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2012陕西甘肃预赛试题


2012 年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
填空题:(每小题 8 分,共 80 分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1. 已知集合 M ? ?1,3,5,7,9? ,若非空集合 A 满足: A 中各元素都加 4 后构成 M 的一个子 集, A 中个元素都减去 4 后也构成 M 的一个子集,则 A ? 答案: ?5? 2. 已知两条直线 l1 : y ? 2 ,

l2 : y ? 4 ,设函数 y ? 3x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 A、B, 函数 y ? 5 x 的图像与 l1 、 l 2 分别交于点 C、D,则直线 AB 与 CD 的交点坐标是 答案: (0, 0) 3. 对于正整数 n ,若 n ? p ? q( p ? q, p 、 q ?N? ) ,当 p ? q 最小时,我们称 p ? q 为 n 的“最 佳分解”,并规定 f ( n ) ? .

q .例如,12 的分解有 12 ? 1,6 ? 2,4 ? 3,其中 4 ? 3 为 12 p

的“最佳分解”,则 f (12 ) ? ① f (4) ? 0;

3 .关于 f (n ) ,有以下四个判断: 4 1 3 4 ② f ( 7) ? ; ③ f ( 24 ) ? ; ④ f ( 2012 ) ? . 7 8 503
.

其中,所有正确判断的序号是 答案:②、④

4. 已知 ?ABC 为等腰直角三角形, ?A ? 90? ,且 AB ? a ? b , AC ? a ? b ,若

??? ?

? ?

??? ?

? ?

a ? ( c o? , s i n ) (? ?R) ,则 ?ABC 的面积等于 s ?
答案:1

.

y B D A

5. 在正四面体 ABCD 中,AO ? 平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段

AM ? AO 上一点,且满足 ?BMC ? 90? ,则 MO
答案:1
2

.

C O
图1

6. 如图1, ?ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 x ? 2 py( p ? 0) Rt 上,且斜边 AB//x 轴,则斜边上的高 CD ? 答案: 2 p .

x

7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖) ,且相应获奖的概 率是以 a 为首项、 为公比的等比数列, 2 相应获得的奖金是以 700 元为首项、 ? 140 为 以

公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 答案:500 8. 设 p 、 q 是两个不同的质数,则 p q?1 ? q p ?1 被 p ? q 除的余数是 答案:1

元.

.

9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足: f (1) ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 f ?( x ) ? 等式 f (log 2 x ) ? 答案: (0, 2)

1 .则不 2

log 2 x ? 1 的解集为 2

.

10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到 500m 以外的公路边埋栽, 在 500m 处栽一根,然后每间隔 50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为

m.
答案:14000

第二试
一、 (本题满分 20 分)
2 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2,AC ? 1 ,且 cos 2 A ? 2 sin

B?C ?1. 2

(1) 求角 A 的大小和 BC 边的长; (2) 若点 P 在 ?ABC 内运动(含边界) ,且点 P 到三边距离之和为 d,设点 P 到边 BC、

CA 的距离分别为 x, y ,试用 x, y 表示 d,并求 d 的取值范围.
答案: A ?

?
3

, BC ? 3

d ?[

3 , 3] 2
2 t

二、 (本题满分 20 分)
在平面直角坐标系中,以点 C (t , ) 为圆心的圆经过坐标原点 O ,且分别与 x 轴、 y 轴交于 点 A、B (不同于原点 O ). (1) 求证: ?AOB 的面积 S 为定值; (2) 设直线 l : y ? ?2 x ? 4 与圆 C 相交于不同的两点 M 、N , O 且 M 的标准方程.

?O N

, 求圆 C

答案: S ?

1 1 4 OA ? OB ? 2t ? ? 4 2 2 t

( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5
三、 (本题满分 20 分)
如图 2,锐角

A E O B F C

? ABC 内接于圆 O ,过圆心 O 且垂直于半径 OA 的直线分别交

边 AB、AC 于点 E、F 设圆 O 在 B、C 两点处的切线相交于点 P . 求证:直线 AP 平分线段 EF . 证明:如图 4,过点 P 作 EF 的平行线,分别交 AB, AC 延长线于点 M , N ,

P
图2

则 ?PMB ? ?AEO ? 90 ? ?OAE
?

因为 O 是

? ABC 的外心,所以
?OAE ? 1 (180? ? ?AOB) ? 90? ? ?ACB 2

A E O B M P N
图4

所以 ?PMB ? ?ACB 又 PB 为圆 O 的切线,所以 ?PBM ? ?ACB . 所以 ?PMB ? ?PBM ,于是 PM ? PB . 同理 PN ? PC 又 PB ? PC ,所以 PM ? PN ,即 AP 平分线段 MN . 因为 EF ? MN ,故直线 AP 平分线段 EF .

F C

四、 (本题满分 30 分)
已知数列 {an } 满足: a1 ?

1 ? , an ? 2an an?1 ? 3an?1 (n ?N ) . 2

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足: bn ? 1 ?
n

1 (n ? N? ) ,且对任意正整数 n(n ? 2) , an

不等式

? n ? log
k ?1

1

3

bk
*

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值. 24

若 存 在 al ? 0(l ?N ) , 则 由 an?1 ? 2an?1an ? 3an 知 , al ?1 ? 0 . 依 次 类 推 ,

al ?2 ? 0, al ?2 ? 0, al ?3 ? 0,?, a1 ? 0 ,这与 a1 ?

1 * 矛盾.故 an ? 0(n ?N ) 2

于是,由 an ? 2an an?1 ? 3an?1 ,得

1 3 1 1 ? ? 2 ,即 ? 1 ? 3( ? 1) . an?1 an an?1 an
所以 ?

?1 ? ? 1? 是首项为 3、公比为 3 的等比数列. ? an ?
1 1 ? 1=3n ,即 an ? n (n ?N* ) 3 ?1 an

所以

由(1)得 bn ? 1 ?
n

1 ? 3n .从而 log3 bk ? k (k ? 1, 2,?) . an

于是,不等式

? n ? log
k ?1

1

3

bk

?

m 等价于 24

1 1 1 m ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 n ? n 24 1 1 1 ? ?? ? 令 f ( n) ? 则 n ?1 n ? 2 n?n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 2
所以 f ( n) 单调递增. 所以 f ( n) min ? f (2) ? 于是,

1 1 7 ? ? . 3 4 12

7 m ? ,即 m ? 14 . 12 24 故整数 m 的最大值为 13.

五、 (本题满分 30 分)
对于任意的正整数 n,证明:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? . 2 3 n 3 ? 2 3 ? (?2) 6 3 ? (?2) 3 ? (?2)
证明:记 ak =
n 1 , Sn =? ak . 3k +( ? 2)k k =1
?

先证明:对任意 m ? N ,有 a2 m +a2 m +1 < 事实上, a2 m +a2 m +1 =

4
2 m +1

1 3 +22 m
2m

3 1 + 2 m +1 2 m +1 3 ?2

.

=

32 m +1 ? 22 m +1 +32 m +22 m (32 m +22 m )(32 m +1 ? 22 m +1 )
4 ? 32 m ? 22 m 34 m +1 +62 m ? 24 m +1
4 ? 32 m 2 34 m +1 +62 m [1 ? 2( ) 2 m ] 3

=

<

因为 1 ? 2(

2 2m 2 2 ) 单调递增,所以1 ? 2( ) 2 m ? 1 ? 2( ) 2 >0 . 3 3 3

故 a2 m +a2 m +1 <

4 ? 32 m 4 = 2 m +1 4 m +1 3 3
?

再证明:对任意 n ? N ,有 S n < 当 n =1 时, S1 =1< 当 n ? 2 时,

7 . 6

7 ,不等式成立. 6

(1) 若 n 为奇数,令 n=2m+1(m ?N? ) ,则

Sn =S2 m +1 =1+? (a2 k +a2 k +1 )
k =1

m

1 [1 ? ( ) m ] 9 <1+? 2 k +1 =1+4 1 k =1 3 1? 9 7 1 1 7 = ? ( )m < 6 6 9 6
m

4

(2) 若 n 为偶数,令 n=2m(m ?N? ) ,则

7 . 6 7 ? 综上所述,对任意 n ? N ,都有 S n < . 6 S n =S 2 m <S 2 m +1 <

二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 空间四点 A ,B ,C ,D两两间的距离均为1,点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运 动,则点 P 与点Q间的最小距离为____________;

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 ? , 则点 2.向量 OA ? ?1,0 ? , OB ? ?1,1? , O 为坐标原点,动点 P ? x, y ? 满足 ? ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2 ?

Q ? x ? y, y ? 构成的图形的面积 为
3. 设有非空集合 A ? ?1,2,3,4,5,6,7? 且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,这样的集合A的个数 是_____________; 4.设 f ? x ? ? ?

? x ? ? x? , x ? 0 ? , 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若 ? f ? x ? 1? , x ? 0 ?

f ? x ? ? kx ? k ? k ? 0? 有三个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是
5. 11位数的手机号码,前七位数字是1390931,若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都 至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个; 6.若 tan x1 ? tan x2 ??? tan x2012 ? 1, 则 sin x1 ? sin x2 ??? sin x2012 的最大值是 7.设函数 f : R ? R ,满足 f ? 0? ? 1且对任意 x, y ? R 都有 ;

f ? xy ?1? ? f ? x ? f ? y ? ? f ? y ? ? x ? 2 ,则 f ? x ? ?
2 2 2 8.实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为

; ;

二、 解答题( 本题满分 64 分, 第 9、 题每题14 分, 10 第11、 题每题18 分) 12 9.已知数列 ?an ? 满足
an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N * ? ,且 a2 ? 6 。 an ?1 ? an ? 1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
cn ?
an ? n ? N * ? , c 为非零常数,若数列 ?bn? 是等差数列,记 n?c

bn , S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,求 Sn. 2n

10.M是抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线上任意点,过M作抛物线的切线 l1 , l2 ,切点 分别为A、B(A在x轴上方)。 (1)证明:直线AB过定点; (2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。

11.设 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

?a

2

b c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ?? . ? b?c a ?c a ?b ? 2

12.某校数学兴趣小组由m 位同学组成,学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组
的一次活动中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提 出一个问题,并且每位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提 出了51个问题.试求m , n 的值.


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