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2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第四篇 第7讲 解三角形的实际应用举例


第7讲

解三角形的实际应用举例

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013· 沧州模拟)有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角 改为 10° ,则斜坡长为 A.1 C.2cos 10° 解析 B.2sin 10° D.cos 20° ( ).

如图,∠ABC=20° ,AB=1,∠ADC=10° ,∴

∠ABD=160° . 在△ABD 中,由正弦定理得 AD AB =sin 10° , sin 160° sin 160° sin 20° ∴AD=AB· =2cos 10° . sin 10°=sin 10° 答案 C 2.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离 出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为 A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 ( ).

解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3, AC = 3 ,∠ ABC = 30° ,由余弦定理得 ( 3)2 = x2 +32 - 2x· 3· cos 30° , 整理得 x2-3 3x+6=0, 解得 x= 3或 2 3. 答案 C 3. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是 南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距 离是 ( ).

A.10 2海里 C.20 3海里

B.10 3海里 D.20 2海里

解析 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海 里,∠CAB=30° ,∠ACB=45° ,根据正弦定理得 BC AB = ,解得 BC=10 2(海里). sin 30° sin 45° 答案 A 4.(2012· 吉林部分重点中学质量检测 )如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m, BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 A.30° B.45° C.60° ( D.75° ).

解析 依题意可得 AD=20 10(m),AC=30 5(m),又 CD=50(m),所以在△ ACD 中 , 由 余 弦 定 理 得 AC2+AD2-CD2 cos ∠ CAD = = 2AC· AD

?30 5?2+?20 10?2-502 6 000 2 = = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD= 2×30 5×20 10 6 000 2 45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2011· 上海)在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠ CBA=60° ,则 A,C 两点之间的距离为________千米. 解析 得 由已知条件∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,得∠ACB=45° .结合正弦定理

AB AC 2 AC = ,即sin 45° =sin 60° ,解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA 6

答案

6.(2013· 潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在 它的北偏东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处, 且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

解析 设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2 n mile, ∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理得:sin 30° =sin 45° ,∴v=32 n mile/h. 答案 32 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部 门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志,小 李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经 测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠ D.求 AB 的长度. 解 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = , 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = . 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D,得 cos∠C=cos∠D, 解得 AB=7,所以 AB 长度为 7 米. 8.(13 分)如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、 相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值. 解 如题图所示,在△ ABC 中, AB= 40

海里,AC=20 海里,∠BAC=120° ,由余 弦定理知, BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos 120° =2 800,故 BC=20 7(海里). 由正弦定理得 AB BC = , sin∠ACB sin∠BAC

AB 21 所以 sin∠ACB=BCsin∠BAC= 7 . 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= 7 . 易知 θ=∠ACB+30° ,故 cos θ=cos(∠ACB+30° ) =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° 21 = 14 .

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高 度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北 偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的 高度是 A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m ( ).

解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h, AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° , 即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案 A 2.(2013· 榆林模拟)如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中 一朵云的仰角为 30° ,测得湖中之影的俯角为 45° ,则 云距湖面的高度为(精确到 0.1 m) A.2.7 m C.37.3 m 解析 在△ACE 中, CM-10 CE CM-10 tan 30° =AE = AE .∴AE= tan 30°(m). DE CM+10 在△AED 中,tan 45° = AE = AE , CM+10 CM-10 CM+10 ∴AE= tan 45°(m),∴ tan 30°= tan 45°, B.17.3 m D.373 m ( ).

∴CM=

10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1

答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.在 2012 年 7 月 12 日伦敦奥运会上举行升旗仪 式.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座 位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该 列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆 顶端 N 的仰角分别为 60° 和 30° ,且座位 A,B 的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米. AN 10 6 解析 由题可知∠BAN=105° ,∠BNA=30° ,由正弦定理得sin 45° =sin 30° , 解得 AN=20 3(米),在 Rt△AMN 中,MN=20 3 sin 60° =30(米).故旗杆的 高度为 30 米. 答案 30 4.(2013· 合肥一检)如图,一船在海上自西向东航行, 在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角, 已知该岛周围 n 海里范围内(包括边界)有暗礁,现 该船继续东行, 当 α 与 β 满足条件________时,该 船没有触礁危险. 解析 由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得 BM m = ,解 sin?90° -α? sin?α-β?

得 BM=

mcos α mcos αcos β , 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90° -β)= sin?α-β? sin?α-β?

>n,所以当 α 与 β 的关系满足 mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危 险. 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答题(共 25 分) 5. (12 分)(2012· 肇庆二模)如图, 某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A, B 之间的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找

到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到 一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量 得到数据:∠ACD=90° ,∠ADC=60° ,∠ACB =15° ,∠BCE=105° ,∠CEB=45° ,DC=CE= 1 百米. (1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离. 解 1 (1) 在△ CDE 中,∠ DCE = 360° - 90° - 15° - 105° = 150° , S △ CDE = 2

1 1 1 1 DC· CE· sin 150° =2×sin 30° =2×2=4(平方百米). (2)连接 AB,依题意知,在 Rt△ACD 中, AC=DC· tan∠ADC=1×tan 60° = 3(百米), 在△BCE 中,∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB=180° -105° -45° =30° , 由正弦定理 BC= BC CE = ,得 sin∠CEB sin∠CBE

CE 1 · sin∠CEB=sin 30° ×sin 45° = 2(百米). sin∠CBE

∵cos 15° =cos(60° -45° )=cos 60° cos 45° +sin 60° sin 45° 6+ 2 1 2 3 2 =2× 2 + 2 × 2 = 4 , 在△ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB, 可得 AB2=( 3)2+( 2)2-2 3× 2× ∴AB= 2- 3百米. 6.(13 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小 艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正 以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时,试设计航行方案(即确定航 行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 6+ 2 4 =2- 3,

解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400= ? 1? 900?t-3?2+300. ? ?

1 故当 t=3时,Smin=10 3(海里), 10 3 此时 v= 1 =30 3(海里/时). 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小 艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+ 900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), 600 400 故 v2=900- t + t2 ,∵0<v≤30, 600 400 2 3 2 ∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0,解得 t≥3. 2 又 t=3时,v=30 海里/时. 2 故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于3. 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相 遇. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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