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4新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式1》




绝对值不等式

从不等式的背景可以看 , 许多不等 到 关系都涉及到距离的长 , 面积或体 短 积的大小, 重量的大小, 等等 , 它们都 要通过非负数来表示 . 因此, 研究含有 绝对值的不等式具有重 要意义.

1

绝对值三角不等式

我们知道,实数a的绝对值|

a | 有明确的几何 意义, 它表示数轴上坐标为 的点A到原点的 a 距离?图1.2 ? 1?1 ??.
|a|
O

A

A

|a?b|

B

a
图 1 . 2 ? 1 ?1 ?

x

a

图 1 .2 ? 1 ?2 ?

b

x

对于任意两个实数 , b, 设它们在数轴上的 a 对应点分别为A, B, 那么| a ? b | 的几何意义 是数轴上A, B两点之间的距离即线段AB的 , 长度?图 .2 ? 1?2 ??. 1

绝对值的几何意义是我 们认识绝对值不等 式的重要工具 .实际上, 我们可把" 距离大小 " 作为解决绝对值不等式 的基本出发点 研究 , 和解决相应的问题 .
思考 类比不等式基本性质的 得出过程 你 ,

认为可以怎样提 出关于绝对值不等式性 质 的猜想?

我们仍然可以从 运算"的角度考察绝对值 " 不等式.例如, 对于实数a, b可以考察 | a |, | b |, | a ? b |, | a ? b | 等之间的关系在研究过程中 , 应特别注意利用绝对值 的几何意义 .

下面研究| a |, | b |, | a ? b | 之间的关系 .

探究 用恰当的方法在数轴上 | a |, | b |, | a ? b | 表 把 示出来, 你能发现它们之间的什 么关系?
我们先分 ab ? 0 和 ab ? 0 两种情况讨论 .

当 ab ? 0 时 , 如图 1 . 2 ? 2 容易得到
O
?

| a ? b |? | a | ? | b | .
? ?

a

?

b

?

a?b

?

x

a?b

b

a

?

?

O

x

图 1 .2 ? 2

当 ab ? 0 时 , 又可分为 的点在原点的左边
?

a ? 0 , b ? 0 和 a ? 0 , b ? 0 两种 , 坐标 b .可以发现 | a ? b |? | a | ? | b | .
a
? ?

情况 .如图 1 . 2 ? 3 ?1 ?, 坐标 a 的点在原点右边

b a?b

?

O

?

a

?

x

O

a?b b

?

?

x

图 1 . 2 ? 3 ?1 ?

图 1 .2 ? 3 ?2 ?

同理 , 当 a ? 0 , b ? 0 时 , 如图 1 . 2 ? 3 ? 2 ? 也有 | a ? b |? | a | ? | b | .
| a ? b |? | a | ? | b | .
a
? ?

O

a?b b

?

?

x

图 1 .2 ? 3 ?2 ?

当 ab ? 0 , 则 a ? 0 或 b ? 0 , 容易看出

:

综上所述

, 可以得到

:

定理 1

如果 a , b 是实数 , 则 | a ? b |? | a | ? | b |,

当且仅当 ab ? 0 时 , 等号成立 .
探究 如果把定理1 中的实数a, b 分别换为向 量a , b, 能得出什么结果 你 能 解 释它的几何 ? 意义吗?

在上面的不等式中用向量 a, b , 分别替换a, b,当向量a, b不共线 时, 那 么由向 量 加 法 的 三角形 法则 向量a ? b, a, b构成三角形 , , 因此我们有向量形式的 不等式 | a ? b |?| a | ? | b | .

y

a?b

b

a

O
图 1 .2 ? 4

x

它的几何意义就是三角 形的两边之和大于第 三边 ?图1.2 ? 4 ?.

由于定理1 与三角形之间这种关系我们称其 , 中的不等式为绝对值三角不等式 .

探究 当向量a, b 共线时 有怎样的结论 , ?

一般地 , 我们有

| a ? b |?| a | ? | b | .

为了更好地理解定理 , 我们再从代数推 1 理的角度给出它的证明 .

证明 当ab ? 0时, ab ?| ab |,

| a ? b |?

?a ? b ?

2

?
2

a ? 2ab ? b

2

2

?

| a | ?2 | ab | ? | b |

2

?

?| a | ? | b |?

2

?| a ? b |

当ab ? 0时, ab ? ? | ab |,

| a ? b |?

?a ? b ?

2

?

a ? 2ab ? b
2

2

2

? ?

| a | ?2 | ab | ? | b | a ? 2 | ab | ? b ?
2 2

2

| a | ?2 | ab | ? | b |

2

2

?

?| a | ? | b |?

2

?| a ? b |

所以 | a ? b |?| a | ? | b | . 当且仅当ab ? 0 时,等号成立.

探究

你 能 根据定理1 的研究思路 探究一 ,

下 | a | , | b | , | a ? b | , | a ? b | 等 之 间的其他关 系 吗? 例如 :| a | ? | b | 与| a ? b |, | a | ? | b | 与| a ? b |, | a | ? | b | 与| a ? b | 等之间的关系 .
事实上 , 我们可以得出许多正确 的结论 .例如 如果a, b是实数, 那么| a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | .

以上我们讨论了关于两 个实数的绝对值不等 式, 这 是 最基本、最重要的 根据这样的思想 . 方法, 我们可以讨论涉及多个 实数的绝对值不 等式问题.例如, 我们有

定理 2

如果 a , b , c 是实数 , 那么

| a ? c |? | a ? b | ? | b ? c |, 当且仅当

? a ? b ?? b ? c ? ?

0 时 , 等号成立

.

分析 由于a ? c, a ? b与b ? c都是实数 且 , a ? c ? ?a ? b ? ? ?b ? c ?,因而定理 2 中, 不等 式的形式与定理1 的形式一致 所以考虑 , 利用定理1 来证明定理2 .

证明

根据定理

1, 有

| a ? c | ? | ? a ? b ? ? ? b ? c ? |? | a ? b | ? | b ? c |, 当且仅当

? a ? b ?? b ? c ? ?

0 时 , 等号成立

.

探究 你能给定理2的几何解释吗 ?
如图1.2 ? 5, 在数轴上 a, b, c 所对应的 , 点分别为A, B, C ,当点B在 A, C之间时, | a ? c |?| a ? b | ? | b ? c | .
A ? a
C B ? ? c b 图 1 .2 ? 5
x

A ? a

C B ? ? c b 图 1 .2 ? 6

x

如图1.2 ? 6, 给出了当点B不在 A, C之间 时的一种情形 请同学们自己给出其他 . 情形时定理2 的几何解释.

例1 已知? ? 0, | x ? a |? ? , | y ? b |? ? , 求证
证明

| 2 x ? 3 y ? 2a ? 3b |? 5? .
| 2 x ? 3 y ? 2 a ? 3b |

? | ?2 x ? 2 a ? ? ?3 y ? 3 b ? |
?| 2?x ? a ? | ? | 3? y ? b ? | ? 2 | ?x ? a ? | ?3 | ? y ? b? |
? 2? ? 3? ? 5? ,
所以 | 2 x ? 3 y ? 2 a ? 3 b |? 5 ? .

例2

两个施工队分别被安排 在公路沿线的两

个地点施工 这两个地点分别位于公 , 路碑的第 10 km和第20 km处.现要在公路沿线建两个 施工 队的共同临时生活区每个施工队每日在生活 , 区和施工地点之间往返 一次.要使两个施工队 每天往返的路程之和最 , 生活区应建在何处 小 ?

分析

如果生活区建成于公路 路碑的第xkm处,

两个施工队每天往返的 路程之和为 ? x ? km, 那 S 么 S ? x ? ? 2?| x ? 10 | ? | x ? 20 |?.于是, 上面的问题 就化归为数学问题 :当 x 取何值时 函数 S ? x ? ? , 2?| x ? 10 | ? | x ? 20 |? 取得最小值这个问题可以 . 应用绝对值不等式的性 质来解 .



设生活区应建于公路路

碑的第 xkm 处 , 两个 之和为 S ? x ? km , 则

施工队每天往返的路程

S ? x ? ? 2 ?| x ? 10 | ? | x ? 20 | ?.
因为 | x ? 10 | ? | x ? 20 |? | x ? 10 | ? | 20 ? x | ? | ? x ? 10 ? ? ? 20 ? x ? | ? 10 , 当且仅当 解不等式

? x ? 10 ?? 20 ? x ? 10 ?? 20

? x ? ? 0 时取等号 . ? x ? ? 0 , 得 10 ? x ? 20 .

所以 , 当 10 ? x ? 20 时 , 函数 S ? x ? ? 2 ?| x ? 10 | ? | x ? 20 | ? 取得最小值 活区建于两个施工地点 能使两个施工队每天往 20 .于是 , 生 ,都 .

之间的任何一个位置时 返的路程之和最小

s

画出 函 数 S ? x ? 图象 ?图 1 . 2 ? 7 ?, 从 图 象 上可以 直 观 地看出结 论.
20 40 60

s?x ? ? 2?| x ? 10 | ? | x ? 20 |?

O

10

20

30

x

图 1 .2 ? 7


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