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2004年全国高中数学联赛四川省初赛


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2 O O 5 年第 1 期 

2 0 0 4 年全国 高中 数学联赛四 川省初赛  




选择题( 每小题 5 分, 共3 0 分)  
(   ) .   9 . 某城市的机动车牌照是从“ 1 0 0 0 0 ”

到  “ 9 9 9 9 9 ” 连续编号. 则在这 9 0   0 0 0 个车牌照中   数字9 至少出现一个, 且各数字之和是 9 的  倍数的车牌照共有— — 个.  

1 . 函数  ) =  +  

( A ) 是偶函数但不是奇函数  ( B ) 是奇函数但不是偶函数  ( C ) 既是奇函数又是偶函数  ( D ) 既不是奇函数也不是偶函数  2 . 已知 厂 (   ) 对任意整数  都有  


1 0 . 若0 < a 、 b 、 c <1 满足条件 曲+6 - c +  

c a = 1 , 则   _+ l   +   的 最 小 值 是  
) .  
l 1 . 已知正 四棱锥 V —A B C D 的棱 长都 

+2 ) =  

一 2 ) .  

若f ( 0 ) = 2   0 0 3 , 则  2   O O 4 ) = (  
( A ) 2   O O 2   ( C ) 2   O O 4   ( B ) 2   0 0 3   ( D ) 2   0 0 5  

等于a , 侧棱 V B 、 V D的中点分别为H 、  . 若  过A 、 H、 K三点的平面交侧棱  于L , 则四  
边形 A H L K的面积为— — .  

3 . 已知不等式 
m   +( c 0 s 2  一5 ) m+ 4 s i n  I >0  

1 2 . 已知 a 、 b 、  是实数, 函数 f (  ) =   ) .   2 a x +1 与函数 g (   ) = 2 b ( a 一  ) 的图像  不相交. 记参数 a 、 b所组成的点( a , b ) 的集 


恒成立. 则实数 m的取值范围是(  
( A ) 0 ≤m≤4  

( B ) 1 ≤m≤ 4  

合为 A . 则集合 A所表示的平面图形的面积 
为— — .  

( C ) m> 1 4 或 m≤0 ( D ) m≥1 或 m≤ 0  

4 . 在母线长为√ 6 的圆锥中, 体积最大的   那一个的底面圆的半径为(   ) .   ( A ) 1   ( B ) 2   ( c ) 3   ( D ) 4   5 . 正三棱锥相邻侧面所成二面角等于侧  面与底面所成二面角的 2 倍. 则侧棱与底面  边长之比为(   ) .  
( A ) - 3 -

三、 解答题( 每小题 2 0 分, 共8 o 分)   1 3 . 已知数列{ a   } 满足 
a l =1 , a  =2 a  l +n 一 2( n ≥2 ) .  


求通项 a   .  
1 4 . 如图 1 , D 、 H  

分别 是 锐 角 △A B C   的外心和垂心, D是  边B C的中点, 由H  

2  ( B ) 导  ( c )   ( D ) 号  
) .  
( B )   1 6   8  ( D )  

6 . 函数 Y =c   + s i n 2  一C O S   的最大  值等于(  
( A )  

二、 填空题( 每小题 5 分, 共3 0 分)  
2 . 2 x  

向  A及其外角平分  线作垂线, 垂足分别  图1   为E 、 F. 证明: D、 E 、   F三点共线.   l 5 . 设 A={ l , 2 , …, n } , 用. s   表示A的   所有非空真子集中各元素之和,   表示A的 
子集的个数? 求 的值?  
,   n — ’   n D .  

7 . 已知函数  ) =  

. 则 

) +   而 2 ) + . . ? +  ) = — — .  
8 . 不等式 I   一2   I ≤2 x+1 的解集为 

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中等数 学  

1 6 . 已知椭圆 E:   I j 2

口   豢 D   = l ( 口 > 6 > o ) ,  


若联结  , 则四 边形 A D D G 为平行四 边形. 从而,   D G   I   O A .   由①和②知 D 、 E 、 G三点共线 , 但 ,在髓 上,   1 5 . 易知   = 2 。 .  

动圆I 1 :   +y 2 =R   , 其中 6 <R< 口 . 若 A是 

 、 , 三点共线.   椭圆 E上的点, 日是动圆r上的点, 且使直  故 D、

线 仰 与椭圆E和动圆r均相切, 求A 、 日两  点的距离l 仙l 的最大值.  

先考察数字 1 在 A的所有非空真子集中出现的  次数, 易知在一元集中出现 1 次, 即  一 。 次, 在二元 
集中出现 c   一 。 次, 在三元集中出现  一 。 次, ……, 在  n 一 1 元集中出现 c n   - 2 次. 故数字 1 在 A的所有非空 

参 考答 案  




1 . A  2 . B  3 . C  4 . B  5 . D  6 . A 

真子集中出现的总次数为  
C   一 I +c   一 I +… + C : -   .  

二、 7 . 5 0  8 . {  l √ 2 — 1 ≤  ≤3 }  9 . 4   1 6 8  
1 0 .   1 1 .   n   1 2 .  

贝 4   s   = ( 1 + 2 + …+n ) (  — l + c   一 I + …+ c : -   )  


丛 

( 2 J I ~一1 )
.  

三、 l 3 . 由已知得 

a 。 +  = 2 [ a 。 一 I + (  一 1 ) ] (   ≥ 2 ) .   令b . =a . + n , 则 
b I =a I +1 = 2 , b . = 2 b 。 一 I ( n ≥2 ) .   于是 , b . =2 ×2  。 = 2   , 即  +  = 2   (  ≥2 ) .  

所  l i a r


矗=  

= { .  
① 

1 6 . 设A (   。 , Y 。 ) 、 B (   : , Y 2 ) , 直线 他 的方程为  
Y=   +m .  

因为 A既在椭圆E上又在直线A B 上, 从而, 有 

f Y l =  I +m ,  

故I I n = 2 。 一 n( n ≥ 2 ) .   因为 a l = 1 也符合上述式子, 所以,  
a . =2 。 一n ( n ≥1 ) .  

I 孚 + 吾 : 1 一  
将①代入②得 
( a   +b   )  + 2   A=( 2  

②  
+a   ( m 2 . 一b   ) = 0 .  

1 4 . 如图 2 , , 联结  O A 、 0 1 ) 。 并延 长 O D   交△A B C的外接圆于  
、  

‘ 、

又因为直线 佃 与椭圆   相切, 故 
)   一 4 ( a   +b   ) a   ( m 2 一b   ) = 0 .   从而可得 
m 2

则O D - l - B C , B M=  
 

=6   + 口   ,  l =一   .  

③ 

M C . 故A 、  、   三点   共线 .   又. 4 E 、 , I F分 别  是△ A B C的  A及其 
M 

同理, 由 B既在圆r上又在直线脑 上, 得 

m 2 -   埘) ,  一 等.  
由③ 、 ④得  ( I i : . 2 一   )  
, ’   一  

④  

图2  

外角的平分线, 则. 4 E  
- l - , I F .  

因为 皿 - l -  , 删’ 上, I F , 所以, 四边形 A E I t F为 
矩形 .  

故I   A BI  =(   2 一  I ) 。 +( Y 2 一y I ) 。  


( 1 +  ) (   2 一  I )  
 
 

因 此, M I - 与E F 互相平分, 设其交点为 G . 于是,  



. 

m  

= 壁  一 !   : = 壁   一 

a 
一  

A G:   胴 :  

:髓 .  
=  

而O A= 0 1 1 4 , 且O D / / . 4 t t , 则  
蚴 f =   O MA=/ M, t G=/ C , E A.  

R ‘   I n 2 + 6 2 一   一 譬 
( n 一 6 )   一 ( R 一 等 )   ≤ ( 。 一 6 ) : .  
时, 上式取等号.  



故E G ∥O A .  
O D 上B C , 所以,  

① 

又因为 0 、 H分别是△A B C的外心和垂心, 且 

当 且仅当R=  

因此, A 、 曰两点的 距离 l A B l 的最大值为 a —b .   ( 许清华 提供)  

O D = { 胴 = A G .  


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