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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《函数的奇偶性与周期性》


函数的奇偶性与周期性
【选题明细表】 知识点、方法 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的应用 函数周期性及应用 函数性质的综合应用 题号 1 2、7、9 2、6、11 3、4、5、8、10

一、选择题 1.(2013 北京西城区期末 ) 下列函数中 , 既是偶函数又在 (0,+ ∞ ) 上单调递增的函数是 ( B ) (A)y=(C)y=-x +3

/>2

(B)y=e

|x|

(D)y=cos x
|x|

解析 :y=- 是奇函数 , 选 项 A 错误 ;y=e 是偶函数且在 (0,+ ∞ ) 上单调递增 , 选项 B 正 确;y=-x +3 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,选项 C 错误;y=cos x 是偶函数且在(0,+∞)上 有时递增,有时递减,选项 D 错误.故选 B. 2.(2013 孝感统考)设 f(x)是周期为 2 的 奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f ( A ) (A)(B)(C) (D) 等于
2

解析:由题意得 f

=-f

=-f

=-f

=-2× ×

=- .故选 A.

[来源:学科网 ZXXK]

3.(2013 湘潭模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[0,1)上单 调递增, 记 a=f( ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A )

(A)a>b=c (B)b>a=c (C)b>c>a (D)a>c>b 解 析 : 依 题 意 得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 即 函 数 f(x) 是 以 2 为 周 期 的 函 数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又 f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又 f(x)在[0,1)上是 增函数,于是有 f( )>f(0)=f(2)=f(3),即 a>b=c.故选 A. 4.(2013 长春调研)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(-x)+f(x)=0 恒成 2 2 2 2 立.如果实数 m、n 满足不等式 f(m -6m+21)+f(n -8n)<0,那么 m +n 的取值范围是( A )
[来源:学+科+网]

(A)(9,49) (B)(13,49) ( C)(9,25) (D)(3,7) 2 2 解 析 : 依 题 意 得 f(-x)=-f(x), 因 此 由 f(m -6m +21)+f(n -8n)<0 得 2 2 2 f(m -6m+21)<-f(n -8n)=f(-n +8n). 2 2 2 2 又 f(x)是定义在 R 上的增函数,于是有 m -6m+21<-n +8n,即(m-3) +(n-4) <4.在坐标平面 mOn 2 2 内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、 2 为半径的圆内的点,m +n 可视为该平面区域内的点 2 2 (m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知 m +n 的取值范围是(9,49),选 A. 5.(2013 安徽省皖北高三大联考)已知周期为 2 的偶函数 f(x)在区间[0,1]上是增函数,则 f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( B ) (A)f(-6.5)<f(0)<f(-1) (B)f(0)<f(-6.5)<f(-1) (C)f(-1)<f(-6.5)<f(0) (D)f(-1)<f(0)<f(-6.5) 解析:由条件得 f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又 f(x)在区间[0,1]上是增 函数,所以 f(0)<f(0.5)<f(1),故 f(0)<f(-6.5)<f(-1).故选 B. 6.(2013 山东济南二模 )设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=时,f(x)=4x,则 f(107.5)等于( B ) (A)10 (B) (C)-10 (D),且当 x∈[-3,-2]

解析:由于 f(x +3)=-

,

所以 f(x+6)=f(x),即函数 f(x)的周期等于 6, 又因为函数 f(x)是偶函数, 于是 f(107.5)=f(6×17+5.5) =f(5.5)=f(3+2.5) ==-

=-

= ,

故选 B. 二、填空题 7.(2013 宣 城 市 一 模 ) 已 知 f(x)=asin x+bx+c(a,b,c ∈ R), 若 f(0)=-2,f ? ? 2 ? =1, 则 ? ? f? ?-

?? ?

? ?? ?= ? 2?

.

解析:由题设 f(0)=c=-2,

f? ?

?? ? ? =a+ b-2=1 ?2? ? ?? ? =-a- b-2=-5. ? 2?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

所以 f ? ?-

答案:-5 8.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)= . 解析:由于函数 f(x)的周期为 5,所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 答案:-1 9.已知函数 f(x)为奇函数,函数 f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则 f(3)= . 解析:法一 根据条件可得 f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 法二 使用特例法,寻求函数模型,令 f(x)=sin x,则 f(x+1)=sin( x+ )=cos x,满足以上

条件,所以 f(3)=sin 答案:-1 三、解答题

=-1.

10.(2013 乐山市第一次调研考试)已知函数 f(x)= -log2 (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x) +f(x)=0, 即 - -log2 + -log2 =0,

是奇函数.

即 log2

=0,



=1,

解得 m=1 ,其中 m=-1(舍), 经验证当 m=1 时,f(x)= -log2 (2)任取 x1,x2∈(0,1),且设 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= -log2 - +log2 =( - )+[log2( -1)-log2( -1)]. (x∈(-1,0)∪(0,1))是奇函数.

由 - >0,

log2(

-1)-log2(

-1)>0,

得 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x)在(0,1)内单调递减; 由于 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称, 所以函数 f(x)在(-1,0)内单调递减. 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的 奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1-x). 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是 周期为 4 的周期函数. (2)解:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],
[来源:学*科*网]

f(x)=-f( -x)=-

.

故 x∈[-1,0]时,f(x)=-

.
[来源:Zxxk.Com]

x ∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=.

从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=.


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