2014年广东省高中数学竞赛试题

2014 年广东省高中数学竞赛试题
题 号 （考试时间：2014 年 6 月 21 日上午 10：00－11：20） 二 一 9 10 11 合 计

得 分 评卷人 复核人 注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分 120 分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。 3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1．设集合 A ? x ax ? 2 ? 0 , B ? ?? 1,2?，满足 A ? B ，则实数 a 的所有取值为

?

?

．

2．袋中装有大小、形状相同的 5 个红球，6 个黑球，7 个白球，现在从中任意摸出 14 个球， 刚好摸到 3 个红球的概率是 ．

?1 3 ? ? 3．复数 ? ? ? 2 2 i? ? ?
4．已知 ?

6n

?n ? N ? ? 的值是

．

?1 ? x ? y ? 3, 则 2 x 2 ? 3 y 的最大值是 ?? 1 ? x ? y ? 1.

．

5．已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足： a2 ? a3 ? 14, a1a2 a3 ? 343，则数列 ?an ? 的通项公式为 ．

6．已知 ? 为锐角，向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?1,?1? 满足 a ? b ?

2 2 ，则 3

5? ? ? sin?? ? ?? 12 ? ?
2 2

．

7．若方程 x ? xy ? 2 y ? x ? a ? 0 表示两条直线，则 a 的值是 8． 已知

． ．

?

2 ?1

?

21

? a?b 2， 其中 a 和 b 为正整数， 则 b 与 27 的最大公约数是

二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
9． （本题满分 16 分） 得分 评卷人 矩形 ABCD 中， AB ? 2, AD ? 4 ， E , F 分别在 AD, BC 上， 且 AE ? 1, BF ? 3 ， 将四边形 AEFB 沿 EF 折起， 使点 B 在 平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上．求二面角 A ? DE ? F 的大小．

10． （本题满分 20 分） 得分 评卷人 过椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 25 16

A、B 两点，已知 AB ? 8 ，试求直线 AB 的方程．

11． （本题满分 20 分） 得分 评卷人 数 a 的取值范围． 已知不等式 ?1 ?

? ?

1? ? n?

n?a

? e 对任意正整数 n 都成立，试求实