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4.1.2用二分法求方程的近似解


§1.2

利用二分法求 方程的近似解

一、温故知新
1.什么叫函数的零点? 2.零点的等价性是什么? 3.如何利用函数性质判定方程解的存在?

1.零点概念:我们把函数y=f(x)的图像与横轴的
交点的横坐标称为这个函数的零点。. 2.方程f(x)有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有交 点?

函数y=f(x)有零点 3.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得 f(c )=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

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哦,找到 了啊!
我们能否采用这种逐步逼近的方法来 解一些数学问题呢?

如:知道了方程解存在,我们如何来求这 个方程的解?

问题探究
如下图函数f(x)的图像与直角坐标系中的x轴有交 点(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解,如何在[-1,5]上得到 函数零点近似值? 在[-1,5]上,f(x)的图像是一条连续的曲线,且f(-1)· f(5)<0 x0∈[-1,5] 取[-1,5]中点2,f(2)· f(5)<0 x0∈[2,5] y f(x) 取[2,5]中点3.5.......
就是每次都取区间的中点,将区间一分为 二,再经比较,按需要留下其中一个小区间 的方法,其实质是不断把函数零点所在的 区间逐步缩小,使区间两个端点逐步逼近 -1 O 零点,进而得到函数零点近似值.
x0

1 2

3 4

5

x

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a).f(b)<0的函数y=f(x),通过不断的 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 (bisection )

例1 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的一个近似解(精确度0.1)
解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7,用计算 器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表如下: x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在 (1,2)内有零点x0 取(1,2)的中点x1=1.5, f(1.5)= 0.33,因为 f(1)· f(1.5)<0所以x0 ∈(1,1.5)

取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87,因为 f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈ (1.375, 1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1、确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε; 2、求区间(a,b)的中点x1; 3、计算f(x1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
若f(a).f(x1)<0,则此时零点x0∈(a, x1)

若f(x1).f(b)<0,则此时零点x0∈( x1,,b)

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|<ε则得 到零点近似值a(或b),否则重复2~4

应用举例

练习: 求方程2x3+3x-3=0的一个近 似解,精确到0.1.

解 令f(x)=2x +3x-3
x f(x ) -1 -9.5 0 -3 1 2 2 19

3

观察表可知f(0)· f(1)<0,说明这个 函数在区间[0,1]内有零点x0。

选定初始区间

两端函数值异号 的 区 间

程利 实用 数二 解分 的法 过求 程方

取区间的中点



中点函数 值为零 否
M

取新区间,一个端点是原 区间的中点,另一端点是 原区间两端点中的一个, 新区间两端点的函数值 异号

N 是
结束


方程解满足要求的 精 确 度

应用举例 二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的 根,它在现实生活中也有许多重要的应用,
常用于:查找线路电线、水管、气管等管道线路故障, 实验设计、资料查询等。

请解答下面的题目:
例3.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路, 如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查 一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电 线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合 理?

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

A

C

E

D

B

算一算: 要把故障可能发生的范围缩小到50~100m
左右,即一两根电线杆附近,要检查多少次? 7次

1.下列函数图像与x轴均有交点,但不宜用二分法求 交点横坐标的是( B )

x1 x2 x3

x1

A

B

O C

x1 x2 D

2.方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( ?5 ? ? 7? ?7 5? A. ? -2,1? B. ? , 4 ? C. ?1, ? D. ? , ? ?2 ? ? 4? ? 4 2? 3.函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( B )

B)

A.没有零点 C.有两个零点

B.有一个零点 D.有无数个零点

小结:
1.二分法的原理 2.二分法的应用:求方程近似解的过程
五、拓展提升
思考1:从上海到美国旧金山的海底电缆有15 个节点,现在某节点发生故障,需及时修理,为尽 快断定故障发生点,一般至少需要检查节点的个数 为多少? 思考2:有13个形状、大小相同的小球,其中 有一个球比其他小球略重,你用天平称几次可以找 出这个球?

谢谢大家, 再见!


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