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与圆有关的最值问题


与圆有关的最值问题

1 、 点 与 圆 的 位 置 关 系 及 其 充 要 条 件 ( P56 )

2 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 及 其 充 要 条 件 ( P56 )

3 、 圆 与 圆 的 位 置 关 系 及 其 充 要 条 件 ( P60 )

问题:
已知圆

x ? y ? 8 x ? 2 y ? 1 2 ? 0 内
2 2

一点 A ( 3, 0 ),求经过点 A 的最长弦

和最短弦所在的直线方程.

例 : ( P6 2 ) 已 知 直 线 : ( 2 m + 1 ) x + ( m + 1 ) y = 7 m + 4 圆 C: ( x -1) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

(1) 求 证 : 直 线 l 与 圆 C 一 定 相 交 ; ( 2) 求 出 相 交 弦 长 的 最 小 值 及 相 应 的 m值 。

例: 已知圆的方程 x2 + y2 = 2 及一点
P( 2, 4 ), 求圆上的动点与点P

连线的斜率的最值?
y P ( 2, 4 )

o

x

题变:

例: 已知圆的方程 x2 + y2 = 2 及一点
P( 2, 4 ),求圆上的动点与点P

连线的斜率的最值?

若 则

将上面例题中的点P ( 2, 4 ) 改为P ( 0, 4 ) , 圆上的动点与点P连线的斜率的最值是否存在?

如存在,求出最值; 如不存在,请说明理由。

讨论问题 1:

已知圆的方程 x2 + y2 = 2 及一点 P ( 2, 4 ),

试试看:
根据以上条件,你还能设计出哪些与圆有 关的最值问题?

已知圆的方程 x2 + y2 = 2及一点 P ( 2, 4 ),

设计问题:
问题 1:求圆上的动点与点P的连线的斜率的 最值? (参见例题)

问题 2:求圆上的点到点P 的距离的最大
值和最小值。

讨论问题 2:
已知圆的方程 及一条直线 x2 + y2 = 4 x-y-5 = 0,

试试看
根据以上条件,你能设计出与圆有关的 最值问题吗?

已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x-y-5 = 0,

设计问题:
已知圆的方程 x2 + y2 = 4 及一条直线 x-y-5 = 0, 求圆上点到直线的距离的最大值和最小值。

练习:
1、从直线 y = 3 上任一点

向圆 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 1 作切线,
问:所作切线中切线长最小值是多少? 2、已知实数x、y 满足 x ? y ? 4 y ? 1 ? 0 求: y (1) 的取值范围;
2 2

x ? y ? 4y ?1 ? 0
2 2

y x

x

(2)y- 2 x的取值范围。

小 结:
最值问题常见的解法有两种:几何法 和 代数法。
?若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,

则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结
合的方法; ?若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值。 求函数的最值,常利用的方法有配方法、判别式

法、基本不等式及函数的单调性或利用三角函数的
有界性来求最值.

思考题:
过点M(3,0)作直线 l 与圆 x ? y ? 1 6
2 2

交于A, B 两点,求:
直线 l 的倾斜角? ,使△AOB面积最大,并求 此最大值(O为坐标原点)。


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