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数学方法在生物学解题中的应用例析


数学方法在生物学解题中的应用例析 更新时间: 2008-10-7 浏览次数: 2302 随着应试教育向素质教育的转变和高考制度的改革,培养学生的学习能力和提高知识的运用能力显得尤 为重要。能否熟练、准确地运用已有的知识去解决新的问题,也是考查学生能力高低的一个重要依据。本人 在教学中有目的地进行数学方法的渗透和迁移,简化了教学环节,使学生学得轻松、记得牢固。 1.数学归纳法的应用

数学归纳法是高中数学教学中的基本方法,在高中生物教学中也随处可见。 例1:由 n 个氨基酸缩合成 m 条肽链的蛋白质分子中,形成的肽键数和脱去的水分子数分别 为 、 解析:该题是常见的基础题,考查的是氨基酸形成多肽(蛋白质)的过程。一个氨基酸的氨基提供-H, 另一个氨基酸的羧基提供-OH,两者结合成一分子水,同时剩余部分形成肽键(-CO-NH-)。由两个氨 基酸缩合成二肽,脱去一分子水,形成一个肽键,三个氨基酸缩合成三肽,脱去两分子水,形成两个肽键(肽 键数与脱去的水分子数相等),因而 n 个氨基酸形成一条肽链,脱去的水分子数和形成的肽键数都为 n-1。 两个、三个氨基酸不能形成两条肽链,四个氨基酸形成两条肽链(两个二肽),肽键数为二,五个氨基酸形 成两条肽链(一个二肽,一个三肽),形成的肽键数为三,依次类推,n 个氨基酸形成两条肽链(n≧4), 形成的肽键数为 n-2。四个、五个氨基酸不能形成三条肽链,六个氨基酸形成三条肽链(每个都为二肽), 形成的肽键数为三,据此 n 个氨基酸形成 m 条肽链(n≧2m,m 个二肽),形成的肽键数和脱去的水分子数 为 n-m。 举一反三 1.某蛋白质是由 574 个氨基酸缩合成的四条肽链构成的,若氨基酸的平均分子量为 128,则该蛋白质的 相对分子量为:574×128-(574-4)×18=63212。 2.胰岛素是由 51 个氨基酸构成的蛋白质,控制该蛋白质合成的基因中脱氧核苷酸的数目至少为 51× 6=306,若脱氧核苷酸的平均分子量为 300,则控制该蛋白质合成的 mRNA 相对分子量至少为 153×300(153-1)×18=45612,控制该蛋白质合成的 DNA 的相对分子量至少为 306×300-(306-2)×18=86328。 该题中要分清氨基酸数目与 mRNA、DNA 的核苷酸数目之间的对应关系,脱氧核苷酸与核糖核苷酸在五碳 糖上的区别,DNA 和 RNA 的核苷酸链的条数等。 例 2:某双链 DNA 分子含有 1000 个碱基对,其中 A 占 30%。该 DNA 复制两次,需要添加游离的胞嘧 啶脱氧核苷酸的数目为 。 解析:DNA 复制的特点是半保留复制且严格遵循碱基互补配对原则,,所以产生的子代 DNA 和亲代 DNA 在碱基数量和排列顺序完全相同;DNA 分子数量随复制的次数的增加而成指数形式增长即 2n,n 为复 制次数。由题意知,一个 DNA 复制两次形成 4 个 DNA,由于亲代 DNA 含有 1000 个碱基对,2000 个碱基, A 占 30%,A=2000×30%=600=T,G=C=400,四个 DNA 分子中 C=400×4=1600,则需要添加的 胞嘧啶脱 氧核苷酸为 1600-400=1200。如果复制一次形成两个 DNA,C 的总数为 400×2=800,需要添加的为 800-400=400,复制 3 次形成 8 个 DNA,C 的总数为 400×8=3200,需要添加的为 3200-400=2800,依此类推 复制 n 次,需要添加的为 400×(2n-1) 举一反三 若 DNA 第 n 次复制时,需要添加的胞嘧啶脱氧核苷酸数量为 。该题与例 2 相似,第一次复制 添加的 C 为 400,第二次复制需添加的 C 为 800,第三次复制需添加的 C 为 1600,第 n 次复制需添加的 C 为 400×2n-1。 该题与例二仅一字之差,第 n 次是特指一次,n 次是指总和,如把第一次、第二次、第三次 第 n 次都 n-1 n-1 n 加起来,列成数学式即为 400+800+1600+ +400×2 =400×(1+2+4+ +2 )=400×(2 -1). n 小结:①有关 DNA 复制中需要添加的碱基数=m×(2 -1),m 为亲代 DNA 中某碱基的数目,n 为复制的次 数。第 n 次需要添加的碱基数目=m×2n-1. ②审题时要审清每一个字,又如把碱基对数目当作碱基数目,其结果就又不同。

例 3:基因型 Aa 的个体连续自交,后代中的显性纯合体的比例为 。 解析:基因分离规律属于应用层次,要求较高,理解是关键。基因型为 Aa 的个体自交一次,后代中 AA: Aa:aa=1:2:1,Aa 占 1/2,自交两次,后代中 Aa 的比例为 1/4,自交 n 次后代中杂合体的比例为 1/2n,纯 合体的比例为 1-1/2n,显性纯合体的比例为(1-1/2n)/2=1/2-1/2n+1。 举一反三 基因型为 Aa 的个体连续自交并不断淘汰隐性个体,后代中显性纯合体的比例为 。 解析:亲本自交子一代中,AA:Aa:aa=1:2:1,淘汰隐性个体 aa,剩下 AA 和 Aa,其比例为 1:2, AA 占 1/3,Aa 占 2/3,再自交自二代中 AA 占 3/5,Aa 占 2/5(2/3Aa*Aa 和 2/3Aa×2/3Aa 的含义不同),子 三代中 AA 占 7/9,Aa 占 2/9,自交 n 代,后代中 AA 占(2n-1)/(2n+1)=1-2/(2n+1),Aa 占 2/(2n+1)。 再如连续自交并不断淘汰隐性个体,问至少要经过多少次自交,才能使显性纯合体的比例大于 95%。用 上面的公式 1-2/2n+1﹥95%,2/2n+1﹤5%,2n+1﹥40,n﹥5,至少要经过 6 次。 2.排列组合的应用 高中生物学中的排列组合试题要比高中数学的简单得多,因此只要了解排列组合的基础知识,再结合生 物学的基本概念等知识,就能迅速解决此类问题。 例 4: 控制人类 ABO 血型系统的等位基因有 IA、IB、i 三种,则 ABO 血型系统的基因型有 种。 解析:基因型是生物某一性状表现的内在基因组成,用一对等位基因表示,即含有两个基因,且基因型 A B I I 、IBIA 表现一致,因而不需要考虑顺序,应用组合 C23 得到的杂合体,还应该考虑到有 3 种纯合体 IAIA、 IBIB、ii,固 ABO 血型系统的基因型 C23+3=6 种。 例5:现有 A 和 U 两种碱基,其比例为 5:1,由这两种碱基组成的密码子最多有 种 。 1 1 1 解析:密码子是由 3 个相邻碱基组成的,AUU 和 UUA 不同,因而最多有 A 2×A 2×A 2=8 种。 此外,在氨基酸缩合成蛋白质的种类,遗传信息的数量等方面都可运用排列组合。 3.有关概率的应用 概率的计算在遗传题中较为常见,数学概率学得好坏也将影响解生物学试题 例6:下图为白化病(A.a)和色盲病(B b)两种遗传病的系谱图,请据图回答 下列问题。

(1)Ⅲ10 产生的卵细胞可能的基因型为 。 (2)Ⅲ9 号个体为杂合体的概率为 。 (3)如果Ⅲ8 和Ⅲ11 近亲结婚,生育一个患白化病但色觉正常孩子的概率 为 。 解析:根据遗传系谱图可以判断,白化病为常染色体隐性遗传病,色盲病为 伴 X 染色体隐性遗传病,Ⅲ9 的基因型为 aaXbXb 可以推测 5 号个体的基因型为

AaXbY, 号个体的基因型为 AaXBXb, 号个体的基因型为 AAXBXb 或 AaXBXb, 6 10 所以 10 号产生的卵细胞的基因型可能有 AXB、AXb、aXB、aXb,11 号个体表现 性正常,其基因型为 AaXBY、AAXBY,其比例分别为 2/3、1/3,8 号个体患白 化而不患色盲,其基因型为 aaXBXB 、aaXBXb,其比例各为 1/2,8 号与 11 号近 亲婚配,后代中可以有只患白化、只患色盲、两病兼患和完全正常四种情况。通 常情况下,计算一种遗传病的发病概率,可按下列步骤进行:第一步推测双亲可 能的基因型及概率, 第二步计算双亲提供患病配子的概率,第三步考虑配子间的 结合方式(采用乘法定理或加法定理)。而在此题中涉及到两种遗传病,由于双 亲提供的配子类型较多,配子间的结合方式多样,稍不仔细,就可能漏掉一部分 或多出一部分。 因此把两种病分开讨论, 如白化病的正常概率为 a,患病概率为 b, 色盲病正常概率为 c,患病概率为 d,则只患一种病(白化病或色盲病,或用+) 的概率为 ad+bc,也可用 1-ac-bd、a+c-2ac、b+d-2bd 表示(由 a+b=1,c+d=1 变 形可得),两病兼患(白化病和色盲病,和用×)的概率为 bd,完全正常的概 率为 ac。固只患白化病的概率为 1/3×7/8=7/24. 数学知识在生物学教学中的应用还有很多,如反证法、二项式定理等,因此 教学过程中适当运用其他学科已有的知识帮助解题,既提高了解题速度,更加深 了对知识的理解和运用。


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