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1995年全国高中数学联赛


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1995 年全国高中数学联赛

第 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列 {an} 满足 3a8 (A) S10 (B) S11





? 5a13 且 a1 ? 0 ,Sn 为其前项之和,

则 Sn 中最大的是(
(C) S 20 (D) S 21

)

2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1, Z2 ,?, Z20 , 则复数 Z11995, 21995, Z
1995 ?, Z20 所对应的不同的点的个数是(

) (D)20

(A)4

(B)5

(C)10

3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果某人不亚于其 他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 k 的取值范围是 )

4. 已知方程 | x ? 2n | ? ( )

k x (n ? N ) 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则

(A) k

?0

0?k ?
(B)

1 2n ? 1

1 ?k? (C) 2n ? 1
5.

1 2n ? 1
(D)以上都不是

logsin 1 cos1, logsin 1 tg1, logcos 1 sin1, logcos 1 tg1 的大小关系是(
(A) logsin 1 cos1 ? (B) logcos 1 sin1 ?

)

logcos1 sin1 ? logsin 1 tg1 ? logcos 1 tg1 logcos1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logsin 1 tg1

1 (C) logsin 1 tg ?
(D)

logcos1 tg1 ? logcos 1 sin1 ? logsin 1 cos1

logcos 1 tg1 ? logsin 1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logcos1 sin1

6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延长线分

别交于 Q,R,则和式 (A)有最大值而无最小值

1 1 1 ? ? PQ PR PS
(B 有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

(C)既有最大值又有最小值,两者不等 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

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1. 设 ? , ? 为一对共轭复数,若 |?

? ? | ? 2 3 ,且

? ?2

为实数,则 |? | ? _____.

2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg
2

x ? [lg x ] ? 2 ? 0 的实根个数是______.

4.

? y ? 3x ? x ? y? 3 ?x ? y ? 100 直角坐标平面上,满足不等式组 ? 的整点个数是______.
不同的染色方法的总数是______.

5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么 6. 设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时, 15x 最多是______.

? A ,则 A 中元素的个数

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一、(25 分) 给定曲线族 2(2 sin ? 在直线

? cos? ? 3) x2 ? (8 sin ? ? cos? ? 1) y ? 0 ,? 为参数,求该曲线

y ? 2x 上所截得的弦长的最大值.

二、(25 分) 求一切实数 然数.

p ,使得三次方程 5x3 ? 5( p ? 1) x2 ? (71p ? 1) x ? 1 ? 66 p 的三个根均为自

三、(35 分) 如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F,G,H,在弧 EF 与 GH 上分别作圆 O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q,求证:

MQ ?/ NP .
M B N F E

A H Q D G C P

四、(35 分) 将平面上的每个点都以红,蓝两色之一着色。证明:存在这样两个相似的三角形,它们的相似 比为 1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.


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