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知识点043 一次函数的几何应用2011


一、选择题 1. (2011 江苏苏州,10,3 分)如图,巳知 A 点坐标为(5,0) ,直线 y=x+b(b>0)与 y 轴交于点 B,连接 AB,∠α=75°,则 b 的值为( )

A.3

5 3 B. 3

C.4

5 3 D. 4

考点:一次函数综合题. 专题:综

合题. 分析:根据三角函数求出点 B 的坐标,代入直线 y=x+b(b>0) ,即可求得 b 的值. 解答:解:由直线 y=x+b(b>0) ,可知∠1=45°,

∵∠α=75°, ∴∠ABO=180° -75° -45° =60° , ∴OB=OA÷tan∠ABO=

5 3 . 3 5 3 ∴点 B 的坐标为(0, ) , 3 5 3 5 3 ∴ =0+b,b= . 3 3 故选 B. 点评:本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识,注意直线 y=x+b(b>0)与 x 轴的夹角为 45°. 2. (2011 湖北随州,14,3)如图,把 Rt△ABC 放在直角坐标系内,其中∵CAB=90°,BC=5,点 A、B 的坐 标分别为(1,0)(4,0) △ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,线段 BC 扫过的面积 、 ,将 为( )

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A、4

B、8

C、16

D、 8 2

考点:一次函数综合题;一次函数图象上点的坐标特征;平行四边形的性质;平移的性质。 专题:计算题。 分析:根据题目提供的点的坐标求得点 C 的坐标,当向右平移时,点 C 的坐标不变,代入直线求得点平 C 的横 坐标,进而求得其平移 的距离,计算平行四边形的面积即可. 解答:解:∵点 A、B 的坐标分别为(1,0)(4,0) 、 , ∴AB=3,BC=5,∵∵CAB=90°,∴AC=4,∴点 C 的坐标为(1,4) , 当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,∴令 y=4,得到 4=2x-6,解得 x=5, ∴平移的距离为 5-1=4,∴线段 BC 扫过的面积为 4×4=16, 故选 C. 点评: 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用, 题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的 长是解题的关键. 3. (2011 杭州,7,3 分)一个矩形被直线分成面积为 x,y 的两部分,则 y 与 x 之间的函数关系只可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 考点:一次函数的应用;一次函数的图象. 分析: 分析:因为个矩形被直线分成面积为 x,y 的两部分,矩形的面积一定,y 随着 x 的增大而减小,但是 x+y=k(矩 形的面积是一定值),由此可以判定答案. 解答: 解答:解:因为 x+y=k(矩形的面积是一定值), 整理得 y=-x+k, 由此可知 y 是 x 的一次函数,,图象经过二、四象限,x、y 都不能为 0,且 x>0,y>0,图象位于第一象限, 所以只有 A 符合要求. 故选 A. 点评: 点评:此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质,解答时要熟练运用. 4. (2011 江苏南京,6,2 分)如图,在平面直角坐标系中,∵P 的圆心是(2,a) (a>2) ,半径为 2,函数 y=x 的图象被∵P 截得的弦 AB 的长为 2 3 ,则 a 的值是( )

A、 2 2 C、 2 3 2

B、 2 + 2 D、 2 + 3

考点: 考点:一次函数综合题。 专题: 专题:综合题。 分析: 分析:过 P 点作 PE⊥AB 于 E,过 P 点作 PC⊥x 轴于 C,交 AB 于 D,连接 PO,PA.分别求出 PD、DC,相加 即可.
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解答: 解答:解:过 P 点作 PE⊥AB 于 E,过 P 点作 PC⊥x 轴于 C,交 AB 于 D,连接 PO,PA. ∵AE=

1 AB= 3 ,PA=2, 2

2 2 PE= 2 ? ( 3) =1.

PD= 2 . ∵∵P 的圆心是(2,a) , ∴DC=2, ∴a=PD+DC=2+ 2 . 故选 B.

点评: 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用, 题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的 点评: 长是解题的关键.注意函数 y=x 与 x 轴的夹角是 45°. 5. 2011 湖北潜江,9,3 分)如图,已知直线 l:y=

3 x,过点 A(0,1)作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 3

作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1; 过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1, 过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2; …; 按此作法继续下去,则点 A4 的坐标为( )

A. (0,64)

B. (0,128)

C. (0,256)

D. (0,512)

考点: 考点:一次函数综合题。 专题: 专题:规律型。 分析: 分析:本题需先求出 OA1 和 OA2 的长,再根据题意得出 OAn=2n—1,求出 OA6 的长等于 26—1,即可求出 A6 的坐 标. 解答: 解答:解:∵点 A 的坐标是(1,0) ∴OA=1 ∵点 B 在直线 y=

3 x上 3
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∴OB=2 ∴OA1=4 ∴OA2=16 得出 OA3=64 ∴OA4=256 ∴A6 的坐标是(0,256) . 故选 C. . 点评: 本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度, 以及如何根据线段的长度求出点的 点评: 坐标,解题时要注意相关知识的综合应用. , 6. (2011 黑龙江牡丹江,17,3 分)在平面直角坐标系中,点 0 为原点,直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(﹣2,0) 交 y 轴于点 B.若△AOB 的面积为 8,则 k 的值为( ) A、1 B、2 C、﹣2 或 4 D、4 或﹣4 考点: 考点:一次函数图象上点的坐标特征。 分析: 分析:首先根据题意画出图形,注意要分情况讨论,①当 B 在 y 的正半轴上时②当 B 在 y 的负半轴上时, 分别求出 B 点坐标,然后再利用待定系数法求出一次函数解析式,得到 k 的值.

解答: (1)当 B 在 y 的正半轴上时: 解答:解: ∵△AOB 的面积为 8, ∴ ×OA×OB=8, ∵A(﹣2,0) , ∴OA=2, ∴OB=8, ∴B(0,8) ∵直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(﹣2,0) ,交 y 轴于点 B(0,8) .

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∴?

?? 2k + b = 0, ?b = 8 ?k = 4, ?b = 8

解得: ?

(2)当 B 在 y 的负半轴上时: ∵△AOB 的面积为 8, ∴ ×OA×OB=8, ∵A(﹣2,0) , ∴OA=2, ∴OB=8, ∴B(0,﹣8) ∵直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(﹣2,0) ,交 y 轴于点 B(0,8) . ∴?

?0 = ?2k + b, ?b = ?8 ?k = ?4, . ?b = ?8

解得: ?

故选 D. 点评: 点评:此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,关键是要根据题意分两种情况讨论,然后再利用待定 系数法求出答案. 7.(2011 湖北黄石,10,3 分)已知梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分別为 A(﹣1,0) ,B(5,0) ,C(2,2) ,D (0,2) ,直线 y=kx+2 将梯形分成面积相等的两部分,则 k 的值为( ) 2 2 4 2 A. ? B. ? C. ? D. ? 3 9 7 7 考点: 考点:一次函数综合题。 专题: 专题:计算题。 分析: 分析:首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积,利用直线将梯形分成相等的两部分,求得直线与梯形的边 围成的三角形的面积,进而求得其解析式即可. 解答: , , , , 解答:解:∵梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分別为 A(﹣1,0) B(5,0) C(2,2) D(0,2) (6 + 2) × 2 ∴梯形的面积为: =8, 2 ∵直线 y=kx+2 将梯形分成面积相等的两部分, ∴直线 y=kx+2 与 AD、AB 围成的三角形的面积为 4, 设直线与 x 轴交与点(x,0) , 1 ∴ ( x + 1) × 2 = 4 , 2 ∴x=3, ∴直线直线 y=kx+2 与 x 轴的交点为(3,0) ∴0=3k+2
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解得 k = ?

2 3

故选 A. 点评: 点评:本题考查了一次函数的应用,求出当直线平方梯形的面积时与 x 轴的交点坐标是解决本题的突破口.

3 x,过点 A(0,1)作 y 轴的垂线 3 交直线 l 于点 B,过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l
8 (2011 湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田,9,3 分)如图,已知直线 l:y= 的垂线交 y 轴于点 A2;…;按此作法继续下去,则点 A4 的坐标为 A. (0,64) y A2 l A1 A O
(第 9 题图)

B. (0,128)

C. (0,256)
增长率(%) 35 32.4 ? 30 25 20 15 10 5 19.5
? ?

D. (0,512)

21.3 ? 11.7

B1 B x

2007 2008 2009 2010 (第 10 题图)

年度

考点: 考点:一次函数综合题. 分析: 分析:本题需先求出 OA1 和 OA2 的长,再根据题意得出 OAn=2 ,求出 OA6 的长等于 2 ,即可求出 A6 的坐标. 答案: 答案:解:∵点 A 的坐标是(1,0) ∴OA=1 ∵点 B 在直线 y= ∴OB=2 ∴OA1=4 ∴OA2=16 得出 OA3=64 ∴OA4=256 ∴A6 的坐标是(0,256) . 故选 C. 点评: 本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度, 以及如何根据线段的长度求出点 点评: 的坐标,解题时要注意相关知识的综合应用. 9. (2011 山东日照,9,4 分)在平面直角坐标系中,已知直线 y=﹣ x上
n-1 6-1

3 x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点, 4


点 C(0,n)是 y 轴上一点.把坐标平面沿直线 AC 折叠,使点 B 刚好落在 x 轴上,则点 C 的坐标是( A. (0,

3 ) 4

B. (0,

4 ) 3

C. (0,3)

D. (0,4)

考点:一次函数综合题;翻折变换(折叠问题) 。 专题:计算题。 分析:过 C 作 CD⊥AB 于 D,先求出 A,B 的坐标,分别为(4,0)(0,3) , ,得到 AB 的长,再根据折叠的性 质得到 AC 平分∵OAB,得到 CD=CO=n,DA=OA=4,则 DB=5﹣4=1,BC=3﹣n,
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在 RtBCD 中,利用勾股定理得到 n 的方程,解方程求出 n 即可. 解答:解:过 C 作 CD⊥AB 于 D,如图,

对于直线 y=﹣

3 x+3,令 x=0,得 y=3;令 y=0,x=4, 4

∴A(4,0) ,B(0,3) ,即 OA=4,OB=3, ∴AB=5, 又∵坐标平面沿直线 AC 折叠,使点 B 刚好落在 x 轴上, ∴AC 平分∵OAB, ∴CD=CO=n,则 BC=3﹣n, ∴DA=OA=4, ∴DB=5﹣4=1, 2 2 2 在 RtBCD 中,DC +BD =BC , ∴n +1 =(3﹣n) ,解得 n= ∴点 C 的坐标为(0,
2 2 2

4 , 3

4 ) . 3

故选 B. 点评:本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法:分别令 x=0 或 y=0,求对应的 y 或 x 的值;也考查了折叠 的性质和勾股定理. 10. (2011 福建厦门,17,4 分)如图,一系列“黑色梯形”是由 x 轴、直线 y=x 和过 x 轴上的正奇数 1、3、5、7、 9、 …所对应的点且与 y 轴平行的直线围成的. 从左到右, 将其面积依次记为 S1、 2、 3、 Sn、 则 S1= S S …、 …. , Sn= .

考点: 考点:一次函数综合题。 专题: 专题:规律型。 分析: 分析:由图得,S1=

( + 3) 2 1 × (5 + 7) 2 × (9 + 11) 2 × =4,S2= =12,S3= =20,…,Sn=4(2n﹣1) . 2 2 2
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解答: 解答:解:由图可得,

( + 3) 2 1 × =4=4(2×1﹣1) , 2 (5 + 7) 2 × =12=4(2×2﹣1) , S2= 2 (9 + 11) 2 × S3= =20=4(2×3﹣1) , 2
S1= …, ∴Sn=4(2n﹣1) . 故答案为:4;4(2n﹣1) . 点评: 点评:本题主要考查了一次函数综合题目,根据 S1、S2、S3,找出规律,是解答本题的关键. 二、填空题 1. (2011?西宁)如图,直线 y=kx+b 经过 A(﹣1,1)和 B(﹣ ,0)两点,则不等式 0<kx+b<﹣x 的解集





<x<﹣1 .

考点:一次函数与一元一次不等式。 分析:由于直线 y=kx+b 经过 A(﹣1,1)和 B(﹣ ,0)两点,那么把 A、B 两点的坐标代入 y=kx+b,用待

定系数法求出 k、b 的值,然后解不等式组 0<kx+b≤﹣x,即可求出解集. 解答:解:∵直线 y=kx+b 经过 A(﹣1,1)和 B(﹣ ,0)两点,





解得:



∴直线解析式为:y=

x+



解不等式组 0<

x+

<﹣x,

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得:﹣

<x<﹣1.

故答案为:﹣

<x<﹣1.

点评:此题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式及一元一次不等式组的解法.本题中正确地求出 k 与 b 的值是解题的关键. 2. (2011?四川凉山,25)在直角坐标系中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn-1 按如图所示的方式放置,其 中点 A1、A2、A3、…、An 均在一次函数 y=kx+b 的图象上,点 C1、C2、C3、…、Cn 均在 x 轴上.若点 B1 的坐标为(1, 1),点 B2 的坐标为(3,2),则点 An 的坐标为 (2 -1,2 ).
n-1 n-1

【考点】一次函数综合题;相似三角形的判定与性质 【专题】规律型. 【分析】首先求得直线的解析式,分别求得 A1,A2,A3…的坐标,可以得到一定的规律,据此即可求解. 【解答】解:A1 的坐标是(0,1),A2 的坐标是:(1,2), 根据题意得: ?

?b = 1 ?b = 1 ,解得: ? .则直线的解析式是:y=x+1. ?k + b = 2 ?k = 1

∵A1B1=1,点 B2 的坐标为(3,2),∴A1 的纵坐标是 1,A2 的纵坐标是 2. 在直线 y=x+1 中,令 x=3,则纵坐标是:3+1=4=2 ;则 A4 的横坐标是:1+2+4=7,则 A4 的纵坐标是:7+1=8=2 ;据 此可以得到 An 的纵坐标是:2 ,横坐标是:2 -1.故点 An 的坐标为 (2 -1,2 ).故答案是: (2 -1,2 ). 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式,正确得到点的坐标的规律是解题的关键. 3. (2011 四川攀枝花,16,4 分)如图,已知直线 l1:y=
2 8 x+ 与直线 l2:y=﹣2x+16 相交于点 C,直线 l1、l2 3 3
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 2 3

分别交 x 轴于 A、B 两点,矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在 l1、l2 上,顶点 F、G 都在 x 轴上,且点 G 与 B 点重合,那么 S 矩形 DEFG:S△ABC= .

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考点:一次函数综合题。 考点 分析:把 y=0 代入 l1 解析式求出 x 的值便可求出点 A 的坐标.令 x=0 代入 l2 的解析式求出点 B 的坐标.然后可 分析 求出 AB 的长.联立方程组可求出交点 C 的坐标,继而求出三角形 ABC 的面积,再利用 xD=xB=8 易求 D 点坐标.又已知 yE=yD=8 可求出 E 点坐标.故可求出 DE,EF 的长,即可得出矩形面积. 解答:解:由 解答
2 8 x+ =0,得 x=﹣4.∴A 点坐标为(﹣4,0) ,由﹣2x+16=0,得 x=8.∴B 点坐标为(8,0) , 3 3 2 8 ? ?x = 5 ? ∴AB=8 ﹣ ( ﹣ 4 ) =12 . 由 ? y = 3 x + 3 , 解 得 ? , ∴C 点 的 坐 标 为 ( 5 , 6 ), ?y = 6 ? y = ?2 x + 16 ?

∴S△ABC=

1 1 2 8 AB?C= ×12×6=36.∵点 D 在 l1 上且 xD=xB=8,∴yD= ×8+ =8,∴D 点坐标为(8,8) , 2 2 3 3

又∵点 E 在 l2 上且 yE=yD=8,∴﹣2xE+16=8,∴xE=4,∴E 点坐标为(4,8) ∴DE=8﹣4=4,EF=8.∴ , 矩形面积为:4×8=32,∴S 矩形 DEFG:S△ABC=32:36=8:9.故答案为:8:9. 点评:此题主要考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识,根据题意分别求出 C,D 两点的 点评 坐标是解决问题的关键. 三、解答题 1. (2011 盐城,28,12 分)如图,已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y=

4 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于 3

点 B. (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2)过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作直线 l∥y 轴.动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度,沿 O ﹣C﹣A 的路线向点 A 运动; 同时直线 l 从点 B 出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线 l 交 x 轴于点 R, 交线段 BA 或线段 AO 于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动.在运动过程中,设动点 P 运动的 时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8? ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由.

考点:一次函数综合题. 分析: (1)根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可,再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交 点坐标;
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(2)①利用 S 梯形 ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,表示出各部分的边长,整理出一元二次方程,求出即可; ②根据一次函数与坐标轴的交点得出,∵OBN=∵ONB=45°,进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角 三角形的判定求出即可. 解答:解: (1)∵一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y = 0=x+7,∴x=7,∴B 点坐标为: (7,0) , ∵y=-x+7=

4 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B.∴y=-x+7, 3

4 x ,解得 x=3,∴y=4,∴A 点坐标为: (3,4) ; 3

(2)①当 0<t<4 时,PO=t,PC=4-t,BR=t,OR=7-t, ∵当以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8,∴S 梯形 ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8, ∴

1 1 1 1 (AC+BO)×CO- AC×CP- PO×RO- AM×BR=8, 2 2 2 2

∴(AC+BO)×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16, ∴(3+7)×4-3×(4-t)-t×(7-t)-4t=16,∴t2-8t+12=0. 解得 t1=2,t2=6(舍去). 当 4≤t≤7 时,S△APR=

1 AP×OC=2(7-t)=8,无解; 2

∴当 t=2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8; ②存在.延长 CA 到直线 l 于一点 D,当 l 与 AB 相交于 Q,∵一次函数 y=-x+7 与 x 轴交与(7,0)点,与 y 轴交于(0,7)点,∴NO=OB,∴∵OBN=∵ONB=45°. ∵直线 l∥y 轴,∴RQ=RB,CD⊥L. 当 0<t≤4 时,RB=OP=QR=t,DQ=AD=(4-t) ,AC=3,PC=4-t, 2 2 2 2 2 ∵以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形,则 AP=AQ,∴AC +PC =AP =AQ =2AD , 2 2 ∴9+(4-t) =2(4-t) ,解得:t1=1,t2=7(舍去). 当 4<t≤7 时,若 PQ=AQ,则 t-4+2(t-4)=3,解得 t=5;

5 41 (t-4)=7-t,解得 t = ; 3 8 PA AO 5 = = , 若 PQ=PA,则 1 AC 3 AQ 2 5 5 226 即 3(7 ? t ) = × (t ? 4) ,解得 t = ; 2 3 43
若 AQ=AP,则 ∴当 t=1、5、

41 226 、 秒时,存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 8 43

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点评: 此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识, 此题综 合性较强,利用函数图象表示出各部分长度,再利用勾股定理求出是解决问题的关键. 2. (2011 福建省漳州市,25,13 分)如图,直线 y=﹣2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,将△OAB 绕点 O 逆时针方向旋转 90°后得到△OCD. (1)填空:点 C 的坐标是( 0 , 1 ) ,点 D 的坐标是( ﹣2 , 0 ) ; (2)设直线 CD 与 AB 交于点 M,求线段 BM 的长; (3)在 y 轴上是否存在点 P,使得△BMP 是等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由.

考点:一次函数综合题;等腰三角形的性质;勾股定理;坐标与图形变化-旋转;相似三角形的判定与性质。 考点 专题:计算题。 专题 分析: 分析 (1)把 x=0,y=0 分别代入解析式求出 A、B 的坐标,即可得出 C、D 的坐标; (2)根据勾股定理求出 CD,证△BMC∽△DOC,得到比例式即可求出答案; (3)有两种情况:①以 BM 为腰时,满足 BP=BM 的有两个;过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E,证△BME∽△BCM, 求出 BE、PE,进一步求出 OP 即可;②以 BM 为底时,作 BM 的垂直平分线,分别交 y 轴、BM 于点 P、F,根 据等腰三角形的性质求出即可. 解答: 解答 (1)解:y=﹣2x+2, 当 x=0 时,y=2, 当 y=0 时,x=1 ,∴A(1,0) ,B(0,2) , ∵将△OAB 绕点 O 逆时针方向旋转 90°后得到△OCD, ∴OC=0A=1,OD=OB=2, ∴点 C 的坐标是(0,1) ,点 D 的坐标是(﹣2,0) , 故答案为:0,1,﹣2,0.

(2)解:由(1)可知 CD= OD + OC = 5 ,BC=1,
2 2

又∵ABO=∵ADC,∵BCM=∵DCO ∴△BMC∽△DOC, ∴

BM BC = , DO DC



BM 1 = , 2 5
2 5, 5 2 5. 5

∴BM=

答:线段 BM 的长是

(3)解:存在, 分两种情况讨论:
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①以 BM 为腰时, ∵BM=

2 5 ,又点 P 在 y 轴上,且 BP=BM, 5 2 2 5 ) 2(0,2﹣ 、P 5) , 5 5

此时满足条件的点 P 有两个,它们是 P1(0,2+ 过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E, ∵∵BMC=90°,则△BME∽△BCM, ∴

BE BM = , BM BC

∴BE=

BM 2 4 = , BC 5
4 , 5

又∵BM=PM, ∴PE=BE= ∴BP=

8 , 5 8 2 ∴OP=2﹣ = , 5 5 2 ) , 5

此时满足条件的点 P 有一个,它是 P3(0,

②以 BM 为底时,作 BM 的垂直平分线,分别交 y 轴、BM 于点 P、F, 由(2)得∵BMC=90°, ∴PF∥CM, ∵F 是 BM 的中点,

1 1 BC= , 2 2 3 ∴OP= , 2
∴BP= 此时满足条件的点 P 有一个,它是 P4(0, 综上所述,符合条件的点 P 有四个, 它们是:P1(0,2+

3 ) , 2

2 2 2 3 5 ) 2(0,2﹣ 、P 5 ) 3(0, ) 4(0, ) 、P 、P . 5 5 5 2 2 2 2 3 答:存在,所有满足条件的点 P 的坐标是 P1(0,2+ 5 ) 2(0,2﹣ 、P 5 ) 3(0, ) 4(0, ) 、P 、P . 5 5 5 2

点评:本题主要考查对一次函数的综合题,勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,坐标与图 点评 形变换﹣旋转等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
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3. (2011 黑龙江省黑河, 28,12 分)已知直线 y= 3 x+4 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,∠ABC=60°, BC 与 x 轴交于点 C. (1)试确定直线 BC 的解析式. (2)若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动(不与 A、C 重合) ,同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动 (不与 C、 重合) 动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度, A , 动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度. 设 △APQ 的面积为 S,P 点的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围. (3)在(2)的条件下,当△APQ 的面积最大时,y 轴上有一点 M,平面内是否存在一点 N,使以 A、Q、 M、N 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】一次函数综合题。 【分析】 (1)由已知得 A 点坐标,通过 OA,OB 长度关系,求得角 BAO 为 60 度,即能求得点 C 坐标,设 直线 BC 代入 BC 两点即求得. (2)当 P 点在 AO 之间运动时,作 QH⊥x 轴.再求得 QH,从而求得三角形 APQ 的面积. (3)由(2)所求可知,是存在的,写出点的坐标. 【解答】解: (1)由已知得 A 点坐标(﹣4﹐0) 点坐标(0﹐4 3 ﹚, ,B ∵OA=4OB=4 3 , ∴∠BAO=60°, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∵OC=OA=4, ∴C 点坐标﹙4,0﹚, 设直线 BC 解析式为 y=kx﹢b,

?b = 4 2 ? , ? ?4k + b = 0 ?
∴?

?k = ? 3 ? ?b = 4 3 ?



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∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ 3 x + 4 3 ; 分) (2 ﹙2﹚当 P 点在 AO 之间运动时,作 QH⊥x 轴. ∵

QH CQ = , OB CB QH 2t = , 4 3 8



∴QH= 3 t

∴S△APQ=

1 1 3 AP?QH= t? 3 t= t2﹙0<t≤4﹚, 分) (2 2 2 2

同理可得 S△APQ= (3)存在,

1 3 2 t?﹙8 3 - 3 t﹚=﹣ t + 4 3t ﹙4≤t<8﹚; 分) (2 2 2

(4,0)(﹣4,8) , (﹣4,﹣8) (﹣4,

8 3 )(4 分) . 3

【点评】本题考查了一次函数的运用,考查了一次函数与直线交点坐标,从而求得 AB 的长度,由△ABC 是等边三角形,从而求得.

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