或 a>24 B.a=7 或 a=24 C.-7<a<24 D.-24<a<7 12.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x| - A.-10 二、填空题(16 分) 13.在△ ABC 中,若 B.-14 ( )

1 1 < x < },则 a + b 的值为 3 2
C.10 D.14





a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C
2

14.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? ?n ? 10n ,则其通项 an ? 大值为

;当 n ?

时 S n 最大,且最

15.已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= _______

?x ? 2 ? 16.若 ? y ? 2 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ?x ? y ? 2 ?

第Ⅱ卷(74 分)
三、解答题(22 题 14 分,其余各题 12 分) 17. (13 分)在△ ABC 中, A ? 120 , a ? 21, S ?ABC ? 3 ,求 b, c 。
0

18. (12 分)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现 测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

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19.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ? 48n 。
2

(1)求数列的通项公式; (2)求 S n 的最大或最小值。

20.设 a1 ? 2, a 2 ? 4,

数列 {bn } 满足: bn ? a n ?1 ? a n ,

bn ?1 ? 2bn ? 2.

(Ⅰ)求证数列 {bn ? 2} 是等比数列(要指出首项与公比), (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式.

21.设不等式 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B.
2 2

(1)求 A∩B; (2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求 a, b 的值.
2

22.某纺纱厂生产甲.乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨.二级子棉 1 吨;生产乙种 棉纱需耗一级子棉 1 吨.二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨.二级子棉不超过 250 吨.甲.乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨) ,能使利润总额最大?

7

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高二期中模拟卷(三)
一、 选择题(每题 5 分,共 60 分) ( ) D. (?2,1) ) 1.不等式 (1 ? x)(2 ? x) ? 0 的解集为 A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (??, ?2) ? (1, ??)
2

C. (?1, 2)

2. 已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = ( A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

3、在△ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0



B. 45 或60
0

0

C. 120 或60
0

0

D. 30 或150
0

0

4、等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( A.1 B



5 3
B. ac ? bc

C.- 2 ) C. ac ? bc
2 2

D 3

5、若对于任意实数 a, b, c ,且 a ? b, 则( A. a ? b
2 2

D. ( ) a ? ( ) b

? x ? ?1 ? 6、若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为( ?3 x ? 2 y ? 5 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 7、已知等比数列 {an } 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是( A. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?
2

1 2

1 2



) D. ? ??, ?1? )

B. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ?

C. ?3, ?? ?

8、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? 则 a ? b 的值为( 2 3?
D.14

A. ? 10

B. ? 14

C.10

9、在△ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,若(a +c -b )tanB= 3ac ,则角 B 的值为(
2 2 2

)

A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

8

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10、二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ? 的条件是(
2

) D. ?

A. ?

?a ? 0 ?? ? 0

B. ?

?a ? 0 ?? ? 0

C. ?

?a ? 0 ?? ? 0

?a ? 0 ?? ? 0

11、在等比数列 {an } 中, a7 ? a11 ? 6 , a4 ? a14 ? 5, 则

a20 ?( a10



A.

3 2 或 2 3

B.3

C.

3 2 ? 或2 3

D.

2 3


12、设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 A 8 B 4 C 1

1 1 ? 的最小值为( a b 1 D 4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、不等式组 ?

? x2 ? 4 x ? 4 ? 0 ? 的解集是 2 ? ?4 x ? 27 x ? 18 ?

14、在等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450, 则a2 ? a8 ?

15、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,如果 a, b, c 成等差数列, 且 ?B ? 30 , ?ABC 的面积为
0

3 ,那么 b ? 2

16、如果执行右边的程序框图,那么输出的 S=

三、解答题(共 70 分) 17 、 ( 10 分 ) 在

?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 , 若
a b s i ? n C 求角2C 的大小并判断 ?ABC 的形状。 , s Ai n B c o s ,

(a ? b ? )c ( ? a

? ) 且3 b c ?

9

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18、(12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。

19、(12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2n ,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 。
2

(1)求 a1 , a2 的值;

(2)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式。

20、 (12 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左、右两端与后侧内墙 各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最 大?最大种植面积是多少?

2

10

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21、 (12 分)设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? , (Ⅰ)求 tan A

3 c. 5

1 的值; tan B

(Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

22、(12 分)已知各项不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ), 且b1 ? 3, 求数列 {
*

1 } 的前 n 项和。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m bn

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高二期中模拟卷(四)
一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 1、已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a 8 ? a 9 ? 21 ,则 a 8 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 ) )

2、在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 ? , C ? 120 ? ,则 ?ABC 的面积是( A. 9 B. 18 C. 9 3 D. 18 3

3、不等式

x ?1 ? 0 的解集为( 2x ?1
B. ? ?



A. ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

C. ? ? ?. ?

? ?

1? ? ? ?1,?? ? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

4、三个数 a,b,c 既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( A. b ? a ? c ? b B. b ? ac
2



C. a ? b ? c

D. a ? b ? c ? 0 )

5、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 等于( A.

1 4

B.

3 4

C. )

2 4

D.

2 3

6、函数 y ? x ? A. 4

4 ( x ? 1) 的最小值是( x ?1
B. 5 C. 6

D. 7

7、右图给出一个“直角三角形数阵” :满足每一列成等差 数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行 的公比相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij (i ? j , i, j ? N ) , 则
?

a83 =(
A.

) B.

1 8

1 4

C.

1 2

D. 1
?

8、数列 ?a n ?的首项为 3, ?bn ? 为等差数列,且 bn ? a n ?1 ? a n (n ? N ) ,若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a 8 ? ( ) A.0 B.3 C.8 D.11

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二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、已知等差数列{an}中,an≠0,若 n>1 且 an-1+an+1-a2=0,S2n-1=38,则 n 等于________. n 10、等比数列 {an } 中, a3 ? 7, a1 ? a2 ? 14 ,则公比为
2
[来源:学

____

.

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

11、若 x ? 2kx ? ( k ? 2) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围是_____. 12、设 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ( ?1)
n ?1

? n ,则 S2012 ?

.

a b 13、设 a ? 0 , b ? 0 .若 3 是 3 与 3 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为________. a b
5

2 14 、 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 ,n ? 1 ,? ,, 且 a5 ? a2 ? n log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? ? log 2 a2 n?1 ?
三、解答题(共 6 小题,共 80 分) .

?22 n ( n ? 3 , 则 当 n ? 1 时 , )

15、 (本小题 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值.

2 16.设数列{an}是一等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Sn= (bn-1),若 a2=b1,a5=b2. 3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
[来源:学|科|网]

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17.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N*均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 013. b1 b2 bn
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

18、 (本小题 14 分)某公司计划在今年内同时出售变频 空调机和智能洗衣机, 由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要 根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到 最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动 力,通过调查, 得到关于这两种产品的 有关数据如下表: 资 金 成 单位产品所需资金(百元)
[来源:学§科§网][来源:Z。xx。k.Com] [来源:Z*xx*k.Com]

月资金供应量 (百元) 300 110

[来源:学科网]

空调机 本 30 5 6

洗衣机 20 10 8

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月 供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

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19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; Tn-2 (2)若 bn=(2n +1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 013 的 n 的最小值. 2n-1
*

20.(本小题 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( ) ,等比数列 {a n } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,正项数列 {bn } 的首
x

1 3

项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)证明数列

? S ? 是等差数列,并求 S
n

n



(3)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 的最小正整数 n 是多少? . bnbn?1 2009
2bn , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn . an

(4)设 c n ?

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高二期中模拟卷(五)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求) 1. 设 a, b, c, d ? R ,且 a ? b , c ? d ,则下列结论中正确的是 A. ac ? bd B. a ? c ? b ? d C. a ? c ? b ? d D.

a b ? d c

2.已知 ?ABC 中,已知 a ? 8,

B ? 600 , C ? 750 ,则 b 等于 32 A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. 3 3.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 A. 80 B. 100 C. 110 D. 120
4.不等式 | 2 ? x |? 1 的解集是 A. [?3, ?1] B. [1,3] C. [?3,1] D. [?1,3]

5.在 ?ABC 中,若 2 cos A sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 6.不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3},则 a, b 的值分别为 A. a ? ?5, b ? 6 B. a ? 5, b ? ?6 C. a ? ?5, b ? ?6

D. 等边三角形

D. a ? 2, b ? 3

?x ? 0 ? 7.不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所 表示的平面区域的面积等于 ?3 x ? y ? 4 ? 3 2 4 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 1 8.已知数列 {an } 是等比 数列, a2 ? 2 , a5 ? ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ? 4 32 32 ?n ?n A. 16(1 ? 2 ) B. 16(1 ? 4 ) C. D. (1 ? 2? n ) (1 ? 4? n ) 3 3 2 9.若关于 x 的不等式 2 x ? ax ? 2 ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 满足 A. a ? 4 或 a ? ?4 B. a ? 4 或 a ? ?4 C. ? 4 ? a ? 4 D. ? 4 ? a ? 4 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 10.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ) ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3
则 11.若 ?ABC 的外接圆半径为 2,则

C.

11 3

D. 4

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (

2b sin C . ? ? sin B c 4 12.已知 x ? 1,则函数 f ( x) ? x ? 的最小值是_________. x ?1
[来源:学科网]

16

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13.已知 {an } 前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? 1 ,则 | a1 | ? | a2 | ? ? ? | a10 | 的值为_______. 14 . 观 察 下 面 的 数 阵 , 容 易 看 出 , 第 n ? 1 行 最 右 边 的 数 a n ?1 与 第 n 行 最 右 边 的 数 a n 满 足

a n ?1 ? a n ? n ? 1(n ? N * ) ,则第 10 行的最右边的数为______.
1 2 4 7 11 ? 3 5 6 8 9 10 12 13 14 15 ? ? ? ? ?

三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (
[来源:学科网 ZXXK]

15.( 本题满分 12 分) 已知 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的三个内角, A 是锐角,向量 m ? (1, 3 ), n ? ( , sin A), 且m // n (1)求角 A ; (2)若 AC ? 1, 且 ?ABC 的面积为 3 ,求 BC 的值.

1 2

16.(本题满分 12 分) 已知公比为正数的等比数列 {an } 满足: a1 ? 3 ,前三项和 S3 ? 39 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? an ? log 3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

17

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17.(本题满分 14 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品所需电力 4 千瓦时、劳力 6 个,获得利润 5 百元; 生产每吨乙产品所需电力 5 千瓦时、劳力 4 个,获得利润 4 百元;每天资源限额(最大供应量)分 别为电力 202 千瓦时、劳动力 240 个.问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大? 最大利润是多少?

18.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2 1 ? . x a

(1)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)若 f ? x ? ? 2 x ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

18

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19.(本题满分 14 分) 某汽车队自 2011 年初用 98 万元购进一辆大客车,并投入营运,第一年需缴各种费用 12 万元, 从第二年开始包括维修保养费在内,每年所缴费用均比上一年增加 4 万元,该车投入运营后每 年的票款收入为 50 万元,设营运 n 年该车的盈利额为 y 万元. (Ⅰ)写出 y 关于 n 的函数关系式; (Ⅱ)营运若干年后,对该汽车的处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以 30 万元的 ..... 价格处理该车;②当盈利额达最大值时,以 12 万元的价格处理该车.问用哪种方案处理该车 较合算,并说明理由.
[来源:学科网] [来源:学科网]

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log 3 的中点. (1) 求证: y1 ? y 2 ? 1 ; (2) 若 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (

3x 1 ,M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是 f ( x) 图像上的两点,横坐标为 的点 P 是 MN 1? x 2

1 n

2 n

n ?1 其中 n ? N * , n ? 2 , S n ; 且 求 ), n

?1 ?6 , n ? 1 ? (3) 已知 an ? ? 其中 n ? N * , Tn 为数列 ? an ? 的前 n 项, 1 ? ,n ? 2 ? 4( S n ? 1)( S n ?1 ? 1) ? 若 Tn ? m( Sn ?1 ? 1) 对一切 n ? N * 都成立,试求 m 的取值范围.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

19

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第一套 ——参考答案
题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7
[来源:Z+xx+k.Com]

8 C

9 D

10 D

C

16 解: (1)由 a1 ? 2, a3 ? a 4 ? 2a1 ? 5d ? 19 可得:??????(2 分)

d ? 3 ????????????(4 分) 所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 1 ;??????(6 分)
(2) S n ?

(a1 ? a n )n 3n 2 ? n ? ??????????(13 分) 2 2

17. 解:由正弦定理得:

cs i n A s in ? C ? a

2?

3 2 ? 2 , ????????(4 分) 2 6

? C ? 45 ? 或135(舍) ?????(8 分)

由余弦定理: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ???? (10 分) 2bc

推出 b ? 2b ? 2 ? 0 ??(11 分)
2

b ? 3 ? 1或1 ? 3 (舍)??????(13 分)

20

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? 18. 解:由题意可知: OA ? 30海里,?AOB ? 60 , ?B ? 45 ????(4 分)

?

sin ?AOB ? sin 60 ? ?
正弦定理:

3 ????????(6 分) 2

AB OB ,????????(8 分) ? ? sin 60 sin 45 ?

AB ?

OA ? sin 60 ? ? 15 6 海里??(10 分) sin 45 ?

1 t ? 小时, 3
V ? AB 15 6 ? ? 45 6 海里/小时。????????(13 分) 1 t 3

19 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总收益为 z 元,??????????????(2 分) y
500 400 300 200 100 0 100 200 300 M

? x ? y ? 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ? 90000, ??????(6 分) ? x ? 0,y ? 0. ?
l

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .??(10 分)

x

如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得: x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) ?点 M 的坐标为 (100, .???????????? ????(12 分)

? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)?????????(13 分)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.???????? ?(14 分)

21

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20 解: (1)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 5 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ???????????1 分

3 2 7 [n ? (n ? 1)2 ] ? [n ? (n ? 1)] 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

3 7 ? (2n ? 1) ? ? 3n ? 2 . 2 2
又 a1 ? 5 满足 an ? 3n ? 2 ,

???????????2 分

? an ? 3n ? 2 (n ? N ? ) .
∵ an ? an?1 ? 3n ? 2 ? [3(n ? 1) ? 2] ? 3

???????? ????3 分
? (n ? 2 ,n? N , )

∴数列 ? an ? 是以 5 为首项, 3 为公差的等差数列.

??????4 分

(2)由已知得 bn ? 2

an

(n ? N ? ) , (n ? N ? ) ,

??????????6 分

bn +1 2an+1 = an = 2an+1 -an = 23 = 8 ∵ bn 2
又 b1 ? 2 1 ? 32 ,
a

????????7 分

∴数列 {bn } 是以 32 为首项, 8 为公比的等比数列.

??????8 分

∴数列 {bn } 前 n 项和为 (3) cn ? ∴ Tn ?

32(1 ? 8n ) 32 n ? (8 ? 1) . 1? 8 7

?????9 分

9 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 7)(2an ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??10 分

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n . ????????11 分 ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1
1 ?0 (2n ? 3)(2n ? 1)
(n ? N ? ) ,

∵ Tn ?1 ? Tn ?

∴ Tn 单调递增. ∴ (Tn ) min ? T1 ? ∴

1 . 3

???????12 分

1 k ,解得 k ? 19 ,因为 k 是正整数, ∴ kmax ? 18 . ??????14 分 ? 3 57
22

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第二套
一、选择题 1—5 BCCAB 二.填空题 13.等边三角形

参考答案

6—12 BBABD CB

14. an ? ?2n ? 11 ;5 ;25 15. S n ? 12 ?1 ? ? ? ?

? ? ?

n ?1? ? ? 2? ? ?

16.[2,6] 三、解答题

1 ? ? S? ABC ? bc sin A, 17.解析:由 ? , 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ?

? 1 3 ? bc, ? 3? ? ? 2 2 即? , 1 2 2 ?21 ? b ? c ? 2 ? ? bc ? ? 2
解得: b ? 4, c ? 1 或 b ? 1, c ? 4 18.解析:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD . ? sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · . ? sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )

在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

19.解析: (1) an ? ?

? S1 ? ?47 (n ? 1) ? ? Sn ? Sn ?1 ? ? ? 2n ? 49 (n ? 2) ? ? 2n ? 49

(2)由 an ? 2n ? 49 ? 0 ,得 n ? 24 。 ∴当 n=24 时, Sn ? (n ? 24) ? 576 有最小值:-576
2

23

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20.解析: (1) bn ?1 ? 2bn ? 2 ? bn ?1 ? 2 ? 2(bn ? 2), ? 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 4 , ? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列. (2)? bn ? 2 ? 4 ? 2
n ?1

bn ?1 ? 2 ? 2, bn ? 2

? bn ? 2 n ?1 ? 2 . ? a n ? a n ?1 ? 2 n ? 2.
2 3 n

令 n ? 1,2,?, (n ? 1), 叠加得 a n ? 2 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2(n ? 1) ,

? a n ? ( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? 2n ? 2 ?
21.解析: (1) A= x 1 ? x ? 3 , B= x x ? ?3或x ? 2 A∩B= x 2 ? x ? 3
2

2(2 n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2n. 2 ?1

?

?

?

?

?

?

(2)∵不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B ∴ 2 ? 3 ? ?a (11 分) 2 ? 3 ? b ) 得 a ? ?5 , b ? 6 22.解析: 设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨.y 吨,利润总额为 z 元,

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

y

2x+y=300

50 x+2y=250 z=600x+900y. x 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图) ,即可行域. 50 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上 方平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 M, 且与原点距离最大, 此时 z=600x+900y 取最大值. 解 方程组

; ?2 x ? y ? 300   350 200 得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

24

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第四套
1---8:BCAD BBCB 9、既不充分也不必要 13、 4 14、 n
2

参考答案

10、

?

1 或1 2

11、 (?2,1)

12、 ? 1006

cos A ? 2 cos2
15、解: (1)∵ 又 A ? (0, ? ) , ∴ sin A ? 1 ? cos2 A ?

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5

????2 分

4 ,????3 分 5 3 bc , 5

∴3= AB ? AC ?| AB || AC | cos A ? ∴ bc ? 5 ,????5 分 ∴ ?ABC 的面积为:

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 ????6 分 2 2 5

(2)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,又 c ? 1 ,∴ b ? 5 ????8 分 ∴a ?

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 ???? 12 分

18、解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P, 则 P=6x+8y,????2 分

约束条件为

?30 x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 1 1 0 ? ????6 分 ? x ? 0, y ? 0 ? ?x ? N , y ? N ?

可行域如图所示:

3 1 3 P ? 6 x ? 8 y 可化为 y ? ? x ? P ,可看作一组斜率为 ? 的直线, 4 8 4 3 1 由图知直线 y=- x+ P 过点 M 时,纵截距最大 这时 P 也取最大值,?10 分 4 8
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由?

?30 x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 110

解得 M (4,9) ????12 分

?Pmax=6×4+8×9=96(百元)

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故当月供应量为空 调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元 ?14 分
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20 解: (1)因为 a1 ? f ?1? ? c ?

1 2 ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 . a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27

又数列 ?an ? 成等比数列,

4 a 2 1 所以 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c 解得 c ? 1 ;????2 分 2 a3 ? 3 3 27
2 2

又公比 q ?

a2 1 ? , a1 3
2?1? ? ? 3?3?
n ?1

所以 an ? ?

?1? ? ?2 ? ? n ? N * ;????3 分 ?3?

n

(2)? S n ? S n ?1 ? 即

S n ? S n?1

? n ? 2? ? n ? 2?

( S n ? S n?1 )( S n ? S n?1 ) ? S n ? S n?1

? S n ? S n ?1 ? 1( n ? 2 )????5 分
又 S1 ? ∴数列

b1 ? c ? 1
n

? S ? 构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,
????6 分
2

2 ∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ,∴ Sn ? n

(3) 由(2)已得 Sn ? n

2 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 2

(*)

又 b1 ? S1 ? 1, 适合(*)式

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * ) ????8 分

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn bn ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? ? ??? b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn ?1

? Tn ?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 n ? 1 2n ? 1
26

专注数学,成就孩子
1? 1 ? n ;????10 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

n 1000 1000 得n ? , ? 2n ? 1 2009 9 1000 故满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ????11 分 2009
由 Tn ? (4) c n ?

2bn ? (1 ? 2n) ? 3 n. ????12 分 an
① ②

∴ Pn ? (?1) ? 3 ? (?3) ? 32 ? (?5) ? 33 ? ? ? (1 ? 2n) ? 3n

3Pn ? (?1) ? 32 ? (?3) ? 33 ? (?5) ? 34 ? ? ? (3 ? 2n) ? 3n ? (1 ? 2n) ? 3n?1
②—① 得 2 Pn ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3 n ? (1 ? 2n) ? 3 n ?1

3 2 (1 ? 3 n?1 ) ? (1 ? 2n) ? 3 n?1 1?3 ? (2 ? 2n) ? 3 n?1 ? 6. ? 3 ? 2?


Pn ? (1 ? n) ? 3 n ?1 ? 3. ????14 分

27


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