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江苏省2016届高三上学期数学模拟试题(含答案)


2016 届江苏省高三上学期期末模拟 数
1.设 a, b ? R ,



2015.12.3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答 题卡 相应位置 上. . .. ....

a ? bi ? 2 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 a

? b ? 1? i

. .

2.已知集合 P ? ?x x ? a? ,Q ? ? y y ? sin? ,? ? R? .若 P ? Q ,则实数 a 的取值范围是 3.为了了解一片 经济林的生长情况, 随机测量了其中 100 株 树木的底部周长(单位:cm).所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长不小于 110cm 的有 株. 4 . 为 了 得 到 函 数 y=sin3x+cos3x 的 图 象 ,可 以 将 函 数 y= 象 . 5.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概 率为 0.2 ,甲乙下和棋的概率为 0.5 ,则 乙获胜的概率为 .
. 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ .
开始 S←0 k←1 k←k+2

cos3x 的 图

x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b 为 y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲ .

S←S+k2 N k>5 Y 输出 S

8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是





9.设 f(x)=x2-3x+a.若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值范围为

结束





10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.已知 a+ 2c=2b,sinB= 2sinC, 则 cosA= ▲ . ▲ .

(第 6 题图)

? ?a, x≥1, 11.若 f(x)=?x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为 ?-x+3a,x<1 ?

12.记数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,Sn=2(a1+an)(n≥2,n∈N*),则 Sn=





13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2-6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB=2 3,则 → → | OA + OB |的最大值是 ▲ .
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14.已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(ex)<0 的 x 的取值范围 为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答 题卡 指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 . .. ..... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) π 已知函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2). 2 (1)求 φ 的值; α 6 π π (2)若 f( )= ,- <α<0,求 sin(2α- )的值. 2 5 2 6

16. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB?平面 CMN.
C1 N B1 C A1

B

M (第 16 题图)

A

17. (本小题满分 14 分) 已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30.

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(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

18 .某地拟模仿图甲建造一座大型体育 y 馆, 其设计方案侧面的外轮廓线如图 B 乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的 圆的一部分, 其中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 , ·E 单位:米) ; 曲 线 BC 是 抛 物 线 2 的 一 部 分 ; y ? ?a x ? 50(a?0) O F A C D ? A,且 D CD 恰好等于圆 E 的半 第 18 题-甲 第 18 题-乙 径. 假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; 1 (3)若 a ? ,求 AD 的最大值. 25 1 (参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ? ) 2 a?x

C

D

x

19. (16 分)如图,设椭圆 C:

(a>b>0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共

点 P,且点 P 在第一象限. (Ⅰ)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.
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20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax3+|x-a|,a∈R. (1)若 a=-1,求函数 y=f(x) (x∈[0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 g(x)=x4,试讨论方程 f(x)=g(x)的实数解的个数; (3)当 a>0 时,若对于任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞),使得 f(x1)f(x2)=1024, 求满足条件的正整数 a 的取值的集合.

南京市 2015 届高三年级学情调研卷
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数学附加题

2014.09

注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答 题 卡 上对应题目的 . . . 答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指 . ... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,PA 是圆 O 的切线,A 为切点,PO 与圆 O 交于点 B、C,AQ?OP,垂足为 Q.若 PA=4, PC=2,求 AQ 的长.
A

P

C

Q

O

B

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A=?

(第 21 题 A 图)

2 b? ? 1? . 属于特征值?的一个特征向量为 α= ?1 3? ?-1?

(1)求实数 b,?的值; (2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下,得到的曲线为 C?:x2+2y2=2,求曲线 C 的方程.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

?x= 3+ 23t, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数 ),圆 C 的参数 1 ?y=2+2t
?x= 3+cosθ, 方程为? (θ 为参数).若点 P 是圆 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. ?y=sinθ

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy.
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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1=5,E 是棱 CC1 上不同于端 → → 点的点,且 CE =λCC1. (1) 当∠BEA1 为钝角时,求实数 λ 的取值范围; 2 (2) 若 λ= ,记二面角 B1-A1B-E 的的大小为 θ,求|cosθ|. 5
D1 A1 B1 C1

E D

C B

A

(第 22 题图)

23.某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白球,3 个黑球 的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 1红1白 1红1黑 2黑 1白1黑 奖励 10 元 5元 2元 不获奖

(1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

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2016 届高三年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

2015.12.3

1.6;
6.35 1 11.[ ,+∞) 2

2。 [1, ??)
7.2 12.2-2n
-1

3. 30
8. 3 13.8

4.向右平移

个单位

5. 0.3
10. 2 4

9 9.(0, ] 4 14.(0,1)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) π 解: (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2), 2 π 所以 f( )=2sin(π+φ)=-2, 2 即 sinφ=1. π 因为 0<φ<2π,所以 φ= . 2 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x. α 6 3 因为 f( )= ,所以 cosα= . 2 5 5 π 4 又因为- <α<0,所以 sinα=- . 2 5 …………………………………… 10 分 …………………………………………… 4 分 …………………………………………… 6 分 ………………………………………… 8 分

24 7 所以 sin2α=2sinαcosα=- ,cos2α=2cos2α-1=- .…………………… 12 分 25 25 π π π 7-24 3 从而 sin(2α- )=sin2αcos -cos2αsin = . 6 6 6 50 …………………… 14 分

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16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP. 1 因为 C1N=NB1,C1P=PA1,所以 NP∥A1B1,NP= A1B1. 2 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB,A1B1=AB. 1 故 NP∥AB,且 NP= AB. 2 1 因为 M 为 AB 的中点,所以 AM= AB. 2 所以 NP=AM,且 NP∥AM. 所以四边形 AMNP 为平行四边形. 所以 MN∥AP. 因为 AP?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. ……………………………………………… 6 分 …………………………… 8 分
B M (第 16 题图) B1 C

…………………… 2 分
C1 N P A1

A

……………………………………… 4 分

(2)因为 CA=CB,M 为 AB 的中点,所以 CM⊥AB. 因为 CC1=CB1,N 为 B1C1 的中点,所以 CN⊥B1C1. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC∥B1C1,所以 CN?BC.

因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B, 所以 CN⊥平面 ABC. 因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB. …………………………………… 10 分 …………………………………… 12 分

因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C, 所以 AB⊥平面 CMN. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.……………………………… 3 分
?2+3d+2q3=21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 8 + 6 d + 2 q = 30 , ? ?q=2.

…………………………………… 14 分

所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+…+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+…+cn =2×2+3×22+4×23+…+n×2n
-1

……………………………… 7 分

+(n+1)×2n,

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2 Tn=

2×22+3×23+…+(n-1)×2n 1+n×2n+
- +

(n+1)2n 1,


所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n )-(n+1)×2n 1, …………………………… 11 分 即 Tn=n·2n 1,n∈N*.


……………………………… 14 分

18. 解

: t ? 20 . 所 以



1







CD ? 50 ? t ? 30 …………… 2 分







此时圆 E : x2 ? ( y ? 20)2 ? 302 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,

y? 解
a?

A? D 2 ? 4 A O 5 ?a 5 x ? 0 ( 中, a?0 )
2

O D ?

?1 0

, 点 ? 5 将 1 4

5 C(14 5,30)

代 入 得

1 . … 49 ……… 4 分 ( 2 )因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得

OD ?
则 立, 由

t , a
题 意 知

FD ? 50 ? t ?

t ? 75 a



t ? (0, 25]





………… 8 分 25 25 1 25 所以 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t 故

1 ? 10 a
1 . 100



解 ………… 10 分



a?

( 3 )当 a ?

1 时, OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t)2 ? (50 ? t )2 ,令 y ? 0 ,得 25 x ? ?10 25? t ,所以 AO ? 10 25 ? t , 从 而 , ………… A ? ( D 12 分

)?

2 1 5 ? (t ? 2 t 5 2 ) ) 0 得 , 令 f ?(t ? , f ?(t ? ) ?5 ( ? ? ) 2 ? 5t t ?2 t ? 5t t ? 5, ………… 14 分 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增;当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递
又 因 为 减,从而当 t ? 5 时, f (t ) 取最大值为 25 5 . 答 : 当 t ? 5 米 时 , AD 的 最 大 值 为 25 米. …………16 分 (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分)
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5

解读:此题取材于射阳中学新建体育馆的模型,是一道原创题,初稿中只有( 2) (3) 两小题,讨论中有老师认为此题的起点偏高,还要给中等偏下的学生送点分,所以 又设计了第(1)小题。 ? t ? 25cos 2 ? , ? ? [0, ) ( 3 ) 方 法 二 : 令 , 则 2 A ?1 D 0? ? 2 ? t5 ? ? t5 ? ? ? 1 0 5 s i n 5 5 1 ? 10 ? 5sin ? ? 5 ? 5cos ? ? 25 5 sin(? ? ? ) ,其中 ? 是锐角,且 tan ? ? , 2 ? 从而当 ? ? ? ? 时, AD 取得最大值为 25 5 米. 2 方法三:令 x ? 25 ? t , y ? t ,则题意相当于:已知 x2 ? y 2 ? 25( x ? 0, y ? 0) ,求 z ? AD ? 5 ? (2 x ? y)的最大值. 根据线性规划知识,当直线 y ? ?2 x ? z 与圆弧 x2 ? y 2 ? 25( x ? 0, y ? 0) 相切时, z 取 得最大值为 25 5 米. 19. (16 分)如图,设椭圆 C: 点 P,且点 P 在第一象限. (Ⅰ)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b. (a>b>0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共

c

o

s

19. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由 ,消去 y 得(b2+a2k2)

x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,利用△=0,可求得在第一象限中点 P 的坐标; (Ⅱ)由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,设直线 l1 的方程为 x+ky=0,利用点

到直线间的距离公式,可求得点 P 到直线 l1 的距离 d= 整理即可证得点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b. . 解答: 解: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0) ,由 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.
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,消去 y 得

由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,故△=0,即 b2﹣m2+a2k2=0,解得点 P 的 坐标为 (﹣ , ) ,

又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P(



) .

(Ⅱ)由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离

d=



整理得:d=



因为 a2k2+

≥2ab,所以



=a﹣b,当且仅当 k2= 时

等号成立. 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a﹣b.

点评: 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基 础知识,同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.
20. (本小题满分 16 分) 解: (1)当 a=-1,x∈[0,+∞)时,f(x)=-x3+x+1,从而 f ′(x)=-3x2+1. 当 x=1 时,f(1)=1,f ′(1)=-2, 所以函数 y=f(x) (x∈[0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程为 y-1=-2(x-1), 即 2x+y-3=0. (2)f(x)=g(x)即为 ax3+|x-a|=x4. 所以 x4-ax3=|x-a|,从而 x3(x-a)=|x-a|.
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………………………………………………… 3 分

?x>a, ?x<a, 此方程等价于 x=a 或? 或? ?x=1 ?x=-1.

………………………………………… 6 分

所以当 a≥1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,-1; 当-1<a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个不同的解 a,-1,1; 当 a≤-1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,1. …………………………… 9 分

(3)当 a>0,x∈(a,+∞)时,f(x)=ax3+x-a,f ′(x)=3ax2+1>0, 所以函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数,且 f(x)>f(a)=a4>0. 1024 1024 1024 所以当 x∈[a,a+2]时,f(x)∈[f(a),f(a+2)], ∈[ , ], f(x) f(a+2) f(a) 当 x∈[a+2,+∞)时,f(x)∈[ f(a+2),+∞). …………………………………… 11 分 因为对任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞),使得 f(x1)f(x2)=1024, 1024 1024 所以[ , ]?[ f(a+2),+∞). f(a+2) f(a) 1024 从而 ≥f(a+2). f(a+2) 所以 f 2(a+2)≤1024,即 f(a+2)≤32,也即 a(a+2)3+2≤32. 因为 a>0,显然 a=1 满足,而 a≥2 时,均不满足. 所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为{1}. …………………………………… 16 分 ………………………………………… 13 分

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2015 届高三年级学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分 的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 AO.设圆 O 的半径为 r. 因为 PA 是圆 O 的切线,PBC 是圆 O 的割线, 所以 PA =PC·PB.……………………………… 3 分 因为 PA=4,PC=2, 所以 42=2×(2+2r),解得 r=3.……………… 5 分 所以 PO=PC+CO=2+3=5,AO=r=3. 由 PA 是圆 O 的切线得 PA⊥AO,故在 Rt△APO 中, 1 1 因为 AQ⊥PO,由面积法可知, ×AQ×PO= ×AP×AO, 2 2 AP×AO 4×3 12 即 AQ= = = . PO 5 5 B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)因为矩阵 A=? 2 b? ? 1?, 属于特征值?的一个特征向量为 α= ?1 3? ?-1? …………………… 10 分
(第 21 题 A 图)
2

2014.09

A

P

C

Q

O

B

所以?

2-b ? ? ? ? 2 b ?? 1? ? 1?,即? =? ? ?=? ?. ……………………… 3 分 ? 1 3 ??-1? ?-1? ? -2 ? ? -? ?

?2-b=?, 从而? 解得 b=0,?=2. ?-2=-?.

………………………… 5 分

(2)由(1)知,A=?

2 0? ? 1 3 ?.
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设曲线 C 上任一点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C?上一点 P(x0,y0), 则?

? x0 ?=? 2 0 ?? x ?=? 2x ?, ? ? ? ? ? ? y0 ? ? 1 3 ?? y ? ? x+3y ?
…………………………… 7 分

?x0=2x, 从而? ?y0=x+3y.

因为点 P 在曲线 C?上,所以 x02+2y02=2,即(2x)2+2(x+3y)2=2, 从而 3x2+6xy+9y2=1. 所以曲线 C 的方程为 3x2+6xy+9y2=1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (方法一) 直线 l 的普通方程为 x- 3y+ 3=0. …………………………………… 3 分 ……………………………… 10 分

因为点 P 在圆 C 上,故设 P( 3+cosθ,sinθ), 从而点 P 到直线 l 的距离 π |2 3-2sin(θ- )| 6 | 3+cosθ- 3sinθ+ 3| d= = . 2 12+(- 3)2 所以 dmin= 3-1. 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3-1. (方法二) 直线 l 的普通方程为 x- 3y+ 3=0. 圆 C 的圆心坐标为( 3,0),半径为 1. 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d= | 3-0+ 3| 12+(- 3)2 = 3. ………………………… 6 分 ………………………… 10 分 ……………………………… 3 分 ……………………………… 10 分

…………………… 7 分

所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3-1. D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 a,b 是正数,且 a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=abx2+(a2+b2)xy+aby2 =ab(x2+y2)+(a2+b2)xy ≥ab?2xy+(a2+b2)xy

…………………………… 3 分 ……………………………… 8 分

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=(a+b)2xy =xy 即(ax+by)(bx+ay)≥xy 成立. ……………………………… 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设,知 B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5). → → 因为 CE =λCC1,所以 E(0,3,5λ).
A1 z D1 C1 B1 E D A B x (第 22 题图)

→ → 从而 EB =(2,0,-5λ),EA1=(2,-3,5-5λ).…… 2 分 当∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0, → → 所以 EB ·EA1<0,即 2×2-5λ(5-5λ)<0, 1 4 解得 <λ< . 5 5 1 4 即实数 λ 的取值范围是( , ). 5 5

C

y

…………………………………… 5 分

2 → → (2)当 λ= 时, EB =(2,0,-2),EA1=(2,-3,3). 5 设平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(x,y,z),

? ?n1·→ EB =0, 由? → ?n1·EA1=0 ?

?2x-2z=0, 得? ?2x-3y+3z=0,

5 取 x=1,得 y= ,z=1, 3 5 所以平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(1, ,1). ………………………………… 7 分 3 易知,平面 BA1B1 的一个法向量为 n2=(1,0,0). n1·n2 1 3 43 因为 cos< n1,n2>= = = , | n1|·| n2| 43 43 9 从而|cosθ|= 3 43 . 43 1 …………………………………… 10 分
1

C3 3 1 23.解: (1)因为 P(X=10)= 2= ,P(X=5)= 2= , C 10 C 10
5 5

C3 3 C3 3 P(X=2)= 2= ,P(X=0) = 2= , 10 C5 C5 10
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2

1

所以 X 的概率分布表为: X P 10 1 10 5 3 10 2 3 10 0 3 10

…………………………… 4 分 1 3 3 3 从而 E(X)=10? +5? +2? +0? =3.1 元. 10 10 10 10 …………………………… 6 分

7 (2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= , 10 91 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P=1-[1-P(A)]2= . 100 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91 . 100 …………………………… 10 分.

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