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广东省清远市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省清远市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3,4},N={﹣2,2},下列结论成立的是() A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2} 2. (5 分)函数 f(x)=

lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) 3. (5 分)过点(1,2)且斜率为 3 的直线方程为() A.y=3x﹣3 B.y=3x﹣2 C.y=3x﹣1

D.[2,+∞)

D.y=x﹣1

4. (5 分)函数 f(x)= A.7 B .6

,则 f[f(5)]=() C.3 D.4

5. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

6. (5 分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)以(1,1)和(2,﹣2)为一条直径的两个端点的圆的方程为() 2 2 2 2 A.x +y +3x﹣y=0 B. x +y ﹣3x+y=0 C. x +y ﹣3x+y﹣ =0
2 2

D.x +y ﹣3x﹣y﹣ =0

2

2

8. (5 分)幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,4) ,则 f(9)=() A.1 B .3 C.9

α

D.81

9. (5 分)一几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是()

A.32﹣

B.32﹣

C.32﹣16π

D.32﹣32π

10. (5 分)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)= 则当实数 a 满足 2<a< 时,函数 y=g(x)的零点个数为() A.0 B .2

,g(x)=f(x)+a,

C. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. (5 分)直线 x﹣y+2=0 与圆 x +y =4 的位置关系是. (填相交、相切或相离) 12. (5 分)比较大小:log270.5 . (填>、<或=) 13. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 与 BC1 所成角为.
3 2 2

14. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足 f(2x﹣1)>f( )的 x 的取值范围是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|﹣3≤x≤5},B={x|x<2m﹣3}. (1)当 m=5 时,求 A∩B, (?UA)∪B; (2)当 A?B 时,求 m 的取值范围.

16. (12 分)求下列式子的值: (1) ( ) ﹣2015 ﹣(
2 0





(2)log3

+lg25+lg4.

17. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

18. (14 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明. 19. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,点 A(0,3) ,设圆 C 的半径为 1, 圆心 C(a,b)在直线 l:y=2x﹣4 上. (1)若圆心也在直线 y=﹣x+5 上,求圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (3)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 20. (14 分)设函数 fn(x)=x +bx+c(n∈N+,b,c∈R) . (1)设 n≥2,b=1,c=﹣1,证明:y=fn(x)在区间( ,1)内单调递增; (2)在(1)的条件下,证明:fn(x)=0 在区间( ,1)内存在唯一实根; (3)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围.
n

广东省清远市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. )

1. (5 分)已知集合 M={1,2,3,4},N={﹣2,2},下列结论成立的是() A.N?M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2} 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 由 M={1, 2, 3, 4}, N={﹣2, 2}, 则可知, ﹣2∈N, 但是﹣2?M, 则 N?M, M∪N={1, 2,3,4,﹣2}≠M,M∩N={2}≠N,从而可判断. 解答: 解:A、由 M={1,2,3,4},N={﹣2,2},可知﹣2∈N,但是﹣2?M,则 N?M, 故 A 错误; B、M∪N={1,2,3,4,﹣2}≠M,故 B 错误; C、M∩N={2}≠N,故 C 错误; D、M∩N={2},故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了集合的包含关系的判断,解题的关键是熟练掌握集合的基本运算. 2. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞)

D.[2,+∞)

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 根据函数定义域的定义,我们易列出关于 x 的不等式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:要使函数的解析式有意义, 自变量 x 须满足: x﹣1>0 即 x>1 故函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的定义域,当函数是由解析式给出时,其定义域是使 解析式有意义的自变量的取值集合. 3. (5 分)过点(1,2)且斜率为 3 的直线方程为() A.y=3x﹣3 B.y=3x﹣2 C.y=3x﹣1

D.y=x﹣1

考点: 直线的点斜式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点斜式即可得出. 解答: 解:过点(1,2)且斜率为 3 的直线方程为 y﹣2=3(x﹣1) ,化为 y=3x﹣1. 故选 C. 点评: 本题考查了直线的点斜式方程,属于基础题.

4. (5 分)函数 f(x)= A.7 B. 6

,则 f[f(5)]=() C. 3 D.4

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数,由里及外逐步求解即可. 解答: 解:函数 f(x)= ,则 f(5)=5+1=6.

f[f(5)]=f(6)=6+1=7. 故选:A. 点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 5. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 6. (5 分)沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为() ,∴

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体,它的侧视图首先应该是一个正方形, 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线, 分析对角线的方向, 并逐一对照四个答案中的视图形 状,即可得到答案. 解答: 解:由已知中几何体的直观图, 我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确; 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 C 不正确; 而对角线的方向应该从左上到右下,故 B 不正确 故 A 选项正确. 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中熟练掌握简单几何体的三视图的 形状是解答此类问题的关键. 7. (5 分)以(1,1)和(2,﹣2)为一条直径的两个端点的圆的方程为() 2 2 2 2 A.x +y +3x﹣y=0 B. x +y ﹣3x+y=0 C. x +y ﹣3x+y﹣ =0
2 2

D.x +y ﹣3x﹣y﹣ =0

2

2

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 以(1,1)和(2,﹣2)为直径的圆的圆心为( ,﹣ ) ,半径为: r= = .由此能求出圆的方程.

解答: 解:以(1,1)和(2,﹣2)为直径的圆的圆心为( ,﹣ ) , 半径为:r= ∴圆的方程为(x﹣ ) +(x+ ) =
2 2 2 2

= ,



整理,得 x +y ﹣3x+y=0. 故选:B. 点评: 本题考查圆的标准方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的合理运用. 8. (5 分)幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,4) ,则 f(9)=() A.1 B. 3 C. 9 D.81 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的图象经过点(2,4) ,求出函数解析式,再计算 f(9)的值. α 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,4) , α ∴2 =4, ∴α=2; 2 ∴f(x)=x , 2 ∴f(9)=9 =81.
α

故选:D. 点评: 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的应用问题,是基础题 目. 9. (5 分)一几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是()

A.32﹣

B.32﹣

C.32﹣16π

D.32﹣32π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图复原的几何体的形状,结合三视图的数据,求解几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知:三视图复原的几何体是底面边长为 4,高为 2 的正四棱柱,挖去一 个倒放的半球, 三视图的体积为: =32﹣ .

故选:A. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计 算能力.

10. (5 分)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)= 则当实数 a 满足 2<a< 时,函数 y=g(x)的零点个数为() A.0 B.2 C.3

,g(x)=f(x)+a,

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出分段函数的图象,转化函数的零点为方程的根,利用函数的图象推出结果即可. 解答: 解:函数 y=g(x)的零点个数,就是方程 g(x)=f(x)+a=0 方程根的个数,即 f (x)=﹣a 根的个数,也就是函数 f(x)与 y=﹣a 图象交点的个数, 函数 f(x)= 2<a< 可得﹣2>﹣a>﹣ . 与 y=﹣a,2<a< 的图象如图:

由图象可知,两个函数的交点有 3 个. 故选:C.

点评: 本题考查函数的零点与方程的根的关系,零点的个数的判断,考查转化思想以及数 形结合的应用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. (5 分)直线 x﹣y+2=0 与圆 x +y =4 的位置关系是相交. (填相交、相切或相离) 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆的圆心与直线的距离与半径比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解答: 解:直线 x﹣y+2=0 与圆 x +y =4 的圆心的距离为:d=
2 2 2 2 2 2

=

<2,

直线 x﹣y+2=0 与圆 x +y =4 的位置关系是相交. 故答案为:相交. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系的应用,圆心到直线的距离与半径比较是解题的关键. 12. (5 分)比较大小:log27>0.5 . (填>、<或=) 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数和指数函数的单调性求解. 解答: 解:∵log27>log22=1, 3 0 0.5 <0.5 =1, 3 ∴log27>0.5 . 故答案为:>. 点评: 本题考查两个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指 数函数的单调性的合理运用. 13. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 AB1 与 BC1 所成角为 60°.
3

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 求两条异面直线 AB1 与 BC1 所成角,只要连结 AD1,即可证明 AD1∥BC1,可得 ∠D1AB1 为两异面直线所成的角,在三角形 D1AB1 中可求解. 解答: 解:连结 AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,∴AB∥D1C1 且 AB=D1C1, ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形,∴AD1∥BC1,则∠D1AB1 为两异面直线 AB1 与 BC1 所成 角. 连结 B1D1,∵正方体的所有面对角线相等,∴△D1AB1 为正三角形,所以∠D1AB1=60°. 故答案为 60°. 点评: 本题考查空间点、 线、 面的位置关系及学生的空间想象能力、 求异面直线角的能力. 在 立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧,此题是中档题.

14. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足 f(2x﹣1)>f( )的 x 的取值范围是 <x< .

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的性质,可知 f(x)=f(|x|) ,将不等式 f(2x﹣1)>f( )转化为 f(|2x ﹣1|)>f( ) ,再运用 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,去掉“f”,列出关于 x 的不等式, 求解即可得到 x 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(|x|) , ∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|) , ∴不等式 f(2x﹣1)>f( )转化为 f(|2x﹣1|)>f( ) , ∵f(x)在区间[0,+∞)单调递减, ∴|2x﹣1|< ,即﹣ <2x﹣1< , 解得 <x< , < x< .

∴满足 f(2x﹣1)>f( )的 x 的取值范围是

故答案为: <x< . 点评: 本题考查了函数的性质,对于偶函数,要注意运用偶函数在对称区间上单调性相反 的性质, 综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式, 解题的关键是将不等式进行合理的转化, 然后利用单调性去掉“f”.属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|﹣3≤x≤5},B={x|x<2m﹣3}. (1)当 m=5 时,求 A∩B, (?UA)∪B; (2)当 A?B 时,求 m 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)当 m=5 时,根据集合的基本运算即可求 A∩B, (?UA)∪B; (2)当 A?B 时,根据集合关系即可求 m 的取值范围. 解答: 解: (1)当 m=5 时,A={x|﹣3≤x≤5},B={x|x<7},…(2 分) ∴A∩B={x|﹣3≤x≤5},…(4 分) CUA={x|x<﹣3 或 x>5},…(6 分) ∴CUA∪B=R.…(8 分) (2)A={x|﹣3≤x≤5}, ∵A?B,∴5<2m﹣3,…(10 分) 即 m>4.实数 m 的取值范围为(4,+∞) .…(12 分) 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,比较基础. 16. (12 分)求下列式子的值: (1) ( ) ﹣2015 ﹣(
2 0





(2)log3

+lg25+lg4.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用指数的运算法则求解即可. (2)利用对数的运算法则求解即可. 解答: 解: (本题得分说明:只要其中一个数变形正确都得分) (1)原式= ﹣1﹣ = ﹣1﹣ = ﹣1﹣ …(5 分) …(4 分) …(3 分)

=﹣1…(6 分) (2)原式= +lg(25×4)= +lg10 =
2

=

…(6 分)

(说明:第一、二步各(2 分) ,第三、四各 1 分) 点评: 本题考查对数以及指数的运算法则,基本知识的考查. 17. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 利用勾股定理的逆定理可得 AC⊥BC. 利用线面垂直的性质定理可得 CC1⊥AC, 再利用线面垂直的判定定理即可证明结论; (2)利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出 ED∥AC1,再利用 线面平行的判定定理即可证明结论 解答: 证明: (1)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, 所以 C1C⊥平面 ABC,所以 C1C⊥AC. 又因为 AC=3,BC=4,AB=5, 所以 AC +BC =AB , 所以 AC⊥BC. 又 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 CC1B1B, 所以 AC⊥BC1. (2)连结 C1B 交 CB1 于 E,再连结 DE, 由已知可得 E 为 C1B 的中点, 又∵D 为 AB 的中点,∴DE 为△ BAC1 的中位线. ∴AC1∥DE 又∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1 ∴AC1∥平面 CDB1.
2 2 2

点评: 熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方 形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键. 18. (14 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) ,a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)使函数各部分都有意义的自变量的范围,即列出不等式组 等式组求出 x 范围就是函数的定义域; (2)根据函数奇偶性的定义进行证明即可. 解答: 解: (1)由题得,使解析式有意义的 x 范围是使不等式组 成立的 x 范围, ,解此不

解得﹣1<x<1, 所以函数 f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1}. (2)函数 f(x)为奇函数, 证明:由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣loga(1+x)+loga(1﹣x)=﹣[loga(1+x)﹣loga (1﹣x)]=﹣f(x) 所以函数 f(x)为奇函数. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,以及函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义 是解决本题的关键 19. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,点 A(0,3) ,设圆 C 的半径为 1, 圆心 C(a,b)在直线 l:y=2x﹣4 上. (1)若圆心也在直线 y=﹣x+5 上,求圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (3)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 考点: 直线与圆相交的性质;圆的标准方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)联立直线 l 与直线 y=﹣x+5,求出方程组的解得到圆心 C 坐标,可得圆 C 的方 程;

(2)根据 A 坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于 k 的方程, 求出方程的解得到 k 的值,确定出切线方程即可; (3)设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的 轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等 式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)由 …(1 分)
2

得圆心 C 为(3,2) ,…(2 分)
2

∵圆 C 的半径为,∴圆 C 的方程为: (x﹣3) +(y﹣2) =1…(4 分) (2)由题意知切线的斜率一定存在,…(5 分) (或者讨论) 设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx﹣y+3=0…(6 分) ∴ …(7 分)∴ ∴2k(4k+3)=0

∴k=0 或者

…(8 分)

∴所求圆 C 的切线方程为:y=3 或者 即 y=3 或者 3x+4y﹣12=0…(9 分) (3)设 M 为(x,y) ,由 整理得直线 m:y= …(12 分) ∴点 M 应该既在圆 C 上又在直线 m 上,即:圆 C 和直线 m 有公共点 ∴ ,∴ …(13 分) …(14 分) …(11 分)

终上所述,a 的取值范围为:

点评: 此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定, 涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方程, 是一道综合性较强的试题. 20. (14 分)设函数 fn(x)=x +bx+c(n∈N+,b,c∈R) . (1)设 n≥2,b=1,c=﹣1,证明:y=fn(x)在区间( ,1)内单调递增; (2)在(1)的条件下,证明:fn(x)=0 在区间( ,1)内存在唯一实根; (3)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用.
n

分析: (1)设 n≥2,b=1,c=﹣1,化简函数的表达式,利用函数的单调性直接证明 y=fn(x) 在区间( ,1)内单调递增. (2)fn(x)=0 在区间 唯一零点,通过 增函数.即可得到结果. (3) ,对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4, , 内存在唯一实根等价于 fn(x)=0 在区间 ,以及函数 在区间 内存在 为

等价于 f2(x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值的差 M≤4,利用 f2(x)的对称轴为

①当|b|>2 时,②当 0<b≤2 时,③当﹣2≤b≤0 时,分别求出最值之差,判断 b 的取值范围为 [﹣2,2]即可. 解答: 解: (1) 设 ,…(2 分)
n n n n

…(1 分)

f(x2)﹣f(x1)=x2 +x2﹣1﹣(x1 +x1﹣1)=(x2 ﹣x1 )+(x2﹣x1)…(3 分) ∵ ,且∴x2 ﹣x1 >0,x2﹣x1>0,
n n

∴f(x2)﹣f(x1)>0, ∴y=fn(x)在区间( ,1)内单调递增 (2)fn(x)=0 在区间 唯一零点 ∵ ∴fn(x)在区间 由(1)知 n≥2 时, 所以 fn(x)在区间 (3) , 内有零点.…(6 分) 在区间 为增函数.…(7 分) …(4 分) 内存在

内存在唯一实根等价于 fn(x)=0 在区间 …(5 分)

内存在唯一的零点;…(8 分) …(9 分)

所以对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4, 等价于 f2(x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值的差 M≤4,…(10 分) ∵f2(x)的对称轴为 ①当 . ,M=|f2(1)﹣f2(﹣1)|=2|b|>4,不合题意.…(11 分)

②当

, 恒成立;…(12 分)

③当

, 恒成立 …(13 分)

综上所得,b 的取值范围为[﹣2,2]…(14 分) 点评: 本题考查函数的最值的几何意义,函数的恒成立,函数的单调性以及函数的零点, 考查转化思想以及分析问题解决问题的能力.


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