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均值与方差大题训练


均值方差大题
1.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元。设 1 件产品的利润(单位: 万元)为 ? 。 (1)求 ? 的分布列; (7 分) (2)求 1 件产品的平均利润(即 ?

的数学期望); (7 分)(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?(6 分) (1) ? 的可能取值有6,2,1,—2;

126 50 ? 0.63, P ? ? ? 2 ? ? ? 0.25 200 200 20 4 P ? ? ? 1? ? ? 0.1, P ? ? ? ?2 ? ? ? 0.02 200 200 P ? ? ? 6? ?
故 ? 的分布列为

?
P

1 0.63

1 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? ? ?2 ? ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时1件产品的平均利润

E ? x ? ? 6 ? 0.7 ? 2 ? ?1 ? 0.7 ? 0.01 ? x ? ? 1? x ? ? ?2 ? ? 0.01 ? 4.76 ? x ? 0 ? x ? 0.29 ? 4.76-x>=4.73

2.(2009 北京卷 )某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学 生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为

? 1? ? 1? 1 4 P ? A ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? . ? 3 ? ? 3 ? 3 27
(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B,这名学生在上学路上遇 到 k 次红灯的事件 Bk ? k ? 0,1, 2 ? .

? 2 ? 16 则由题意,得 P ? B0 ? ? ? ? ? , ? 3 ? 81

4

24 ? 1 ? ? 2 ? 32 2?1? ? 2? P ? B1 ? ? C ? ? ? ? ? , P ? B2 ? ? C4 . ? ? ? ? ? 81 ? 3 ? ? 3 ? 81 ?3? ? 3?
1 4

1

3

2

2

由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ,

8 . 9 3、某供应商送来 15 个音响,其中有 3 个是次品. 工人安装音响时,从中任取一个,当取到 合格品才能安装,若取出的是次品,则不再放回. (Ⅰ)求最多取 2 次就能安装的概率; (Ⅱ)求在取得合格品前已取出的次品数?的分布列和期望. 解: .设事件 A 为安装时,取到合格品,则 15 ? 3 4 当第一次取到合格时, P1 ( A) ? ? ; 15 5
∴事件 B 的概率为 P ? B ? ? P ? B0 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ?

当第二次取到合格时, P2 ( A) ?

1 1 C3 C12 6 ; ? 15 ? 14 35

∴最多 2 次取到合格品的概率为 P ?

(Ⅱ)依题意?=0,1,2,3 4 6 P(? ? 0) ? , P(? ? 1) ? 5 35 3 ? 2 ? 12 12 3 ? 2 ? 1 ? 12 1 , P(? ? 3) ? (8 分) P(? ? 2) ? ? ? 15 ? 14 ? 13 455 15 ? 14 ? 13 ? 12 455 ∴?的分布列为: (10 分) 0 1 2 3 ? 4 6 12 1 P 5 35 455 455 4 6 12 1 3 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 5 35 455 455 13
4.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一 定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品 的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件,都进行检验, 只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分布列及期 望 E? ,并求该商家拒收这批产品的概率.

4 6 34 . ? ? 5 35 35

4. 解: (Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
用对立事件 A 来算,有 P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? 0.2 ? 0.9984
4

? ?

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2

P ?? ? 0 ? ?

2 1 1 C17 C3 C17 C32 136 51 3 ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? , , ? ? ? ? 2 2 2 C20 190 C20 190 C20 190

?
P

0
136 190

1
51 190

2
3 190

E? ? 0 ?

136 51 3 3 ? 1? ? 2? ? 190 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率

136 27 ? 190 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 95 P ? 1? P ? B? ? 1?
5、 (本小题满分 13 分) 某公司“咨询热线”电话共有 10 路外线,经长期统计发现,在 8 点至 10 点这段时间内, 外线电话同 时打入情况如下表所示:
英才苑

电话同时打 入数ξ 概率 P

0 0.13

1 0.35

2 0.27

3 0.14

4 0.08

5 0.02

6 0.01

7 0

8 0

9 0

10 0

(1)若这段时间内,公司只安排了 2 位接线员(一个接线员一次只能接一个电话). ①求至少一路电话不能一次接通的概率; ②在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间内至少一路电话不能一次接通,那么公司的形 象将受到损害,现用至少一路电话一次不能接通的概率表示公司形象的“损害度” ,求这种情况下 公司形象的“损害度” ; (2)求一周五个工作日的这一时间内,同时打入的电话数ξ 的期望值. 解: (1)①只安排 2 位接线员,则 2 路及 2 路以下电话同时打入均能接通,其概率

p1 ? 0.13 ? 0.35 ? 0.27 ?
故所求概率 p ? 1 ?

3 4

3 1 ? ;????????4 分 4 4 3 2 45 3 1 3 ②“损害度” p ? C5 ( ) ? ( ) ? . ??????8 分 4 4 512
(2)∵在一天的这一时间内同时电话打入数ξ 的数学期望为 0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.85+5×0.02+6×0.01=1.79 ∴一周五个工作日的这一时间电话打入数ξ 的数学期望等于 5×1.79=8.95.??13 分

6、 (本小题满分 14 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球. (Ⅰ)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差. (方差: D? ?

? p ? (?
i ?1 i

n

i

? E? )2 )

(Ⅰ)解法一: “有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白” , 记“有放回摸球两次,两球恰好颜色不同”为事件 A ,?????????2 分 ∵“两球恰好颜色不同”共 2 ? 4+4 ? 2=16 种可能,??????????5 分 ∴ P( A) ?

16 4 ? . ????????????????????7 分 6? 6 9

解法二: “有放回摸取”可看作独立重复实验, ??????????2 分

2 1 ? .????????????5 分 6 3 4 1 ∴“有放回摸两次,颜色不同”的概率为 P2 (1) ? C2 ? p ? (1 ? p) ? . ???????????7 分 9
∵每次摸出一球得白球的概率为 P ? (Ⅱ)设摸得白球的个数为 ? ,依题意得:

4 3 2 4 2 2 4 8 2 1 1 ? P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? .????10 分 6 5 5 6 5 6 5 15 6 5 15 1 8 1 2 ∴ E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ,??????????????12 分 2 15 15 3 2 2 2 8 2 1 16 .????????14 分 D? ? (0 ? )2 ? ? (1 ? )2 ? ? (2 ? )2 ? ? 3 5 3 15 3 15 45
2011 年广州市综合测试(一) 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2.若从这批产 品中随机抽取出的 1 的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 表2 利润

一等品

二等品

三等品

次品



1

等级

一等品

二等品

三等品

次品

6

5

4

?1

P

0.6

a

0.1

b

(1) 求 a, b 的值; (2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率. (本小题主要考查数学期望、概率等知识, 解能力和应用意识) 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求

(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ? ,依题意得 ? 的分布列为:

?
P

6
0.6

5

4
0.1

?1
b
?? 2 分

a

∴ E? ? 6 ? 0.6 ? 5a ? 4 ? 0.1 ? b ? 4.9 ,即 5a ? b ? 0.9 . ∵ 0.6 ? a ? 0.2 ? 0.1 ? b ? 1 , 即 a ? b ? 0.3 , 解得 a ? 0.2, b ? 0.1 . ∴ a ? 0.2, b ? 0.1 .

?? 3 分 ?? 4 分

?? 6 分

(2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 件都是一等品 或 2 件一等品,1 件二等品.
3 故所求的概率 P ? 0.6 ? C 3 ?0.6 ? 0.2 ? 0.432 .
2 2

?? 8 分 ?? 12 分

2011 年广州零模 17. (本小题满分 12 分) 某商店储存的 50 个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占 60% , 乙厂生产的灯泡占 40% , 甲厂生产的灯泡的一 等品率是 90% , 乙厂生产的灯泡的一等品率是 80% . (1) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的一等品的 概率是多少? (2) 若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲厂生产的 一等品的个数记为 ? , 求 E? 的值. (本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、 运算求解能力和应用意识) (1) 解法 1: 设事件 A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件 B 表示“灯泡为一等品”, 依 题 意 有 P ? A ? ? 0.6 ,

P ? B A ? ? 0.9 , 根 据 条 件 概 率 计 算 公 式 得
??4 分

P ? AB ? ? P ? A ??P ? B A ? ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 .

解法 2: 该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50 ? 60% ? 30 个, 乙厂生产的灯泡 有 50 ? 40% ? 20 个, 其中是甲厂生产的一等品有 30 ? 90% ? 27 个, 乙厂生产的 一等品有 20 ? 80% ? 16 个, 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是

P?

27 ? 0.54 . 50

??4 分 ?5 分
1 1 2 C27 C23 C27 621 351 P ?? ? 1? ? ? , P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 1225 C50 C50 1225

(2) 解: ? 的取值为 0,1, 2 ,
2 C23 253 P ?? ? 0 ? ? 2 ? , C50 1225

??8 分 ∴ ? 的分布列为:

?
P

0
253 1225

1
621 1225

2
351 1225
??12 分

∴ E? ? 0 ?

253 621 351 1323 ? 1? ? 2? ? ? 1.08 . 1225 1225 1225 1225

17. (本小题满分12分) 如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中 的数学成绩. 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 a 表示. 甲组 乙组 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同. 9 7 8 7 (1)求 a 的值; 6 6 9 a 3 5 (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这两名同学数 学 图4 成绩之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和均值(数学期望) . (本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思 想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意,得

解得 a ? 3 .???2 分

1 1 ? (87 ? 89 ? 96 ? 96) ? ? (87 ? 90 ? a ? 93 ? 95) ,??1 分 4 4

(2)解:根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 x ? 92 .?3 分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为

s2 ?

1? 2 2 2 2 87 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 95 ? 92 ? ? ? 9 .?????5 分 ? ? 4?

(3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结果.?????6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表:
X 乙 甲

87 0 6 6 8

89 2 4 4 6

96 9 3 3 1

96 9 3 3 1

87 93 93 95

所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6,8,9.????8 分

1 2 1 4 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , 16 16 16 16 2 3 1 2 P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? , P( X ? 8) ? , P( X ? 9) ? . 16 16 16 16 所以随机变量 X 的分布列为:
由表可得 P( X ? 0) ?

X

0

1

2

3

4

6

8

9

P

1 16

2 16

1 16

4 16

2 16

3 16

1 16

2 16

????????10 分

随机变量 X 的数学期望为

EX ? 0 ?

1 2 1 4 2 3 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ?8 ? ? 9 ? ????11 分 16 16 16 16 16 16 16 16 68 17 ? ? .??????????????????????12 分 16 4

2A. (本小题满分 12 分)袋中装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,从袋中随机取球,设取到一个红球得 2 分,取到一个白球得 1 分。现从袋中每次取出一个球,记住得分后放回再次取出一个球. (Ⅰ)求连续取 3 次球,恰好得 3 分的概率; (Ⅱ)求连续取 2 次球的得分之和 ξ 的分布列及数学期望 E? . 2A. 解: (1)设“3 次均取得白球得 3 分”的事件为 A,则 P( A) ?

2 2 2 8 ? ? ? . …4 分 ( 2 )从袋中 5 5 5 125

连续取 2 个球的情况为:2 次均为白球;1 次白球,1 次红球;2 次均为红 球三种情况,所以,ξ 的可能取值为 2、3、4.…………………6 分 而每次取得红球的概率为 ∴

3 2 ,每次取得白球的概率为 ,每次取球的情况是彼此独立的。 5 5 4 12 9 2 2 2 1 2 3 0 3 2 ; P(? ? 2) ? C 2 ( ) ? ; P(? ? 3) ? C 2 ( )( ) ? P(? ? 4) ? C 2 ( ) ? . 5 25 5 5 25 5 25
(每个 1 分)……………………9 分 ξ P 2 3 4

4 12 9 25 25 25 4 12 9 所以, E? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 3.2 ………………12 分 25 25 25
2B.《同一首歌》大型演唱会即将举行,甲、乙两人参加大会青年志愿者的选拔. 已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题。 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才能入选. (Ⅰ)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人入选的概率. 2B 解: (Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ 的可能取值为 0、1、2、3,则

P (? ? 0) ?

3 C4 1 ? , 3 C10 30 1 C62 ? C4 1 ? , 3 C10 2

P (? ? 1) ?

1 2 C6 ? C4 3 ? , 3 C10 10 3 C6 1 ? , 3 C10 6

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

????????4 分

其分布列如下: ξ P 0 1 2 3

1 30

3 10

1 2

1 6

甲答对试题数ξ 的数学期望 Eξ = 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5

???????6 分

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则
1 C82 C 2 ? C83 56 ? 56 14 60 ? 20 2 ? ? 3 = ? , P(B)= 120 15 C10 120 3

P(A)=

1 3 C 62 C 4 ? C6 3 C10

.???8 分

因为事件 A、B 相互独立, ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A ? B ? P A ? P B ? ?1 ? ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ? 1 ? P A ? B ? 1 ? 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

?

? ?? ??

? ?

2 ?? 14 ? 1 , ??1 ? ? ? 3 ?? 15 ? 45

?

?

1 44 . ? 45 45

44 . 45

???????12 分

2C.一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的, 设取到一个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分。 (Ⅰ)若从袋子里一次随机取出 3 个球,求得 4 分的概率; (Ⅱ)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸 3 次,求得分 ? 的分布列及数学期望。 2C 解: (Ⅰ)设“一次取出 3 个球得 4 分”的事件记为 A,它表示取出的球中有 1 个红球和 2 个黑球的情况
1 2 C2 C3 3 ? ????????4 分 则 P ( A) ? 3 5 C5

(Ⅱ)由题意, ? 的可能取值为 3 、 4、 5、 6 。因为是有放回地取球,所以每次取到红球的概率为

2 3 , 取到黑球的概率为 . ????????6 分 5 5

27 3 3 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? 5 125

3 2 54 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? 5 5 125

2 36 1 3 P(? ? 5) ? C3 ( ) ? ( )2 ? 5 5 125 8 0 2 3 ?? 的分布列为 P(? ? 6) ? C3 ( ) ? 5 125

?
P

3

4

5

6

27 125

54 125

36 125

8 125
????????10 分

数学期望:E ? =3×

27 54 36 8 21 +4× +5× +6× = ????12 分 125 125 125 125 5

(2011 广东理科)2D. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x, y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x, y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其 均值(即数学期望) . 2D.解: (1)设乙厂生产的产品数量为 a 件,则

98 14 ? ,解得 a ? 35 a 5

所以乙厂生产的产品数量为 35 件 (2)从乙厂抽取的 5 件产品中,编号为 2、5 的产品是优等品,即 5 件产品中有 2 件是优等品 由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为 35 ?

2 ? 14 (件) 5
C32 3 ? , C52 10 P(? ? 1) ?
1 1 C2 C3 6 ? , C52 10

( 3 ) ? 可 能 的 取 值 为 0 , 1 , 2 P (? ? 0) ?
2 C2 1 ? , ∴ ? 的分布列为: 2 C5 10

P (? ? 2) ?

?
P

0

1

2

3 10 3 6 1 4 ∴ E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 10 10 10 5

6 10

1 10


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