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扬州市 2008—2009 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学
题别 题号 得分 全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟 注意事项:

一 1-14 15 16 17 二 18 19 20 总分

2009.1 积分人

1.答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在试卷的密封线内. 2.试题答案均写在试卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在题后相应的位置上) 1.求值: sin 300 = ★ .

2 2.已知不等式 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为 B ,则 A

B= ★ .

3.函数 y ? tan(2 x ?

?
3

) 的周期为



. ★ .

4.已知 a ? ( 3,1) , b ? (?2 3, 2) ,则 a 与 b 的夹角为 5.求值: sin 21 cos81 ? sin 69 cos9 ? ★ .

6.已知函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 5 , x ? [1, 4] ,则函数 f ( x ) 的值域为 7. 设向量 m ? 2a ? 3b, n ? 4a ? 2b, p ? 3a ? 2b ,则 P 用 m,n 表示为



. ★ .

8.定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? x ,则当 x ? 0 时, f ( x ) 的 解析式为 ★ . ★ .

x ?1 ? ? 2e , x ? 2 9.设函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (2)) 的值为 2 ? ?log3 ( x ? 1), x ? 2

10. 已知 ?ABC 中, AB ? 的形状是 ★

2 b ?c ? CA ? b , 若a ?b ? b?c , 且c? 0, 则 ?ABC c ,BC ? a ,

. ★ .

11. 若函数 y ? log2 (ax ?1) 在区间 (2, ??) 上是增函数, 则实数 a 的取值范围为

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12.如图是函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的图象的一部分,则其解析式
y 2

f ( x) ?





? 3
0 y

5? 6
y

x

-2 13.已知 a ? (2 ? sin 2 x, m) ,b ? (2 ? sin 2 x,1) ,若 a // b ,则实数 m 的取值范围为 ★ . 14.下列命题: ①函数 y ? sin(2 x ?

?

? 7? ? ? ) 的单调减区间为 ?k? ? , k? ? ,k ? Z ; 3 12 12 ? ? ?
?
6 , 0) ;

②函数 y= 3 cos 2 x ?sin 2 x 图象的一个对称中心为 ( ③函数 y ? sin(

1 ? ? 11 3 2 x ? ) 在区间 [? , ? ] 上的值域为 [? , ]; 2 6 3 6 2 2

④函数 y ? cos x 的图象可由函数 y ? sin( x ? ⑤若方程 sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移

?

) ? a ? 0 在区间 [0, ] 上有两个不同的实数解 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? . 3 2 6
★ .

?

? 个单位得到; 4

?

其中正确命题的序号为 得分 评卷人

请将填空题的答案填在下面相应题号的横线上: 1. 4. 7. 10. 13. ; ; ; 2. 5. 8. ; ; ; ; ; 3. 6. 9. 12. ; ; ; ;

; 11. ; 14.

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 得分 评卷人

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15.(本题满分 14 分) 已知角 ? 的终边经过点 P( ? 4 ,3), (1) 求

sin(? ? ? ) ? cos?? ? ? 的值; tan?? ? ? ?

(2)求

1 sin 2? ? cos 2? ? 1 的值. 2

得分

评卷人 16.(本题满分 14 分)

已知︱a︱=4,︱b︱=2,且 a 与 b 夹角为 60°. ⑴ 求 a·b; ⑵ 求(2a-b)·(a+b); ⑶ 若 a-2b 与 a+kb 垂直,求实数 k 的值.

得分

评卷人

17.(本题满分 15 分)

座位号

小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时,得到了下列一组数据: x(月份) 2 3 4 5 6 ……

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y(元) 1.40
1 2

2.56

5.31

11

21.30

……

2x 小明选择了模型 y ? x ,他的同学却认为模型 y ? 更合适. 3
(1)你认为谁选择的模型较好?并简单说明理由; (2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过 100 元? (参考数据 lg 2 ? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771)

得分

评卷人

18.(本题满分 15 分)

已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP ? ? AB (0 ? ? ? 1) . (1)若等边三角形边长为 6,且 ? ?

1 ,求 | CP | ; 3

AB ? PA· PB ,求实数 ? 的取值范围. (2)若 CP·

得分

评卷人

19.(本题满分 16 分)

已知在 ?ABC 中, 0 ? A ?

?
2

,0 ? B ?

?
2

,sinA=

2 2 , tan(A ? B) ? ? . 10 11

(1)求 tanB,cosC 的值; (2)求 A+2B 的大小.

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得分

评卷人

20.(本题满分 16 分) 已知集合 M 是同时满足下列两个性质的函数 f ( x ) 的全体:

① f ( x ) 在其定义域上是单调函数; ②在 f ( x ) 的定义域内存在闭区间 [a, b] , 使得 f ( x ) 在 [a, b] 上的最小值是 请解答以下问题: ⑴判断函数 g ( x) ? ? x3 是否属于集合 M ?并说明理由. 若是, 请找出满足②的闭区间 [a, b] ; ⑵若函数 h( x) ?

a b , 且最大值是 . 2 2

x ?1 ? t ? M ,求实数 t 的取值范围.

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扬州市 2008—2009 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学 评 分 标 准
一、填空题 1. ?

3 2

2. [ , 2) 7. ?

3 2

3.

? 2

4. 120 9. 2

5.

?

3 2

6. [1,5] 形 11. a ?

7 13 m? n 4 8

8. ? x2 ? x

10.等腰直角三角

1 2

12. y ? 2sin(2 x ?

?
3

)

13. [ , 3]

1 3

14.①②⑤

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15 解(1) 角 ? 的终边经过点 P( ? 4 ,3)∴r=5, sin ? ?

3 4 , cos ? ? ? ……3 分 5 5

3 4 ? 4 ? 5 5 ? ……………………………8 分 3 15 ? 4 1 4 2 (2) sin 2? ? cos 2? ? 1 = sin ? ? cos ? ? 2 cos ? ? …………………………14 分 2 5
sin(? ? ? ) ? cos?? ? ? sin ? ? cos? ∴ = tan?? ? ? ? tan?
16 解(1)a·b=4 ………………………………………………………………………3 分 (2)(2a-b)·(a+b)=32 ………………………………………………………………8 分 (3) (a-2b) ? (a+kb)

∴(a-2b)·(a+kb)= a

2

2 +(k-2) a·b -2kb ? 0

……………………………12 分
2x 3

∴16+4(k-2)-8k=0,k=2 ……………………………………………………………14 分
17. 解:(1)根据表格提供的数据,画出散点图。
21.3
y( 元 )

f (x ) =

1

并画出函数 y ? x 2 及 y ?

2x 的图象。 3 2x 3

11

如图:观察发现,这些点基本上是落在函数 y ?

5.31 2.56 1.40 O 1 2 3 4 5 6

1

g (x ) = x
x( 月 )

2

图象上或附近。 因此用 y ?

2x 这一函数模型………………………………………………7 分 3

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(其它解法评分参照执行)

(2)当

2x ? 100时, 2 x ? 300 3 lg 300 2 ? lg 3 ? ? 8.228………………………………………………14 lg 2 lg 2

则有 x ? log2 300 ? 分 ( 或 解





2x ? 100 3





2x ? 3

0 , 0

? 28 ? 256 ? 300,29 ? 512 ? 300.且1 ? x ? 12,x ? N
?x ? 9
……………………………………14 分) 答: 大约在 9 月份小学生的平均零花钱会超过 100 元。 ……………………………………15 分 18. 解(1)当 ? ?
2

1 1 时, AP ? AB , 3 3
2 2

CP ? (CA ? AP)2 ? CA ? 2CA ? AP ? AP
1 ? 62 ? 2 ? 6 ? 2 ? ? 22 ? 28 2


| CP | ? 2 7

……………………………………………………………………7 分

(2)设等边三角形的边长为 a ,则:

1 CP· AB ? (CA ? AP) ? AB ? (CA ? ? AB ) ? AB ? ? a 2 ? ? a 2 2

PA· PB ? PA· ( AB ? AP) ? ?? AB ? ( AB ? ? AB) ? ??a2 ? ? 2a2


………………… 12

1 2 a ? ? a 2 ? ?? a 2 ? ? 2 a 2 2 1 2 ∴ ? ? 2? ? ? 0 , 2
即?

2? 2 2? 2 ?? ? 2 2
又 0 ? ? ? 1,

2? 2 ? ? ? 1。 2

…………………………………………………………15 分

19. 解(1) A,B 是锐角,sinA=

2 , 10

∴cosA=

1 7 2 , tanA= ………………………… 7 10

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1分



1 2 ? tan A ? tan(A ? B) 7 11 ? 1 ……………………5 tan B ? tan?A ? ( A ? B)? ? ? 1 2 1 ? tan A ? tan(A ? B) 3 1 ? (? ) 7 11


1 ? tan B tan A ? tan B 2 1 ( 或解 tan(A ? B) ? ? 7 ? ? ? tan B ? ) 1 1 ? tan A ? tan B 11 3 1 ? tan B 7
∴sinA=
10 3 10 , cos B ? 10 10
又 A+B+C= ?

∴C= ? -(A+B)
7 2 3 10 2 10 2 5 ……… ? ? ? ?? 10 10 10 10 5

∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= ?
8分

(2).? tan B ?

1 3 2 3 1 1? 9 ? 3 4
………………………………

2 tan B ? tan 2 B ? ? 1 ? tan2 B

1 3 ? tan A ? tan 2 B 7 4 ?1 ? tan(A ? 2 B) ? ? 1 3 1 ? tan A ? tan 2 B 1? ? 7 4
10 分 ………………………………………12 分

1 3 <1,tanB= <1. A,B 是锐角 7 4 ? ? 3? ∴0<A< ,0<B< ,∴0<A+2B< 4 4 4
又 tanA= 分

………………………………………………… 15

∴A+2B=


? 4

…………………………………………………………………………… 16

20.(1)设 x1 ? x2 , 则

1 3 2? ? 3 3 2 2 2 g(x 1) ? g(x 2) ? ?x 1 ? x 2 ? (x 2 - x 1)(x 2 ? x 1 x 2 ? x 1 ) ? (x 2 - x 1) ( ? x 2 ? 2 x 1) ? 4 x 1 ? ? 0 ? ?

欢迎登录《100 测评网》www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. ∴ g(x1) , 故 g(x)是 R 上的减函数 ? g(x 2)
假设函数 g(x) ? M , ………………………………………3 分



?

b 2 a ? b3 ? 2 ? a3 ?



?
? ?

2 2 2 b? 2 a??



?

a?

2 2 2 2

b??

又 a<b



?

2 2 2 b? 2 a??

∴g(x)? M

………………………………………5 分

满足条件(2)的闭区间为 ? ?

2 2? , ? 2 2 ?

……………………………………………7 分

(2)

h( x) ? x ?1 ? t ? M 则设 1 ? x1 ? x2 ,

∴h( x1 )- h( x2 )= x1 ? 1 ? t ? ( x2 ? 1 ? t ) ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ∴h( x1 )- h( x2 ) ? 0 ∴h(x)为 ?1,???上的单调增函数 ∴h(x) min =h(a)=
a ?1 ? t ?

x1 ? x2 ?0 x1 ? 1 ? x2 ? 1

………………………………………………10 分

a 2 b h(x) max =h(b)= b ? 1 ? t ? 2 a b ∴t= ? a ? 1且t ? ? b ? 1 2 2 x ∴关于 x 的方程 t= ? x ? 1 ,(x ? 1 )有两解 2 1 2 ) ( m ? 0)有两解 令 x ? 1 ? m, 则t ? (m ? 1 2

…………………………………12 分

即 m 2 ? 2m ? 1 ? 2t ? 0在? 1 , ? ??上有两个不同的解。

∴ ? ?0
? ?

?

f ( 0) ?0

∴t ? ? 0, ? 2

1? ?

……………………………………………………………………………16 分

(本题也可用图象法,评分标准参照执行)

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