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江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案


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江西省红色六校 2013 届高三第二次联考数学理科试题卷
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位

....... 置) . 1. 若 A ? ?a ?
? a ? ? b ?1 ? ? Z ? , B ? ?b ? Z ?, A ? B ? ( 3 3 ? ? ?

) D. Z )

A.

B

B. A

C. ?

2 . “? ﹤1”是“数列 an ? n 2 - 2?n 为递增数列”的(

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相 应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上 各个散点均在一条直线上.其中正确的有( ) A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数 是( ) |x| A.f(x)=x2 B.f(x)=

x

C.f(x)=

e -e ex+e-x

x

-x

D.f(x)=
?
0

1+sin x-cos x 1+sin x+cos x
f ?(0) ? ?3 ,则 f (0)

5.设函数 f ( x) ? ( x ? a) n ,其中 n ? 6 ? 2 cos xdx ,
f (x) 的展开式中 x 4 的系数为(

) C.-60 D.60

A.-360

B.360

6.已知实数 x,y 满足 ? ? 小值是(
13 A. 6

x ? 2y ? 0

?x ? y ? 5 ? 0 ?y ?3 ? 0 ?

且不等式 axy ? x 2 ? y 2 恒成立,则实数 a 的最

) B.
5 2

C.

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的
a1 a 2 a15

3 2

D.2

是( A.
S6 a6

) B.
S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

1

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x2 y2 3a 8.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点, a b 2
△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. ) 4 5

9.有 20 张卡片分别写着数字 1,2,?,19,20.将它们放入一个盒中,有 4 个 人从中各抽取一张卡片,取到两个较小数字的二人在同一组,取到两个较大数字 的二人在同一组,若其中二人分别抽到 5 和 14,则此二人在同一组的概率等于 ( ) 1 7 5 2 A. B. C. D. 2 51 51 51 10. 下图展示了一个由区间 (0, 4) 到实数集 R 的映射过程: 区间 (0, 4) 中的实数 m 对 应数轴上的 点 M (如图 1 ) ,将线段 AB 围成一个正方形,使两端点 A、B 恰好重合(如图 2 ) , 再将这个 正方形放在平面直角坐标系中, 使其中两个顶点在 y 轴上, A 的坐标为 (0, 4) 点 (如 图3 ) , 若图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) ? n .现给出以下命题: ① f (2) ? 0 ; ② f ( x) 的图象关于点 (2, 0) 对称; ③ f ( x) 为偶函数; ④ f ( x) 在 (3, 4) 上为常数函数. 其中正确命题的个数为( A. 4 B. 3 ) C. 2 D. 1

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在答题卷中的 .......... 横线上) ... 11.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 且 z1·z2 是实数,则 z2 等于 12.在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小, 应分别填 上 和 。 2 2 13. 设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,(1,0)是圆内一定点, 为圆周上任一点. A Q 线 段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为

2

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? ? ?? 14.已知函数 f ( x) ? x ? tan x .项数为 17 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ? , ? ,且 ? 2 2?

公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a17 ) ? 0 ,则当 k =__________时, f (a k ) ? 0 . 三、选 做 题 : 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 .若 两 题 都 做 , 则 按 做 的 第 一 题 评 阅 计 分 .本 题 共 5 分. 15.⑴ (坐标系与参数方程选做题) 化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程 为 . ⑵(不等式选择题)不等式 | 2 ? x | ? | x ? 1 |? a 对任意 x ? [0,5] 恒成立的实数 a

的取值范围为_____________ 四、本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) π? ? 设 f(x)=4cos ?ω x- ?sinω x-cos(2ω x+π ),其中 ω >0. 6? ? (1)求函数 y=f(x)的值域; ? 3π π ? , ?上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间?- 2 2? ?

17、 (本小题满分 12 分)
1 1 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 例 数 列 , 且 a1 ? a2 ? 2( ? ) , a1 a2
a3 ? a4 ? a5 ? 64( 1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5 .

(Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

3

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18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD,D1A=D1D= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. A1 D1 ⑴求证:A1O//平面 AB1C; ⑵求锐二面角 A—C1D1—C 的余弦值.
B1 C1 A

·

O

D

B

C

19.(本小题满分 12 分) 某单位实行休年假制度三年以来, 50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示: 休假次数
0
1 2

3

5 10 20 15 人数 根据上表信息解答以下问 题: ⑴从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f ( x) ? x 2 ? ?x ? 1 在区间 (4 , 6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; ⑵从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机

变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

20.(本小题满分 13 分) 如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC , ?C ? 90? ,B、D 在 x 轴上且关于 原点 O 对称, D 在边 BC 上,BD=3DC,△ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B、C 为 焦点,且经过 A、D 两点. ⑴ 求双曲线 E 的方程; ⑵ 若一过点 P(m, 0) ( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲 线顶点的两点 M 、 N ,且 MP ? ? PN ,问在 x 轴上是否 存在定点 G ,使 BC ? (GM ? ?GN ) ?若存在,求出所有 这样定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由
B O D C x

????

????

y A

??? ?

???? ?

????

4

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21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? a ln x ? bx2 在点(1,f(1))处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 (1)求 f(x)的表达式; (2)若 f(x)满足 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则称 f(x)为 g(x)的一个“上界函数” ,如 果 f(x)为 g ( x) ?
t ? ln x(t ? R) 的一个“上界函数” ,求 t 的取值范围; x

x2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 (3)当 m>0 时讨论 F ( x) ? f ( x) ? 2 m

5

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答案
一、选择题: 1 题号 答案 C 2 A 3 C 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B 10 B

二、填空题: 11. 4+2i. 12. 6、4。 4x2 4y2 13. 25 + 21 =1. 14.9

15 (1) x2 ? y 2 ? 0或x ? 1,(2) [9,??) 三、解答题: 3 1 16.解:(1)f(x)=4? cosωx+ sinωx?sinωx+cos2ωx 2 ?2 ?
=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin2ωx+1. ?????????4 分 因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].???6 分 π π (2)因 y=sinx 在每个闭区间?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin2ωx+ ? ? kπ π kπ π ? 1(ω>0)在每个闭区间? ω -4ω, ω +4ω?(k∈Z)上为增函数.????8 分 ? 3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意知?- 2 ,2?? ? ω -4ω, ω +4ω??????????9 分 ? 3π π - ≥- , 2 4ω 对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于是 ???????10 分 π π ≤ , 2 4ω 1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 .?????????12 分 6 6

? ? ?

17 解: (Ⅰ)设公比为 q,则 an ? a1q n?1 .由已知有

? ?1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2 ? ? ?, ? a12 q ? 2, ? ? ? a1 a1q ? 化简得 ? 2 6 ????????3 分 ? ? 1 ? a1 q ? 64. 1 1 ? ? ?a q 2 ? a q 3 ? a q 4 ? 64 ? 2 ? 3 ? 4 ?. 1 1 ? 1 a1q a1q a1q ? ? ?
又 a1 ? 0, 故q ? 2, a1 ? 1 ?????????5 分 所以 an ? 2
n ?1

?????????6 分
2

? 1? 1 1 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? ? an ? ? ? an ? 2 ? 2 ? 4 ? n ?1 ? 2 ??????8 分 an ? an 4 ?
因此 Tn ? 1 ? 4 ? ? ? 4

?

n ?1

? ? ?1 ? 1 ? ? ? 41 ? ? 4
6

n ?1

1 n 1?n ? ? ? 2n ? ? 4 ? 4 ? ? 2n ? 1 ???12 分 3 ?

18.解(Ⅰ)证明:如图(1) ,连结 CO、A1O、AC、AB1,??1 分

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则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC=AB=A1B1, A1 D1 所以,四边形 A1B1CO 为平行四边形,???3 分 所以 A1O//B1C, B1 又 A1O ? 平面 AB1C,B1C ? 平面 AB1C C1 O 所以 A1O//平面 AB1C??????6 分 · D A (Ⅱ)因为 D1A=D1D,O 为 AD 中点,所以 D1O⊥AD, 又侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, B C 图 所以 D1O⊥底面 ABCD,?????7 分 (1) 以 O 为原点,OC、OD、OD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图(2)所示 的坐标系,则 C (1,0,0) D (0,1,0) D1 (0,0,1) A (0,-1,0)..8 , , , 分 ???? ???? ? ???? ? ????? ???? 所以 DC ? (1, ?1,0), DD1 ? (0, ?1,1), D1 A ? (0, ?1, ?1), DC1 ? DC ? (1, ?1,0) ,??9 分 1 ? 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 C1CDD1 的一个法向量, z D A1 1 ???? ? ???? ? ?x ? y ? 0 ? 由 m ? DC, m ? DD1 ,得 ? , ?? y ? z ? 0 B1 ? C1 令 z ? 1 ,则 y ? 1, x ? 1,? m ? (1,1,1) .??10 分 O ? D · 又设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 AC1D1 的一个法向量, A y ???? ? ????? ? ?? y ? z ? 0 ? B 由 n ? D1 A, n ? DC1 ,得 ? 1 1 , (2) C 图 1 x1 ? y1 ? 0 x ? ? 令 z1 ? 1,则 y1 ? ?1, x1 ? ?1,?n ? (?1, ?1,1) ,????????11 分 ? ? 1 ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? ,故所求锐二面角 A-C1D1-C 的余弦值为 ??12 分 则 cos ? m, n ?? 3 3 3? 3 2 19.解:(1) 函数 f ? x ? ? x ?? x ?1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零

? f (4) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 点,则必有 ? 即: ? ,解得: ? ? ? 4 6 ? f (6) ? 0 ?36 ? 6? ? 1 ? 0 所以, ? ? 4 或? ? 5
当 ? ? 4 时, P ? 1
2 20 1 10 1 15 1 20 1 15

????3 分

C ?C C C C 68 12 ,当? ? 5 时, P2 ? ? ? 2 2 C50 245 C50 49 ? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式 68 12 128 ? ? 所以 P ? P ? P2 ? ????6 分 1 245 49 245 (2) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别是 0,1, 2,3 , ????7 分
于是 P ?? ? 0 ? ?
2 2 2 1 1 1 1 C52 ? C10 ? C 20? C 15 2 C1C1 ? C10C20 ? C15C20 22 , ? , P(? ? 1) ? 5 10 ? 2 2 C50 7 C50 49

1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 10 C1C1 3 ? , P(? ? 3) ? 5 2 15 ? 2 C50 49 C50 49 从而 ? 的分布列: ? 0 1 2

P(? ? 2) ?

????10 分

3

7

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2 22 10 7 49 49 2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49
P

3 49

????12 分 .
y

20 解: (1) 设双曲线 E 的方程为
?| AB |2 ? | AC |2 ? 16a 2 , ? ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ?| AB | ? | AC |? 2a. ?

x2 y 2 ) 0 ) 则 c0 ,, 0 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , B(? ,, (Da ( ,) Cc a 2 b2 由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2a .

???????.3 分
B O D C

A

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2, b ? 3 .
y2 ? 1 .???????.5 分 3 ??? ? ???? ? ???? (2) 设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .

x

∴双曲线 E 的方程为 x2 ?

y

设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) . ???? ???? 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 .
y 即? ? ? 1 ① ????6 分 y2 ??? ? ???? ? ???? ∵ BC ? (4,0) , GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t, y1 ? ? y2 ) , ??? ? ???? ? ???? ∴ BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) .

B O

G

C

P N

x

M

即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② ???????.8 分 把①代入②,得 2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ ???????.9 分
y2 ? 1 并整理得 (3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0 3 1 其中 3k 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ? 且 3k 2 ? m 2 ? 1 . 3 2 ?6km 3(m ? 1) . ???????.10 分 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1 6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) 1 代入③,得 ? ? 0 ,化简得 kmt ? k .当 t ? 时,上式恒成立. 2 2 m 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 因此,在 x 轴上存在定点 G ( ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .???????.13 分 m

把 x ? m ? ky 代入 x2 ?

21. 解: (1) f ? ? x ? ?

? a ? f ? ?1? ? a ? 2b ? 1 ? 2bx ,由题可知 ? ????2 分 x ? f ?1? ? a ln1 ? b ? 0 ?

a=1,b=0, f ( x) ? ln x ?????????4 分 (2) ln x ?

t ? ln x ? t ? 2 x ln x x 1 ?????????6 分 e

令 ? ( x) ? 2 x ln x , ? ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 x ? (0, ) 时, ? (x) ? e

1 x ? ( ,?? ) 时, ? (x) ? e

8

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2 1 2 ? ? ( x) m i n? ? ( ) ? ? ,即得 t ? ? ?????????9 分 e e e

(3) F ( x) ? ln x ?

x2 m2 ? 1 ? x 2 m

F ' ( x) ?

1 m 2 ? 1 m x2 ? (m 2 ? 1) x ? m (m x ? 1)(x ? m) ?x? ? ? ?0 x m mx mx

1 或 x=m?????????10 分 m 1 ? 1 (i)当 ?0 ? m ? 2 ,即 ? m ? 2 且 m ? 1 时,F(x)在(0,2)上有两个极值点 m 和 ? 2 ?0 ? m ? 2

即得 x ?

? 1 ?m ? m ?

1 m

(ii)当 ? m

?1 ?2 ,即 0 ? ?0 ? m ? 2 ?

?m?

1 时 F(x)在(0,2)上只有一个极值点为 x=m 2

(iii)当 m ?

1 ,即 m=1 时无极值点 m

1 ? ?0 ? ? 2 ,即 m ? 2 时,F(x)在(0,2)上只有一个极值点 1 ?14 (iv)当 ? m m ?m ? 2 ?


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