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3.2.2 复数的乘法 & 3.2.3 复数的除法


3.2.2

复数的乘法

3.2.3

复数的除法

设a,b,c,d∈R,则(a+b)(c+d)怎样展开? (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,
d∈R,则z1z2=(a+bi)(c+di),按照上述运算法则

将其展开,z1z2等于什么?

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.(重点)
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法

的分配律.(难点)

探究点1 复数的乘法运算
复数的乘法法则: 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然,两个复数的积仍为复数.

复数的乘法运算律:
容易验证,复数的乘法运算满足交换律、结合 律和乘法对加法的分配律,即对任意复数z1,z2,z3, 有

z1?z2= z2?z1 ,

(z1?z2) ?z3= z1?(z2 ?z3) ,
z1?(z2 +z3)= z1?z2 +z1?z3
.

例 1 已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1· z2.

解: z1· z2=(2+i)(3-4i)
=6-8i+3i-4i2

=10-5i.

2 例2 求证: (1)z z ? z ? z . (2)z 2 ? (z) .

2

2

( 3 ) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 .
证明: (1)设z ? a ? bi, 则z ? a ? bi, 于是

z z ? (a ? bi)(a ? bi) 2 2 2 ? a ? abi ? bai ? b i ? a2 ? b2

? z

2

? z .

2

( 2 )设 z ? a ? bi , 则 2 2 2 2 z ? ( a ? bi ) ? a ? b ? 2 abi ,
( z ) 2 ? ( a ? bi ) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abi,

于是 z ? ( z). (3)设 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di , 则
2 2

z1 ? z 2 ? ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i
? ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i ,

z1 ? z 2 ? ( a ? bi ) ( c ? di )
于是 z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 .

? ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i ,

例2表明,两个共轭复数的乘积等于这个复
数(或其共轭复数)模的平方. 实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内 仍然成立,即对z,z1,z2∈C及m,n∈N有: zm·zn=zm+n,

(zm)n=zmn,
(z1·z2)n=z1n·z2n.

【探究】

i 的指数变化规律

i1 ? i , i 2 ? ?1 , i 3 ? ?i , i 4 ? 1
6 7 8 1 1 i i 5 ? __ , i ? __ , i ? __ , i ? __ i

你能发现规律吗?有怎样的规律?

i

4n

?1,

i 4 n ?1 ? i ,

i

4n?2

?

4 n?3 ? ?1 , i

? i.

例 3 计 算 (1 ? 2 i ) 2 .
解: (1 ? 2i ) 2 ? 12 ? 2 ?1 ? 2i ? ( 2i ) 2
? 1 ? 2 2i ? ( 2 ) 2 i 2 ? 1 ? 2 2i ? 2 ? (?1) ? ?1 ? 2 2i.

例 4 计算: i 37 ; i 28 ; i19 ; i 90 . 解: i 37 ? i 4?9 ?1 ? i; i ?i
28 4? 7

? 1; ? ? i;

i ?i
19

4? 4 ? 3

i 90 ? i 4? 22 ? 2 ? ? 1 .

例5 计算 (1)(1 ? i) 2 .
2

(2)(1 ? i) 2 .
2 2

(3)(1 ? i) 2 000 .

解: (1)(1 ? i) ? 1 ? 2 ?1 ? i ? i ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i.

(2)(1 ? i) 2 ? 12 ? 2 ?1 ? i ? i 2 ? 1 ? 2i ? 1 ? ?2i. (3)(1 ? i) 2 000 ? [(1 ? i) 2 ]1 000 ? (2i)1 000 ? 21 000 ? i1 000
? 21 000 ?1 ? 21 000.

探究点2 复数的除法运算
复数的除法是乘法的逆运算,满足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商,

记作

a ? bi . c ? di

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ? c ? di (c ? di)(c ? di)

(ac ? bd) ? (bc ? ad)i ? c2 ? d 2

ac ? bd bc ? ad ? 2 2 ? 2 2 i. c ?d c ?d
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0, a ? bi 所以商 是唯一确定的复数. c ? di

例6 计算 (1+2i)?(3-4i).

1 ? 2i (1 ? 2i )(3 ? 4i ) 解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) ? ? 3 ? 4i (3 ? 4i )(3 ? 4i ) ? 5 ? 10i 1 2 ? ? ? ? i. 8 25 5 5 ?1? i ? 例7 计算 ? ? . ? 1? i ?

1 ? i ? ? (1 ? i) ? ? 2i ? ? 8 解: ? ? ? i ? 1. ? ? ? ? ? ? ? 1 ? i ? ? (1 ? i)(1 ? i) ? ? 2 ?
2

8

8

8

【总结提升】

1.复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母,

类比多项式的乘法进行,注意要把i2
化为-1,进行最后结果的化简. 2.复数的除法运算法则的记忆

复数除法一般先写成分数形式,再把

3.记住以下结果,可提高运算速度.

(1)(1+i) =2i,(1-i) =-2i.
1- i 1+ i (2) =-i, =i. 1+ i 1- i
1 (3) =-i. i

2

2

?3 ? i 1. (2012 · 新课标全国卷)复数z ? 的共轭复数是( D ) 2?i

A.2+i

B.2-i

C.-1+i

D.-1-i

2.(2012·山东高考)若复数z满足z(2-i)=11+7i (i为虚数单位),则z为( A ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i

3.(2012·安徽高考)复数z满足(z-i)(2-i)=5,则
z=( D ) A.-2-2i B.-2+2i C.2-2i D.2+2i

1 4.已知 z=x+yi(x,y∈R)且 z= ,(z+1)( z +1) z =x2+y2,求复数 z.

【分析】

1 z= ? z · z =1?|z|=1,从而展开 z

(z+1)( z +1)可求.

1 【解】 因为 z= ,所以 z· z =1,所以|z|=1, z 即 x2+y2=1. 又因为(z+1)( z +1)=x2+y2, 所以 z· z + z+ z + 1 = 1 , 1 所以 2x+1=0,所以 x=- . 2 3 3 2 2 2 由 x +y =1,得 y = ,所以 y=± . 4 2 1 3 所以 z=- ± i. 2 2

1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘,展 开后要把i2换成-1,并将实部与虚部分别合并.若 求几个复数的连乘积,则可利用交换律和结合律每 次两两相乘. 2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算, 一般先将除法运算式写成分数形式,再将分子、分 母同乘以分母的共轭复数,把分母化为实数,分子 按乘法法则运算.

3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的 算法,不要求记忆运算公式.

奋斗只是一种行动的昭示,而实际的

行动却应该有详细的计划,清楚的段落,
坚定的意志和力量。

——戴尔·卡耐基


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