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【高考冲刺】浙江省温州市2015届高三下学期第三次适应性测试数学(文)试题


2015 年温州市高三第三次适应性测试 数学(文科)试题
考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ? 4 ?

R 3 其中 R 表示球的半径

2015.5

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满分 150 分,

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
2 2 1.设集合 M ? x ? R | x ? 1 , N ? x ? R | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 M ? N ? (

?

?

?

?



)

A. {?1} 2.已知命题 A. ?x0

B. {?1,1,3}

C. {1,3}

D. {?1,3}

2 p : ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为( ▲ )

2 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0

B. ?x ? R, D. ?x ? R,
2 2

x 2 ? 2x ? 1 ? 0 x 2 ? 2x ? 1 ? 0
)

C. ?x ? R,

x 2 ? 2x ? 1 ? 0

3.已知 a , b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.若 m // n , n // ? ,则 m // ? C.若 m ? n , n ? ? ,则 m ? ? 5.要得到函数 y ? 3 sin( 2 x ?



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ▲ ) B.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? D.若 m ? ? , m ?

4.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是(

?
3

? ,则 ? // ?

) 的图象,只需将函数 y ? 3 sin 2 x 图象上的所有点( ▲ )
? 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 6
B.向右平移 ▲ ) D. 2 3

? 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向左平移 B. 3
2 2

6.已知向量 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 | 2b ? a |? ( A.2 7.已知双曲线 C1 :

C.3

x y ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 )的右焦点 F 也是抛物线 C2 : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点, 2 a b
·1·

C1 与 C2 的一个交点为 P ,若 PF ? x 轴,则双曲线 C1 的离心率为( ▲ )
A. 2 ? 1 B. 2 2 C. 2 2 ? 1 D. 3 ? 1

8.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 (底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等, D 为 AA1 的 中点. M 、 N 分别是 BB1 、 CC1 上的动点(含端点) ,且满足 BM ? C1 N .当 M,N 运动时,下列结 论中不正确 的是( ... ▲ ) A.平面 DMN ? 平面 BCC1 B1 B.三棱锥 A1 ? DMN 的体积为定值 C. ?DMN 可能为直角三角形 D.平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角范围为 (0, ]

? 4

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分, 分。 9.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a4 ? 10 , S3 ? 12 ,则数列 {an } 的首项 a1 ? ▲ .
2 5 正视图 5 2

共 36 ,通项 an ?



10.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的 体积为 ▲ cm3,表面积为 ▲ cm2.

11.已知 sin ? ? cos ? ? 则 sin 2? ? ▲

1 ? (0??? ) , 2 5 ? , sin(2? ? ) ? 4

侧视图





4

3

12.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:当 x ? 0 时, f ( x) ? ? log 2 x , 则 f (?

俯视图

1 )? 4



;使

f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是





第 10 题图

?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y ? 1 的最大值为 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?





14.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 ( a ? b ? 0 )平分圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,则 ▲ .

1 1 ? 的最小值为 a b
▲ .

x x ?1 2 15.若对任意 x ? [1, 2] ,不等式 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 15 分)已知 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c ,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小;
·2·

(Ⅱ)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 2Sn (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn

. ? 3 ? 3an ( n ? N * )

? (n ? 1) log 3 an ,记 Tn ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,求证: 2Tn ? 1. b 1 b2 bn

18. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为平行四边形,

?ADB ? 90? , AB ? 2AD .
(Ⅰ)证明: PA ? BD ; (Ⅱ)若 PD=AD ,求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

第 18 题图

19. (本小题满分 15 分)设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为

F ,过
点,且

F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两

y1 y 2 ? ?4 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)若 k ? 1 , O 为坐标原点,求 ?OAB 的面积.
·3·

第 19 题图

20. (本小题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 不动点.设函数

? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的一个

. f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0 )

(Ⅰ)当 a ? 2 , b ? ?2 时,求 f ( x ) 的不动点; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个相异的不动点 x1 , x 2 : (i)当 x1 (ii)若 |

? 1 ? x2 时,设 f ( x) 的对称轴为直线 x ? m ,求证: m ?

1 ; 2

x1 |? 2 ,且 | x1 ? x2 |? 2 ,求实数 b 的取值范围.

·4·

2015 年温州市高三第三次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
要求。

2015.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分。 9. 1; 3n ? 2 10. 4 ; 14 ? 2 13

12. ? 2 ; (?1,0) ? (1,??) 13. 0 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 15 分)解: (I)由已知得: bc ? b ? c ? a ,
2 2 2

24 31 2 ; 25 50 14. 3 ? 2 2 15. a ? 1 或 a ? 5
11. …………………2 分

故 cos A ?

?A?

?
3

b ?c ?a bc 1 ? ? , 2bc 2bc 2
2 2 2

……………………………3 分 ……………………………7 分 …………………………9 分



(II)解法 1:一方面 b ? c ? a ? 3 , 另一方面: a ? 3 ? b ? c ? bc
2 2 2

? (b ? c) 2 ? 3bc 3 1 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 …………………13 分 4 4 即 (b ? c) 2 ? 12 , b ? c ? 2 3 (当且仅当 b ? c ? 3 时取到等号) ………15 分
综上: 3 ? b ? c ? 2 3 . 解法 2:一方面 b ? c ? a ? 3 , 另一方面,由正弦定理得: …………………………9 分

b c ? ? sin B sin C

3 sin

?
3

? 2 ,及 B ? C ?

2? 3

? b ? c ? 2 sin B ? 2 sin C 2? ? 2 sin B ? 2 sin( ? B) 3 ? 3 sin B ? 3 cos B

…………………………11 分

? 2 3 sin( B ? ?0 ? B ? ?

?
6

)

…………………………13 分

2? ? ? 5? ,? ? B ? ? , 3 6 6 6
…………………………15 分

1 ? sin B ? 1 ,从而 3 ? b ? c ? 2 3 . 2
·5·

17. (本小题满分 15 分)解: (I)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 3a1 ,得 a1 ? 3 当 n ? 2 时, 2Sn ? 3 ? 3an …… ①

……2 分

2Sn?1 ? 3 ? 3an?1 …… ②
①-②,得: 2an ? 3an ? 3an?1 ,即 an ? 3an?1 ,

?{an } 为公比为 3,首项为 3 的等比数列,
. ? an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ( n ? N * ) (II) bn ? (n ? 1) log
3

………………………5 分 ………………………7 分 ………………………9 分 ………………………12 分

3n ? 2n(n ? 1) ,

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1
1 1 1 ? ? ... ? b1 b2 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? ) 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1
1 ,即 2Tn ? 1. 2

? Tn ?
?
? Tn ?

………………………14 分 ………………………15 分

18. (本小题满分 15 分)解: (I)? PD ? 平面 ABCD , ? PD ? BD . 又? AD ? BD , AD ? PD ? D

…………………………2 分

? BD ? 平面 PAD . …………………………5 分 又? PA ? 平面 PAD , ? PA ? BD . ………………7 分 (II)解法 1:过 B 作 BH ? CD 于 H ,连接 PH ,………9 分 ? BH ? PD , BH ? CD , ? BH ? 平面 PCD . ? PB 在平面 PCD 上的射影即为 PH , H 故 ? BPH 即为直线 PB 与平面 PCD 所成的角.……12 分 不妨记 AD ? BC ? PD ? 1 ,则 AB ? CD ? 2 , BD ? 3 ,
在 Rt ?PBH 中: BH ? (解法 1) BC ? BD 3 ? , PB ? PD2 ? BD2 ? 2 , CD 2 ……………15 分

? sin ?BPH ?

BH 3 ? . PB 4

解法 2:如图所示建系,不妨设 AD ? BC ? PD ? 1 , 则 AB ? CD ? 2 , BD ? 3 ,

z

D(0,0,0) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) , P(0,0,1) ,
·6·

x

PB ? (0, 3,?1) , DC ? (?1, 3,0) , DP ? (0,0,1) …10 分
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ?n ? DC ? ? x ? 3 y ? 0 ,取 n ? ( 3,1,0) ? ? n ? DP ? z ? 0 ?
记所求线面角为 ? , sin ? ?| cos ? n, PB ?|? 19. (本小题满分 15 分)解: (Ⅰ) F (

…………………………13 分

3 . 4

…………………………15 分

p p ,0) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) ,………2 分 2 2
…………………4 分

p ? ? y ? k(x ? ) 联立 ? 2 ,消 x ,得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?

? y1 y2 ? ? p 2 ? ?4 ,从而 p ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .
(Ⅱ)由已知, F (1,0) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 , 联立 ?

………………6 分

?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

,消 x ,得: y ? 4 y ? 4 ? 0 ,所以 ?
2

? y1 ? y 2 ? 4 , ? y1 y 2 ? ?4

………9 分

| AB |? (方法一)?

2 ? 4 2 ? 4 ? (?4) ? 8

又? O 到直线 AB 的距离 d ?

1 2

?

2 , 2

…………………13 分

? S ?OAB ?
(方法二) S ?OAB ?

1 2 ? ?8 ? 2 2 . 2 2

……………………15 分

1 ? | OF | ? | y1 ? y 2 | 2 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 1 ? 16 ? 16 ? 2 2 . 2

……………………13 分 …………………………15 分
2

2 20. (本题满分 14 分)解: (Ⅰ)依题意: f ( x) ? 2x ? 2x ? 1 ? x ,即 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,

解得 x ?

1 1 或 1,即 f ( x) 的不动点为 和 1; 2 2
·7·

…………………………4 分

b (Ⅱ) (ⅰ)由 f (x)表达式得 m=- , 2a ∵ g(x)= f ( x) ? x = a x 2 + (b-1) x +1,a > 0, 由 x1,x2 是方程 f (x)=x 的两相异根,且 x1 <1 <x2, 1 b 1 b ?1 ? ? ? ,即 m > 2 . a 2a 2 (ⅱ)△= (b-1) 2-4a > 0 ? (b-1) 2 > 4a, 1 1? b x1 + x2 = ,x1x2 = , a a ∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? ? ∴ | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = ( ∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 又 | x1-x2 | = 2, (*) ……………8 分

1? b 2 4 2 ) - =2 , a a

………………10 分

∴ x1、x2 到 g(x)对称轴 x=

1? b 的距离都为 1, 2a

要使 g(x)=0 有一根属于 (?2,2) ,

1? b ? (?3,3) , 2a 1 b ?1 ∴ -3< <3?a > | b-1|, 6 2a
则 g(x)对称轴 x = 把上式代入 (*)式,得:(b-1) 2 > ∴ b 的取值范围是:(-?,

…………………12 分

2 1 1 7 | b-1 | + (b-1) 2,解得 b < 或 b > , 3 9 4 4 …………………14 分 命题教师 吴云浪 徐登群 郑志远 鲍凡克 凌爱民 叶事一

1 7 )∪( ,+?). 4 4

-END-

·8·


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