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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:3-8]


课时作业(二十三)
一、选择题 1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距 离为( )

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 解析:∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴ BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·

ACcos ∠ BAC = 4 + 9 - 2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 答案:D 2.(2013· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、 b、 c, 其中 a 为最大边, 如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C, 则角 A 的取值范围为( π? ? A.?0,2?
? ? ?π π? C.?6,3? ? ?

)
?π π? B.?4,2? ? ? ? ? π π? D.?3,2? ?

解析:由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= 2bc >0, π π ∵0<A<π,∴0<A<2.又 a 为最大边,∴A>3.
?π π? 因此得角 A 的取值范围是?3,2?. ? ?

答案:D

3.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80° ,塔顶仰角为 45° ,此人沿 南偏东 40° 方向前进 10 米到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30° ,则塔高为 ( ) A.15 米 B.5 米 C.10 米 D.12 米

解析:如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45° ,则 OC =OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30° , 则 OD= 3h, 在△OCD 中,∠OCD=120° ,CD=10, 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos 120° , ∴h2-5h-50=0,解得 h=10,或 h=-5(舍). 答案:C 4.在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得 湖中之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m )

解析:依题意画出示意图. CM-10 CM+10 则 tan 30°= tan 45° ∴CM= tan 45° +tan 30° ×10 tan 45° -tan 30°

≈37.3 m. 答案:C 5.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠C=120° ,AB=4,BC=CD =2,则该四边形的面积等于( )

A. 3 C.6 3

B.5 3 D.7 3

解析:连接 BD,在△BCD 中,BC=CD=2,∠BCD=120° , ∴∠CBD=30° ,BD=2 3, 1 S△BCD=2×2×2×sin 120° = 3. 在△ABD 中,∠ABD=120° -30° =90° ,

AB=4,BD=2 3, 1 1 ∴S△ABD=2AB· BD=2×4×2 3=4 3, ∴四边形 ABCD 的面积是 5 3. 答案:B 6.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏 东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 解析: ) B.10 3 海里 D.20 3 海里

如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30° ,∠ABC=105° ,∴∠ BCA=45° . 1 又 AB=40×2=20(海里), 20 BC ∴由正弦定理可得sin 45° =sin 30° . 1 20×2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 答案:A

二、填空题

7.“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好的生活环境, 在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种 草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要________元. 1 解析:三角形空地的面积 S=2×12 3×25×sin 120° =225,故 共需 225×120=27 000 元. 答案:27 000 8.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同 一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与 炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m.

解析:如图,OM=AO tan 45° =30 (m), 3 ON=AO tan 30° = 3 ×30=10 3(m), 在△MON 中,由余弦定理得, MN= 3 900+300-2×30×10 3× 2 = 300=10 3(m).

答案:10 3 三、解答题 9.(2013· 广州综合测试(二))某单位有 A、B、C 三个工作点,需 要建立一个公共无线网络发射点 O, 使得发射点到三个工作点的距离 相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80 m,BC=70 m, CA=50 m.假定 A、B、C、O 四点在同一平面内. (1)求∠BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离. 解:(1)在△ABC 中,因为 AB=80 m,BC=70 m,CA=50 m, AB2+AC2-BC2 802+502-702 1 由余弦定理得 cos∠BAC= = =2. 2×AB×AC 2×80×50 π 因为∠BAC 为△ABC 的内角,所以∠BAC=3. (2)因为发射点 O 到 A、B、C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ABC 外接圆的圆心. 设外接圆的半径为 R, BC 在△ABC 中,由正弦定理得sin A=2R, π 3 因为 BC=70 m,由(1)知 A=3,所以 sin A= 2 . 所以 2R= 70 140 3 70 3 = 3 ,即 R= 3 . 3 2

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D, 70 3 BC 70 在△OBD 中,OB=R= 3 ,BD= 2 = 2 =35, 所以 OD= OB2-BD2=
?70 3?2 35 3 ? ? -352= 3 . ? 3 ?

35 3 所以点 O 到直线 BC 的距离为 3 m. 10.甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60° 的方向,两船 相距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,则甲船 应沿什么方向行驶才能追上乙船?追上时甲船行驶了多少海里? 解:

如图所示,设到 C 点甲船追上乙船,乙到 C 地用的时间为 t,乙 船速度为 v, 则 BC=tv,AC= 3tv,B=120° ,

BC AC 由正弦定理知 =sin B, sin∠CAB ∴ 1 3 =sin 120° , sin∠CAB

1 ∴sin∠CAB=2,∴∠CAB=30° ,∴∠ACB=30° , ∴BC=AB=a, ∴AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos 120°
? 1? ?- ?=3a2,∴AC= 3a. =a2+a2-2a2· 2 ? ?

故甲船应沿北偏东 30° 方向行驶, 追上乙船时甲行驶了 3a 海里. 11.(2014· 安徽池州一中高三月考)在△ABC 中,AB=c,AC=b, D 为线段 BC 上一点,且∠BAD=α,∠CAD=β,线段 AD=l. sin α sin β sin?α+β? (1)求证: b + c = ; l (2)若 AB=4 2,AC=4,∠BAD=30° ,∠CAD=45° ,试求线段 AD 的长. 1 解:(1)在△ABC 中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,得2bcsin(α 1 1 1 +β)=2blsin β+2clsin α,同除2bcl 即得证. sin?45° +30° ? 1 (2)由(1)代入数据得 =4,l= 6+ 2. l [热点预测] 12.(2013· 无锡质检)如图,△ABC 为一个等腰三角形,腰 AC 的 长为 3(百米),底 AB 的长为 4(百米),现拟在该空地内筑一条笔直的 小路 EF(宽度不计), 将该空地分成一个四边形和一个三角形. 设分割 的四边形和三角形的周长相等,面积分别为 S1,S2. (1)若小路一端为 AC 的中点,求此时小路的长度.(如图一)

S1 (2)若 E,F 点分别在两腰上,求S 的最小值.(如图二)
2

7 3 解:(1)由题意知,点 F 在底 AB 上,且 AF=2,AE=2,cos A=
?3?2 ?7? 2 2 2 2 ? ? +? ? , 在△ AEF 中, 由余弦定理 EF = AE + AF - 2 AE · AF · cos A = 3 ?2? ?2?
2

3 7 2 15 30 -2×2×2×3= 2 ,所以 EF= 2 ; S1 S△ABC-S2 S△ABC (2) 设 CE = x , 则 CF = 5 - x , S = = S -1= S
2 2 2

1 BC· sin C 2AC· -1 1 CF· sin C 2CE· 9 9 11 -1≥? - 1 = 25, x?5-x? x+5-x?2 ? ? 2 ? ? 5 S1 11 当且仅当 x=5-x,即 x=2时,S 的最小值是25.
2


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