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《证明不等式的基本方法-反证法与放缩法》课件


不等式的证明

2.3《证明不等式的 基本方法--反证法与放缩法》

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复习
? 不等式证明的常用方法: ? 比较法、综合法、分析法

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三、反证法与放缩法
1.什么是反证法? 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明. 2.反证法主要适用于什么情形? (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
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例1 已 知x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x ? x , y ? 0,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x , ? 2 ? x ? y ? 2( x ? y ) ? x ? y ? 2, 这与已知条件x ? y ? 2矛盾. 1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于2 y x
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例2 已知a, b, c为实数 , a ? b ? c ? 0, ab ? bc ? ca ? 0, abc ? 0, 求证: a ? 0, b ? 0, c ? 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a ? 0, 下面分a ? 0和a ? 0两种情况讨论. (1)如果a ? 0, 则abc ? 0, 与abc ? 0矛盾,? a ? 0不可能. ( 2)如果a ? 0, 那么由abc ? 0可得bc ? 0, 又a ? b ? c ? 0, ? b ? c ? ? a ? 0, 于是ab ? bc ? ca ? a (b ? c ) ? bc ? 0, 这和已知ab ? bc ? ca ? 0相矛盾. ? a ? 0也不可能. 综上所述a ? 0, 同理可证b ? 0, c ? 0, 所以原命题成立.

? 练习:若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证:p+q≤2
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例3、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4

证明:设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4,
(1 ? c)a>1/4,
则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 1 64
又∵0 < a, b, c < 1



1 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立

1 1 ( 1 ? b ) b ? (1 ? c ) c ? 同理: 4 4

1 ? (1 ? a ) ? a ? ? ∴0 ? (1 ? a )a ? ? ? 2 4 ? ?

2

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放缩法
? 在证明不等式过程中,有时为了证明 的需要,可对有关式子适当进行放大或缩 小,实现证明。例如: 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
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? ? ? ?

例4 已知a, b, c, d ? R? ,求证 a b c d 1? ? ? ? ?2 a ?b?d b?c?a c?d ?b d ?a ?c
证明 : ? a , b, c , d ? 0, a a a ? ? ? a?b?c?d a?b?d a ? b b b b ? ? a?b?c?d b?c?a a ? b c c c ? ? a?b?c?d c?d ?b c?d d d d ? ? a?b?c?d d ?a?c c? d
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把以上四个不等式相加 得 a?b?c?d a b c d ? ? ? ? a?b?c?d a?b?d b?c?a c?b?d d ?a?c a?b c?d ? ? . 即 a?b c?d a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?b?a d ?a?c
a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b

练习: 已知a, b是实数,求证

.

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例5、巳知:a、b、c∈ R ? ,求证:

a ? ab ? b ? a ? ac ? c ? a ? b ? c
2 2 2 2

略 解

a 2 ? ab ? b 2 ? ?

a 2 ? ac ? c 2 a 2 3 2 (c ? ) ? a 2 4

a 2 3 2 (b ? ) ? a ? 2 4

a 2 ? (b ? ) ? 2 ? a?b?c
2 2 2

a 2 (c ? ) 2

练习:已知实数x, y, z不全为零,求证: 3 11 x ? xy ? y ? y ? yz ? z ? z ? zx ? x ? ( x ? y ? z ) 2
2 2 2

例6:求证: 1 1 1 * 2( n+1-1)<1+ ? ? ... ? ? 2 n (n ? n ) 2 3 n
1 2 2 ? ? ? ? 2( k ? k ? 1), k ? N * k 2 k k ? k ?1
1 1 1 ?1 ? ? ? ??? ? 2 3 n ? 2[( 1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ??? ? ( n ? n ? 1)] ? 2 n.
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放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A ? C , 后证C ? B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ? ) ? ? (a ? ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2? , 2 ? , ? , k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k k ? k ?1 k 1 2 ? (以上k ? 2且k ? N ? ) k k ? k ?1 13

补充练习题:
1.已 知?ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: ? ? a?m b?m c?m

x m 证明 : 设函数f ( x ) ? ? 1? ( x ? 0, m ? 0), x?m x?m 易知f ( x )在( 0,??)上是增函数. a b a b ? f (a ) ? f (b) ? ? ? ? a?m b?m a?b?m a?b?m a?b ? ? f (a ? b) a?b?m c 又a ? b ? c ,? f (a ? b ) ? f ( c ) ? c?m a b c ? ? ? a?m b?m c?m

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课堂小结
? 证明不等式的特殊方法: ? (1)放缩法:对不等式中的有关式子进行 ? 适当的放缩实现证明的方法。 ? (2)反证法:先假设结论的否命题成立, ? 再寻求矛盾,推翻假设,从而证明结 ? 论成立的方法。

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