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09.数列(文)2016.3.3


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
9.数列(文)
编辑:深圳市高级中学
一、选择题 1. (2015 年全国新课标高考文科 1 卷第 7 题)已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 =( )

张宏伟,深圳市翠园中学

韩芸<

br />
A.

17 2

B.

19 2

C .10

D.12

【试题解析】? 公差 d ? 1, S8 ? 4S4 ,? 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 ? 2 2 2

? a10 ? a1 ? 9d ?

1 19 ? 9 ? ,故答案选 B . 2 2 2 的等比数列 {an } 的前 3

【选题意图】本题考查了等差数列通项公式及前 n 项和公式. 是简单题. 2.(2013 年全国新课标高考文科卷 I,第 6 题)设首项为 1 ,公比为

n 项和为 Sn ,则(
A. S n ? 2an ? 1



B. S n ? 3an ? 2

C. S n ? 4 ? 3an

D. S n ? 3 ? 2an

2 , S n ? 3(1 ? ( ) n ) ,所以 Sn ? 3 ? 2an . 故答案为 D . 3 【选题意图】本题考查了等比数列前 n 项和公式和通项之间的关系. 是简单题. 1 3.(2015 年新课标全国 II 卷) 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? , a3 a5 ? 4( a4 ? 1) , 则 a2 ? ( ) 4 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 8
【试题解析】由题知 an ? ( )
n ?1

2 3

2 【试题解析】 a3a5 ? a4 ? 4(a4 ? 1) ,则可得 a4 ? 2 ,所以 q 3 ?

a4 ? 8 ,则 q ? 2 , a1

故 a 2 ? a1q ?

1 . 答案选 C . 2

【选题意图】本题考查了等比数列的通项公式及性质. 是简单题. 4. ( 2015 年 成 都 七 中 月 考 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 , 则

2a10 ? a12 的值为(
A.20 B.22



C .24

D.28

, a8 ? 24,2a10 ? a12 ? (a12 ? a8 ) ? a12 ? a8 ? 24.答案选 C . 【试题解析】 依题意得 5a8 ? 120

【选题意图】本题考查了等差数列的性质. 是简单题. 5.(2015 年南昌市模拟,第 6 题)已知 {an } 是等差数列, a3 ? 5, a9 ? 17 ,数列 {bn } 的前 n 项 和 S n ? 3n ? 1 ,若 1 ? am ? b4 ,则正整数 m 等于( )

A.29

B.28

C .27

D.26

【 试 题 解 析 】 因 为 {an } 是 等 差 数 列 , a3 ? 5, a9 ? 17 , 所 以 6d ? 17 ? 5 , 得

d ? 2, an ? 2n ? 1 . 又 因 为 Sn ? 3n ? 1 , 所 以 当 n ? 1 时 , b1 ? 2 , 当 n ? 2 时 ,
Sn?1 ? 3n?1 ? 1, bn ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ,由 1 ? am ? b4 得 1 ? 2m ? 1 ? 54 ,即 m ? 27 ,故
答案选 C . 【选题意图】本题考查等差数列的通项,数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系. 6.已知数列 {an } 的通项公式是 an ? (?1)n (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a10 ? ( )

A. ? 55

B. ? 5

C .5

D.55

【试题解析】?an ? an?1 ? (?1)n ? (n ? 1) ? (?1)n?1 (n ? 2) ? (?1)n?1

?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 1 ?a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a10 ? 1? 5 ? 5 .答案选 C .
【选题意图】本题考查了数列求和的方法,并项求和法. 7. (2015 山西第三次四校联考) 等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? N * , 且a3 ? a2n?3 ? 22n (n ? 2) , 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a2 ? ... ? log2 a2n?1 ? ( )

A.n(2n ? 1)

B.(n ? 1)2

C.n 2

D.(n ? 1)2

2 【试题解析】? a3 ? a2n?3 ? 22n (n ? 2) ?an ? 22n ,即 an ? 2n .

?log2 a1 ? log2 a2 ? ... ? log2 a2n?1 ? log2[(a1a2n?1 )(a2a2n?2 )...(an?1an?1 )an ] ? log2 2n( 2n?1) ? n(2n ?1)
答案选 A . 【选题意图】本题考查了等比数列的性质、通项,对数的运算. 本题在计算过程中要注意等 比数列的项数. 8. ( 汕 头 市 金 山 中 学 2016 高 三 考 试 , 第 7 题 ) 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为

Sn , a1 ? ?9, a2 ? a3 ? ?12,则使 Sn 取得最小值时 n 的值为(



A. 2

B. 4

C. 5

D. 7

【 试 题 解 析】 因 为等 差数 列 {an } , a1 ? ?9, a2 ? a3 ? ?12 , 所 以 2a1 ? 3d ? ?12 , 即

? 18 ? 3d ? ?12 , d ? 2 .

等 差 数 列 {an } 为 递 增 数 列 .

又 因 为

an ? ?9 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 11? 0 ,所以 n ?

11 . 2

因此,当 1 ? n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 6 时, an ? 0 . 故当 n ? 5 时, Sn 取得最小值. 答案选 C . 【选题意图】本题考查了等差数列的通项和单调性,以及 an 对 Sn 的影响. 9. (深圳宝安区 2016 高三调研考试第 5 题)已知函数 f ( x ) ?

2x ? 3 ,数列 {an } 满足 3x

a1 ? 1, an?1 ? f (

1 ), n ? N * . 数列 {an } 的通项公式为( an
B. an ? 2 1 n? 3 3 C. an ?



A. an ?

2 1 n? 3 3

1 1 n? 3 3

D. an ?

2 1 n? 3 4

【试题解析】? f ( x) ?

2x ? 3 2 1 ? ? 3x 3 x

?f(

1 2 1 2 )? ? ? ? an ? an?1 an 3 1 3 an
2 2 1 的等差数列. 因此 a n ? n ? . 3 3 3

? an?1 ? an ?

2 3

故数列 {an } 是首项为 1 ,公差为

答案为 A . 【选题意图】本题以函数为背景,查考了等差数列的定义及通项公式. 10. ( 惠 州 市 2016 高 三 第 二 次 调 研 考 试 ) 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2, a2 ? 1 , 且

a n ? an ?1 a ?a ? n n?1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的第 100 项为( a n?1 ? a n a n ? a n?1
A. 1 2
100



B.

1 2 50

C.

1 100

D.

1 50

【试题解析】

a n ? an ?1 a ?a 1 1 1 1 , ? ? ? n n?1 (n ? 2) 两边取倒数可得: ? an an?1 an?1 an a n?1 ? a n a n ? a n?1

所 以 {

1 1 1 1 1 , 公 差 d ? 1? ? , 所 以 } 是 等 差 数 列 , 首 项 ? 2 2 an a1 2

1 1 1 1 . 故答案选 D . ? ? (100 ? 1) ? 50 ,得 a100 ? 50 a100 2 2
【选题意图】本题考查了等差数列的定义及通项公式,本题的关键是对已知式子的变形. 11. (2015 年云南高中毕业生第一次统一复习检测,第 12 题) 在 数 列 {an } 中 , a n ? 0, a1 ?

2an an?1 ? 1 1 , 如 果 a n ?1 是 1 与 的等比中项,那么 2 2 4 ? an

a1 ?

a2 a3 a4 a ? 2 ? 2 ? ... 1002 的值是( ) 2 2 3 4 100 100 101 100 A. B. C. 99 100 101

D.

99 100

【 试 题 解 析 】 ? an ?1 是 1 与
2 2 4an ?1 ? (an an ?1 ? 1)

2an an?1 ? 1 2an an ?1 ? 1 2 的 等 比 中 项 , ? an ,化简得 ?1 ? 2 2 4 ? an 4 ? an

? an ? 0,?2an?1 ? anan ?1 ? 1 ,整理得 an ?1 ?
? a1 ?

1 , 2 ? an

1 2 2 3 4 n ? a2 ? , a3 ? , a4 ? ,... ,由此猜想 an ? . 经验证结论成立. 3 4 5 n ?1
? an 1 1 1 , ? ? ? 2 n n(n ? 1) n n ? 1

? a1 ?

a2 a3 a 1 1 1 1 1 1 100 ? 2 ? ... ? 1002 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 100 2 2 3 100 101 101 101

故答案选 C . 【选题意图】本题考查了等比中项,利用归纳推理由递推式求数列的通项,数列的裂项求和 法。本题有一定的综合性,考查知识点比较全面。 12. (2012 年全国 1 卷第 12 题)数列 {an } 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 ,则 {an } 的前 60 项
n

和为(

)

A.3690
【试题解析】 (法 1)由题设知 a2 ? a1 ? 1 ①

B.3660

C.1845

D.1830

a5 ? a4 ? 7 , a6 ? a5 ? 9 , a12 ? a11 ? 21 , a7 ? a6 ? 11, a8 ? a7 ? 13, a9 ? a8 ? 15 , a10 ? a9 ? 17 , a11 ? a10 ? 19 ,

a3 ? a2 ? 3 ②

a4 ? a3 ? 5 ③

…… ∴②-①得 a1 ? a3 ? 2 ,③+②得 a2 ? a4 ? 8 ,同理可得 a5 ? a7 ? 2 , a6 ? a8 ? 24 ,

a9 ? a11 ? 2 , a10 ? a12 ? 40 ,…,

∴ a1 ? a3 , …, 是各项均为 2 的常数列, … a2 ? a4 , a5 ? a7 , a9 ? a11 , a6 ? a8 , a10 ? a12 , 是首项为 8 ,公差为 16 的等差数列. ∴ {an } 的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? (法 2)可证明:

1 ? 16 ? 15 ? 14 ? 1830 . 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ? 15 ? 14 ? 16 ? 1830 2

【选题意图】本题主要考查数列的递推公式及其求和,考查学生推理论证能力、运算求解能 力,要求学生有综合分析的能力. 二、填空题 13. (2015 年全国新课标高考文科 1 卷第 13 题) 数列 {an } 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S n ? 126,则 n =_________. 【试题解析】? a1 ? 2, an?1 ? 2an ,? 数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.

? Sn ?

2(1 ? 22 ) ? 126,? 2n ? 64,? n ? 6 . 1? 2

【选题意图】本题考查了等比数列定义与前 n 项和公式. 考查了等比数列的基本运算. 14. (2015 高考浙江,文 10)已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数 列,且 2a1 ? a2 ? 1 ,则 a1 ?
2

,d ?



【 试 题 解 析 】 由 题 可 得 , (a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d ) , 故 有 3a1 ? 2d ? 0 , 又 因 为

2a1 ? a2 ? 1 ,即 3a1 ? d ? 1 ,所以 d ? ?1, a1 ?

2 . 3

【选题意图】 本题考查了等差数列的定义和通项公式、 等比中项. 考查学生的运算求解能力. 15. (15 年江苏, 第 11 题) 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 且 an?1 ? an ? n ? 1(n ? N * ) , 则数列 { 的前 10 项和为 【试题解析】

1 } an

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ... ? 2 ? 1 ?

n(n ? 1) 2

?

1 1 1 1 2n 20 ? 2( ? ), S n ? 2(1 ? )? , S10 ? . an n n ?1 n ?1 n ?1 11

【选题意图】本题考查了累加法求数列的通项,以及裂项求和法.

16. (2015 年高考文科数学福建卷第 16 题)若 a , b 是函数 f ( x) ? x ? px ? q( p ? 0, q ? 0)
2

的两个不同的零点,且 a, b,?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比 数列,则 p ? q 的值等于________. 【试题解析】由韦达定理得 a ? b ? p, a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b,?2 适当排序后成

4 . 当适当排序后成等差数列时, ? 2 a 4 4 必不是等差中项,当 a 是等差中项时, 2 a ? ? 2 ,解得 a ? 1, b ? 4 ;当 是等差中项时, a a 8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4, b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 . a
等比数列时, ? 2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4, b ? 【选题意图】 本题以零点为载体考查等比中项和等差中项, 其中分类讨论和逻辑推理是解题 核心.三个数成等差数列或等比数列,项与项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是 唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 三、解答题: 1. (2010 年全国新课标高考理科卷(17)) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式: (Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 【试题解析】 (1)由已知得,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1, 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1· 2+2· 23+3· 25+…+n· 22n-1 从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+…+n· 22n+1 ①-②得:(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n· 22n+1. 1 即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9 【选题意图】本题主要考查用累加法求数列通项,错位相减法求数列前 n 项和. 2. (2011 年 全 国 新 课 标 高 考 理 科 卷 ( 17 ) ) 已知 等 比 数 列 {an} 的 各 项 均为正 数 , 且 ② ①

2a1 ? 3a2 ? 1,a32 ? 9a2 a6.
(I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和.

1 bn

2 3 2 【试题解析】 (I)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4
2

1 . 9 1 1 由条件可知 c>0,故 q ? .由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? . 3 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n . 3
(II) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

【选题意图】本题主要考查等比数列的基本性质,裂项相消法求数列前 n 项和.
3. 【2013 浙 江数学 (理) 试题】 在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1

? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3

成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

【试题解析】(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2) 2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0
; ?d ? 4 ?d ? ?1 ?? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n (Ⅱ)由(1)知,当 d ? 0 时, an ? 11 ? n , ①当1 ? n ? 11时, an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2 ②当12 ? n 时, ?

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a11 ? (a12 ? a13 ? ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) 11(21 ? 11) n(21 ? n) n 2 ? 21n ? 220 ? 2? ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? ? . 2 ? n ? 21n ? 220 ,(n ? 12) ? ? 2
【选题意图】本题主要考查等差,等比数列的基本性质,数列前 n 项和.

a2 ? n ? ?? . 4. 【2015 高考广东, 19】 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1 ,
且当 n ? 2 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 . (1)证明: ?an ?1 ?

3 5 a3 ? , , 2 4

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【 试 题 解 析 】 (1)

n?2 ), 所 以 因 为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8S ( ?n 1 ? S ? 1 n

,即 4an?2 ? an ? 4an?1 ( n ? 2 ) ,因为 4Sn?2 ? 4Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 4Sn ( n ? 2 ) 5 4a3 ? a1 ? 4 ? ? 1 ? 6 ? 4a2 ,所以 4an?2 ? an ? 4an?1 , 4 1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 因为 ? n?2 ? n ?1 n ? ? ,所以数列 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2

1 1 1 ? ? ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列 2 2 2 ? ?
(2)由(1)知:数列 ?an ?1 ?

? ?

1 1 1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列,所 2 2 2 ?

以 an?1 ?

1 ?1? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1



an ?1 ?1? ? ? ?2?

n ?1

? ? ? ? a a ? a ? ? n n ? 4 ,所以数列 ? n n ? 是以 1 ? 2 为首项,公差为 4 的等差数列,所以 1 ?1? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? ?

?1? ?1? ? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 , 即 an ? ? 4n ? 2? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? n ?2? ? 2? ?1? ? ? ?2?
an

n

n ?1

,所以数列

1? ?an ? 的通项公式是 an ? ? 2n ?1? ? ? ? ? ?2?

n ?1

【选题意图】本题主要考查通过构造新数列求数列通项. 5.【2015 高考安徽, 文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? 【试题解析】 (Ⅰ)由题设可知 a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 8 , 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1

由 a4 ? a1q 3 得公比 q ? 2 ,故 an ? a1q n?1 ? 2 n?1 . (Ⅱ) Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? q 1? 2

又 bn ?

an?1 S ?S 1 1 ? n?1 n ? ? Sn Sn?1 Sn Sn?1 Sn Sn?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ?? S ?S 2 ? 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? 1 ? 2 ? n

?1

1 ? ? 1

1 ?

? 1

1 ?

1

1

? 1?

1 2
n ?1

?1

.

【选题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前 n 项和,以及利用裂 项相消法求和.利用“若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq ”,是解决本题的关键,同时考生发 现 bn ? 能力. 6. 【 2013 山西一模, 理 17 】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

an?1 S ?S 1 1 是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算 ? n?1 n ? ? Sn Sn?1 Sn Sn?1 Sn Sn?1

an?1 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
(I)证明: an?2 ? 3an ; (II)求 Sn . 【试题解析】 试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N ,有 an?2 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
*

因而对任意 n ? N * , n ? 2 ,有 an?1 ? 3Sn?1 ?Sn ? 3,(n ? N * ) , 两式相减,得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an ,(n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 , 故对一切 n ? N , an?2 ? 3an 。
*

(II)由(I)知, an ? 0 ,所以

an ? 2 ? 3 ,于是数列 {a2n?1} 是首项 a1 ? 1 ,公比为 3 的等比 an

数列,数列 {a2 n } 是首项 a1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,所以 a2n?1 ? 3n?1, a2n ? 2 ? 3n?1 , 于是 S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (a1 ? a3 ? ?? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ?? a2n )
?1 ? ( 1? 3 ? ? n3

)? 2 (? 1 ? ? 3

n ?1

3 ?)

?1 3?( ? 1?n 3

n 3(3 ? 1) 3? ) 2

从而 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ?

3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n?1 ? (5 ? 3n?2 ? 1) , 2 2

n?2 ?3 2 (5 ? 3 ? 1), (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ? ?2 综上所述, Sn ? ? 。 n ? 3 (3 2 ? 1), (n ? 2k , k ? N * ) ? ?2

【选题意图】本题考查数列通项的性质,通过求解数列 {an } 的奇数项与偶数项的和即可得到 其对应前 n 项和的通项公式. 7. 设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? an ?1 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 【试题解析】解: (I)由题设

1 ? an?1 n

, 记 S n ? ? bk , 证明: Sn ? 1.
k ?1

n

1 1 1 ? ? 1. 即 { } 是公差为 1 的等差数列. 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? an



1 1 ? 1, 故 ? n, 1 ? a1 1 ? an

所以 an ?

1 . 1? n

(II)由(I)得 bn ?

1 ? an?1 n

?

1 1 ? , n n ?1

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

n

n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1

【选题意图】本题考查由递推数列求数列通项的方法,简单的放缩法证明不等式. 8.
( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) ) 正 项 数 列 {an} 的 前 项 和 {an} 满

2 足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

2 2 【试题解析】(1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ? 则 bn ?

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n .

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? ? ? 2? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?
2

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

【选题意图】 本题考查由递推数列求数列通项的方法,通过数列求和,然后证明简单的不等式. 9. ( 2013 年 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(1) 求 a2 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明:对一切正整数 n ,有 【试题解析】(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3

1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3 2Sn 1 2 2 ? an ?1 ? n ? n ? , n ? N ? . 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 ? n 3 3

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3



? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *

(2)证明:由(1)知, an ? n2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

【选题意图】本题考查由递推数列求数列通项的方法,简单的放缩法证明不等式. 10. 在等比数列 ?an ? 中, a3 ?

3 9 ,S3 ? . 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 设 bn ? log 2

6 a2 n ?1

, 且

?bn ?

为 递 增 数 列 , 若 cn ?

1 , 求 证: bn ? bn ?1

1 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 4
【试题解析】 (Ⅰ)当 q ? 1 时, an ? (Ⅱ)由题意知 an ? 6 ? (? )n?1 ∴ cn ?

1 2

3 1 .当 q ? 1 时, an ? 6 ? (? )n?1 . 2 2 1 , a2n?1 ? 6 ? ( )n , ∴ bn ? 2n . 4

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) . 2n ? (2 n ? 2) 4 n ? (n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 (1 ? )? . 4 n ?1 4

∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?

【选题意图】本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和,不等式的证明,对数的运算法 则,本题第(1)小题设计为求数列的通项公式,需要对 q 进行分类讨论,这是本题的亮点 和易错点;第(2)小题设计为数列型不等式的证明,首先要对 bn 进行化简,这类需要结合 对数的运算法则,然后利用裂项相消法求数列数列{cn}前 n 项和,最后进行放缩法证得不 等式.
2 11. 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 4Sn ? an n ? N ? ,且 ?1 ? 4n ? 1,

a1 ? 1 .
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 ? 【试题解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 , 由 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 得 a2 ? 3 2 2 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.?
列.? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (2)

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
【选题意图】本题主要考查数列通项求法及简单不等式证明.(1)对于
2 * n ? 1 即 可 证 明 ;( 2 ) 由 已 知 所 给 的 递 推 式 4Sn ? an ?1 ? 4n ?1, n ? N , 令

?S1 , n ? 1 2 * ,得到 an ?1 和 an 4Sn ? an ?1 ? 4n ?1, n ? N 含有 Sn , an ?1 ,考虑用公式 an ? ? S ? S , n … 2 ? n n?1
的递推式,构造等差数列,进而求出数列的通项; (3)因为 项相消法逐项相消,然后再通过放缩,得出结论. 12.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84 , a9 ? 73 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 对任意 m ? N * , 将数列 ?an ? 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记为 bm , 求数列 ?bm ?
m 2m

1 是一个分式,常通过裂 an an ?1

的前 m 项和 Sm . 【 试 题 解 析 】( 1 ) 因 为 ?an ? 是 一 个 等 差 数 列 , a3 ? a4 ? a5 ? 84 , 所 以

a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 84 , 即 a4 ? 28 , 设 数 列

?an ?

的 公 差 为 d

, 则

5d ? a9 ? a4 ? 73 ? 28 ? 45 ,故 d ? 9 .由 a4 ? a1 ? 3d ,得 28 ? a1 ? 3?9 ,即 a1 ? 1 .所
以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 9(n ?1) ? 9n ? 8 , n ? N * .
m 8 ? 9 n9? (2) 对 m? N *, 若 9m ? an ? 92m , 则9 ? 2m

m ?1 8? , 因此 9 ?

8 8 ? n ? 92 m ?1 ? , 9 9

故得 bm ? 92m?1 ? 9m?1 ,于是 Sm ? b1 ? b2 ? …? bm ? (9 ? 9 ? …? 9
3

2 m?1

)

?(1 ? 9 ? …? 9

m?1

)=

9 ? (1 ? 81m ) 1? (1 ? 9m ) 92 m?1 ? 10 ? 9m ? 1 ? ? . 1 ? 81 1? 9 80
m ?1

【选题意图】本题考查等差数列的性质及等比数列的前 n 项和.对于第二问,由题意可知, 对 m ? N * ,若 9m ? an ? 92m ,可得 9

?

8 8 ? n ? 9 2m ?1 ? ,所以 bm ? 92m?1 ? 9m?1 ,观 9 9

察发现数列 ?bm ? 是两个等比数列的差,然后再利用等比数列的前 n 项和,即可求出结果.
2 n ?1 13.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?

n , n ? N* . 2

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 1 ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .求证: Tn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 2

【试题解析】(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ?

1 . 2 n ?1 n n ?1 1 n ?1 ? ,相减得 2 an ? ? 2 2 2 2

2 n?2 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ??? ? 2 an ?1 ?

所以,当 n ? 2 时, an ? 当 n ? 1 时, a1 ? (Ⅱ) bn ?

1 . 2n

1 1 也满足上式,所求通项公式 an ? n 2 2

1 1 2n 2n ?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 2

2 n ? 1 ? 1 2n ?1 ? 1 ? 1 1 1 ?1 ? n ?1 + n ?1 ?1? n n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ) . ? 2?( n ? n ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n?1 ? n?1 ,得 n ? n ?1 ? n ? n?1 . 2 ?1 2 2 ?1 2 2 2 ?1 2 ?1 2 1 1 1 1 所以 bn ? 2 ? ( n ) ? 2 ? ( n ? n?1 ) . ? 2 ? 1 2n ?1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? ? ? [2 ? ( n ? n?1 )] 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 )] ? ? ? ( n ? n?1 )] ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 即 Tn ? 2n ? . 2 【选题意图】本题考查数列的通项公式,数列求和及简单放缩法,第一问根据题中所给的式 子是一个和式,所以类比着写出将 n 写成 n ? 1 时对应的式子,将两式子相减,得到当 n ? 2 ?
时 an 关于 n 的关系式,令 n ? 1 ,求出 a1 的值,验证上式成立,从而求得 an ?

1 ,第二问 2n

对 bn 的关系式进行转化,进行适当的放缩,转化为比较容易求和的式子,从而得结果. 14.已知正项数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn 满足 an ? (1)求证:

Sn ? Sn?1 (n ? 2) .

? S ? 为等差数列,并求数列 ?a ? 的通项公式;
n

n

(2) 记数列 ?

? 1 ? 若对任意的 n ? N * , 不等式 4Tn ? a 2 ? a 恒成立 , ? 的前 n 项和为 Tn , ? an an?1 ?

求实数 a 的取值范围. 【试题解析】 (1)?当 n ? 2 时, an ?

Sn ? Sn?1

? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,即 Sn ? Sn ?1 ? 1 ,
?数列
故 an ?

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列,故
n

Sn ? n ,

Sn ? Sn?1 ? n ? n ? 1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,

当 n ? 1 时也成立,?an ? 2n ? 1 (2)?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1 ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2
2 又 4Tn ? a 2 ? a ,? 2 ? a ? a ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,

即所求实数 a 的取值范围为 (??, ?1] ? [2, ??) 【选题意图】本题主要考查数列中 an 与 Sn 关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和 以及数列与不等式的综合应用等知识.解题时首先利用 an 与 Sn 关系进行转化,得到数列

? S ? 前后项之间的关系,从而讲明数列 ? S ? 是等差数列,进一步求出数列 ?a ? 的退项
n n

n

公式;由于数列 ?an ? 是等差数列,所以在求数列 ? 消法求解. 15. 已知数列 ?an ? 和 ?bn ?满足:a1 ? ? ,a n ?1 ? 其中 ? 为实数, n ? N ? .

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn 时,可用裂项相 ? an an ?1 ?
2 a n ? n ? 4 ,bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) , 3

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?an ? 不是等比数列; ⑵ 证明:当 ? ? ?18 ,数列 ?bn ?是等比数列; ⑶设 Sn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12 ? 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 【试题解析】(1) 证明:假设存在一个实数 ? ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1 ? a3 ,
2 即 ( ? ? 3) ? ? ( ? ? 4) ?

2 3

4 9

4 2 4 ? ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 9 9

所以 ?an ? 不是等比数列. ⑵ 解:因为 bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ? (?1) n?1 ?an?1 ? 3(n ? 1) ? 21?

2 ? ( ?1) n ?1 ?a n ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3
又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以,当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时, 由上可知 bn ? 0,? 等比数列.
n ?1 ⑶当 ? ? ?18 时,由⑵得 bn ? ?(? ? 8) ? ( ? ) ,于是

2 bn?1 2 ? ? (n ? N ? ) , 此时 ?bn ?是以 ? (? ? 8) 为首项, ? 为公比的 3 bn 3 2 3

3 2 ? ? S n ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? , 5 3 ? ?
当 ? ? ?18 时, bn ? 0 ,从而 Sn ? 0. 上式仍成立.要使对任意正整数 n , 都有 Sn ? ?12 . 即?

3 2 ? 20 ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? ? ?12 ? ? ? ? 18 . 2 n 5 3 ? ? 1 ? (? ) 3
2 3

5 ? f (n) ? 1 9 5 5 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n ) ? ;当 n 为正偶数时, ? f ( n ) ? 1 . 3 9 3 5 ? f ( n ) 的最大值为 f (1) ? . 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6 . 3 5
n 令 f ( n ) ? 1 ? ( ? ) ,则

综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12 ,? 的取值范围为 ?? ?,?6? .

【选题意图】本题考查等比数列的定义,以及恒成立问题.


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