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2014届高考数学一轮复习方案 第28讲 数列的概念与简单表示法课时作业 新人教B版


课时作业(二十八)
基础热身

[第 28 讲

数列的概念与简单表示法]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

5 7 9 1.[教材改编试题] 数列{an}:1,- , ,- ,?的一个通项公式是( 8 15 24 A.an=(-1) B.an=(-1) C.an=(-1) D.a

n=(-1)
n+1

)

2n-1 (n∈N+) n2+n 2n-1 (n∈N+) n2+3n 2n-1 (n∈N+) n2+2n 2n+1 (n∈N+) n2+2n
2

n-1

n+1

n-1

2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64

)

1 1 3.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- ,则 a16=( 2 an A.2 B.3 1 C.-1 D. 2

)

4. [2012·信阳模拟] 已知数列{an}中, 1=2, n+1=an+2n(n∈N ), a100 的值是( a a 则 A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000

*

)

能力提升 5. [2011·四川卷] 数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, n+1=3Sn(n≥1), a6=( 若 a 则 A.3×4 C.4
4 4

)

B.3×4 +1
4

4

D.4 +1

6.[2012·牡丹江一中期中] 已知 Sn 是非零数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an-1,则 S2
012

等于(

)
2 011

A.1-2 C.2
2 011

B.2

2 012

-1
2 012

-1 D.1-2

7.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1) (n≥2, n∈N ),则 的值是(

n

*

a3 a5

)

1

A. C.

15 15 B. 16 8 3 3 D. 4 8
n

8. [2012·天津调研] 已知数列{an}的通项公式是 an=(-1) (n+1), a1+a2+a3+? 则 +a10=( )

A.-55 B.-5 C.5 D.55 9.[2012·浙江名校联考] 数列{an}前 n 项和为 Sn,则“a2>0”是“数列{Sn}为递增数 列”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.在数列{an}中,a2=4,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=n +λ n(λ ∈R).则实数 λ 的值等 于________. 11. 在数列{an}中, a1=3, 若 且对任意的正整数 p, 都有 ap+q=ap+aq, a8=________. q 则 12.[2012·惠州调研] 已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式 出,则 a10 等于________. 13.[2012·邯郸模拟] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列{bn} 满足 an=4log2bn+3,n∈N .则 bn=________. 14.(10 分)[2013·开封一中月考] 已知 a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N ),求: (1)a2,a3,a4,a5; (2)an.
* ﹡ 2 * 2

an n-1 = (n≥2)给 an-1 n

15.(13 分)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N 满足关 系式 2Sn=3an-3.

*

2

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的 log3an·log3an+1 正整数 n,总有 Tn<1.

难点突破 16.(12 分)[2012·课程标准卷改编] 数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1,设 Sn=a1 +a2+a3+?+an,求 S60 的值.
n

3

课时作业(二十八) 【基础热身】 3 5 7 9 1.D [解析] 观察数列各项,可写成: ,- , ,- ,故选 D. 1×3 2×4 3×5 4×6 2.A [解析] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1,则 a8=2×8-1=15, 故选 A. 1 1 1 1 1 3.D [解析] 由题可知 a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = ,a5=1- =- a1 a2 a3 2 a4 1 1,?,则此数列为周期数列,周期为 3,故 a16=a1= . 2 4.B [解析] a100=(a100-a99)+(a99-a98)+?+(a2-a1)+a1=2(99+98+?+2+1)
2 2

99×(99+1) +2=2× +2=9 902,故选 B. 2 【能力提升】 5.A [解析] 由 an+1=3Sn,得 an=3Sn-1(n≥2),两式相减,得 an+1-an=3(Sn-Sn-1) =3an(n≥2),即 an+1=4an(n≥2),

a1=1,a2=3,则 a6=a2·44=3×44,故选 A.
6.B [解析] 当 n=1 时,S1=2a1-1=2S1-1,得 S1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 代入 Sn=2an-1,得

Sn=2Sn-1+1,即 Sn+1=2(Sn-1+1),
∴Sn+1=(S1+1)·2
n-1

=2 ,S2 012=2

n

2 012

-1,故选 B.

7.C [解析] 由已知得 a2=1+(-1) =2, 1 3 由 a3·a2=a2+(-1) ,得 a3= , 2 1 1 4 又由 a4= +(-1) ,得 a4=3, 2 2 1 2 a3 2 3 5 由 3a5=3+(-1) ,得 a5= ,则 = = ,故选 C. 3 a5 2 4 3 8.C [解析] a1+a2+a3+?+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5,故选 C. 9.B [解析] a2>0,不能保证{Sn}是递增数列,如数列{4-n}的前 n 项和构成的{Sn}不 是递增数列;反之,若{Sn}为递增数列,则有 S2>S1,得 a2>0.∴“a2>0”是“数列{Sn}为递 增数列”的必要不充分条件.故选 B. 10.1 [解析] ∵a2=S2-S1=(4+2λ )-(1+λ )=3+λ , ∴3+λ =4,∴λ =1. 11.24 [解析] 依题意 a2=a1+a1=6,a4=a2+a2=12,a8=a4+a4=24.

2

4

1 12. 10 1 . 10 13.2

[解析] 依题意

an n-1 a2 a3 a10 1 2 9 = (n≥2),得 a10=a1· · ? =1× × ×?× = an-1 n a1 a2 a9 2 3 10

n-1

(n∈N ) [解析] 由 Sn=2n +n,得,当 n=1 时,a1=S1=3;
2 2

*

2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n +n-[2(n-1) +(n-1)]=4n-1,n=1 时也符合,故

an=4n-1.
由 an=4log2bn+3,得 bn=2
n-1

,n∈N .

*

14.解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16. (2)由题设,an+1-an=2n-1, ∴an-an-1=2(n-1)-1,

an-1-an-2=2(n-2)-1, an-2-an-3=2(n-3)-1,
?,

a2-a1=1,
将上式相加,可得

an-a1=2[1+2+?+(n-1)]-(n-1),
∴an=(n-1) .
?2Sn=3an-3, ? 15.解:(1)由已知得? ? ?2Sn-1=3an-1-3(n≥2).
2

故 2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1, 故 an=3an-1(n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3, 所以 a1=3,所以 an=3 . (2)证明:由(1)得,bn= 1 1 1 = - . n(n+1) n n+1
n

1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 所以 Tn=b1+b2+?+bn=?1- ?+? - ?+?+? - =1- <1. 2? ?2 3? n n+1? n+1 ? ? ? 【难点突破】 16.解:令 bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n, 则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4. 因为 an+1+ (-1) an=2n-1, 所以 an+1=-(-1) an+2n-1. 所以 a4n-3=-a4n-4+2(4n-4)-1,
n n

5

a4n-2=a4n-3+2(4n-3)-1, a4n-1=-a4n-2+2(4n-2)-1, a4n=a4n-1+2(4n-1)-1, a4n+1=-a4n+2×4n-1, a4n+2=a4n+1+2(4n+1)-1, a4n+3=-a4n+2+2(4n+2)-1, a4n+4=a4n+3+2(4n+3)-1,
所以 a4n+4=a4n+3+2(4n+3)-1=-a4n+2+2(4n+2)-1+2(4n+3)-1 =-a4n+1-2(4n+1)+1+2(4n+2)-1+2(4n+3)-1 =a4n-2×4n+1-2(4n+1)+1+2(4n+2)-1+2(4n+3)-1 =a4n+8, 即 a4n+4=a4n+8. 同理,a4n+3=a4n-1,a4n+2=a4n-2+8,a4n+1=a4n-3. 所以 a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n+a4n-1+a4n-2+a4n-3+16. 即 bn+1=bn+16,故数列{bn}是等差数列. 又 a2-a1=2×1-1,①

a3+a2=2×2-1,② a4-a3=2×3-1,③
②-①得 a3+a1=2;②+③得 a2+a4=8, 所以 a1+a2+a3+a4=10,即 b1=10. 所以数列{an}的前 60 项和即为数列{bn}的前 15 项和, 15×14 即 S60=10×15+ ×16=1 830. 2

6


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