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高考文科理科数学压轴大题演练系列 (5)


备战 2010 高考数学――压轴题跟踪演练系列二 1. (本小题满分 12 分) 已知常数 a > 0, n 为正整数,f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于 x 的函数. (1) 判定函数 f n ( x )的单调性,并证明你的结论. (2) 对任意 n ? a , 证明 f `n + 1 ( n + 1 ) < (

n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n ∵a > 0 , x > 0, 4分 (2)由上知:当 x > a>0 时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n 是关于 x 的减函 数, ∴ 当 n ? a 时, 有:(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = 2分 ( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n + a)n
– 1 – 1 n – 1

– n ( x + a)n

– 1=

n [x n

– 1

– ( x + a)n

– 1

],

∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在(0,+∞)单调递减.

– ( n + a)n.

( n + 1 )[ nn –

( n + a )( n + a)n



1

]

– ( n + a)n

– 1

] = ( n + 1 )[n n – n( n

],

2分

∵( n + a ) > n , ∴ f 2分 2. (本小题满分 12 分) 已知:y = f (x) 定义域为[–1,1] ,且满足:f (–1) = f (1) = 0 ,对任 `n
+ 1

(

n

+

1

)

<

(

n

+

1

)fn`(n)

.

意 u ,v?[–1,1] ,都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数 p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件? (2) 判断函数 g(x)= ?
?1 ? x, x ?[?1,0] ,是否满足题设条件? ? 1 ? x, x ?[0,1]

解: (1) 若 u ,v ? [–1,1], |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |, 取u= 则
3 ?[–1,1],v 4

=

1 ?[–1,1], 2 5 | 4

|p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =

u – v | > | u – v |,

所以 p( x)不满足题设条件. (2)分三种情况讨论: 10. 若 u ,v ? [–1,0],则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |,满足 题设条件; 20. 若 u ,v ? [0,1], 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|,满 足题设条件; 30. 若 u?[–1,0],v?[0,1],则: |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|,满足题设条件; 40 若 u?[0,1],v?[–1,0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得 g(x)满足条件. 3. (本小题满分 14 分) 已知点 P ( t , y )在函数 f ( x ) = + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). (1) 求证:| ac | ? 4; (2) 求证:在(–1,+∞)上 f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证:(1) ∵ t?R, t ? –1,
x (x x ?1

? –1)的图象上,且有 t2 – c2at

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 , ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , (2) 由 f(x)=1 –
1 , x ?1
1 –1 x2 ?1

∴| ac | ? 4.

法 1. 设–1 < x1 < x2, 则 f (x2) – f ( x1) = 1– ∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0,

+

x1 ? x 2 1 = x1 ? 1 ( x 2 ? 1)( x 1 ? 1)

.

x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 , ∴x ? 0 时,f ( x )单调递增.

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即 f (x2) < f ( x1) , 法 2. 由 f ` ( x ) =
1 ( x ? 1) 2

> 0 得 x ? –1,

∴x > –1 时,f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)∵f ( x )在 x > –1 时单调递增,| c | ? ∴f (| c | ) ? f (
4 ) |a| 4 |a|

>0,

=

4 |a| = 4 4 | a | ?4 ?1 |a|
|a| + 4 > | a | + 4 =1. | a | ?1 | a | ?4 | a | ?4 | a | ?4

f(|a|)+f(|c|)=

即 f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4. (本小题满分 15 分) 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ? a0 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ( 其 中 ai ∈ R , i=0,1,2,3,4) ,当 x= -1 时,f (x)取得极大值 ,并且函数 y=f (x+1)的图象关于点(-1,
2 3

0)对称. (1) 求 f (x)的表达式; (2) 试在函数 f (x)的图象上求两点, 使这两点为切点的切线互相垂直, 且切点的横坐标都在区间 ?? ? (3) 若 xn ?
2, 2 ? 上; ?

4 2n ? 1 2(1 ? 3n ) , yn ? (n ? N+ ) ,求证: f ( xn ) ? f ( yn ) ? . n n 3 2 3

解: (1) f ( x) ?

1 3 x ? x. …………………………5 3

分 分

(2) ? 0, 0 ? , ? ?
?

?

2, ?

? 2? 2? ? 或 ? 0, 0 ? , ? ? 2, ? . …………10 ? 3 ? 3 ? ? ? ?

(3)用导数求最值,可证得 分 5. (本小题满分 13 分) 设M

4 f ( xn ) ? f ( yn ) ? f (?1) ? f (1) ? . ……15 3

x2 y 2 是椭圆 C : ? ? 1 上的一点,P、Q、T 12 4

分别为 M 关于 y 轴、原点、

x 轴的对称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程. 解:设点的坐标 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )( x1 y1 ? 0), E( x, y), 则 P(? x1, y1 ), Q(? x1, ? y1 ), T ( x1, ? y1 ), ……1 分

? x12 ?12 ? ? ? 2 ? x2 ? ?12 ?

y12 ? 1,???? (1) 4 ………………………………………………………3 2 y2 ? 1.???? (2) 4



由(1)-(2)可得 kMN ? kQN 分

1 ? ? . ………………………………6 3

又 MN⊥MQ, kMN ? kMQ ? ?1, kMN ? ? 1 , 所以 kQN ?
x y1

y1 . 3x1

直 线 QN 的 方 程 为 y ?
y?? x1 x. ……10 y1

y1 ( x ? x1 ) ? y1 3x1

, 又 直 线 PT 的 方 程 为


1 1 x1 , y ? ? y1. 所以 x1 ? 2 x, y1 ? ?2 y. 2 2

从而得 x ?

代入(1)可得 13 分

x2 ? y 2 ? 1( xy ? 0), 此即为所求的轨迹方程.……………… 3

6. (本小题满分 12 分) 过抛物线 x2 ? 4 y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点,
PA? PB ? 0.

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,1) ,是否存在实数 ? 使得 FA? FB ? ?(FP)2 ? 0 ?若存在, 求出 ? 的值,若不存在,请说明理由. 解法(一)(1)设 A( x1 , : 由 x 2 ? 4 y, 得: y ' ?
? k PA ? x1 x , k PB ? 2 2 2
x 2

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), ( x1 ? x2 ) 4 4

? PA? PB ? 0,? PA ? PB,? x1x2 ? ?4 ………………………………3



直线 PA

x12 x1 x1 x x12 的方程是: y ? ? ( x ? x1 ) 即 y ? ? 4 2 2 4
2 x2 x x2 ? 2 4

① ②

同理,直线 PB 的方程是: y ?

x1 ? x2 ? ? x? 2 由①②得: ? x x ( x1 , x2 ? R) ? y ? 1 2 ? ?1, 4 ?

∴点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). ……………………………………6 分 (2)由(1)得: FA ? ( x1 ,
FP ? ( x1 ? x 2 ,?2), x1 x 2 ? ?4 2
2 x12 x2 x 2 ? x2 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? 1 4 4 4

x ?x x12 x2 ? 1), FB ? ( x2 , 2 ? 1), P ( 1 2 ,?1) 2 4 4

FA? FB ? x1 x2 ? (

…………………………10 分

( FP) 2 ?

2 ( x1 ? x2 ) 2 x 2 ? x2 ?4? 1 ?2 4 4

所以 FA? FB ? (FP) 2 ? 0 故存在 ? =1 使得 FA? FB ? ?(FP)2 ? 0 …………………………………………12

分 解法(二)(1)∵直线 PA、PB 与抛物线相切,且 PA? PB ? 0, : ∴直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0,且 PA ? PB, 设 PA 的直线方程是 y ? kx ? m(k , m ? R, k ? 0) 由?
? y ? kx ? m 得: x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 2 ? x ? 4y

? ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 即 m ? ?k 2 …………………………3



即直线 PA 的方程是: y ? kx ? k 2 同理可得直线 PB 的方程是: y ? ?
? y ? kx ? k 2 由? 1 1 ? ?y ? ? k x ? k2 ? 1 ? ?x ? k ? ? R 得: ? k ? y ? ?1 ?
1 1 x? 2 k k

故点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). ……………………………………6 分 (2)由(1)得: A(2k , k 2 ), B(?
2 1 1 , 2 ), P(k ? ,?1) k k k

2 1 FA ? (2k , k 2 ? 1), FB ? (? , 2 ? 1) k k 1 FP ? (k ? ,?2) k 1 1 FA ? FB ? ?4 ? (k 2 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? (k 2 ? 2 ) ………………………………10 k k 1 1 ( FP ) 2 ? ( ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? (k 2 ? 2 ) k k



故存在 ? =1 使得 FA? FB ? ?(FP)2 ? 0 …………………………………………12 分 7. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (1) (2)
1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数. ax

求正实数 a 的取值范围; 设 b ? 0, a ? 1 ,求证:
1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b ax ? 1 ? 0 对 x ?[1,??) 恒成立, ax 2

解: (1) f ' ( x) ?
?a ? 1 x

对 x ?[1,??) 恒成立



1 ?1 x

? a ? 1 为所求.…………………………4



(2)取 x ?

a?b b

,? a ? 1, b ? 0,?

a?b ? 1, b

一方面,由(1)知 f ( x) ?
?f(

1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数, ax

a?b ) ? f (1) ? 0 b a?b 1? b ? ln a ? b ? 0 ? a?b b a? b a?b 1 ? 即 ln ……………………………………8 b a?b



另一方面,设函数 G( x) ? x ? ln x( x ? 1)
G ' ( x) ? 1 ? 1 x ?1 ? ? 0(? x ? 1) x x

∴ G (x) 在 (1,??) 上是增函数且在 x ? x0 处连续,又 G(1) ? 1 ? 0 ∴当 x ? 1 时, G( x) ? G(1) ? 0
a?b a?b ? ln b b 1 a?b a?b ? ln ? . ………………………………………………14 综上所述, a?b b b

∴ x ? ln x



分 8.(本小题满分 12 分)
y

如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形
ABC , ?C ? 90? , B 、 C

A

在 x 轴上且关于原点 O 对
ABC

称, D 在边 BC 上, BD ? 3DC , !

的周长为

B

O

D

C

x

12.若一双曲线 E 以 B 、C 为焦点,且经过 A 、
D 两点.

(1) 求双曲线 E 的方程; (2) 若一过点 P(m, 0)( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双 曲线顶点的两点 M 、 N ,且 MP ? ? PN ,问在 x 轴上是否存在定点 G , 使 BC ? (GM ? ?GN ) ?若存在,求出所有这样定点 G 的坐标;若不存在,
??? ? ???? ? ????
???? ????

请说明理由. 解:(1) 设双曲线 E 的方程为 x2 ? y2
2 2

a

b

? 1 (a ? 0, b ? 0) ,

y A

则 B(?c,0),

D(a,0), C (c,0) .
D

由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2a .
?| AB |2 ? | AC |2 ? 16a 2 , ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ? ?| AB | ? | AC |? 2a. ?

B

O

C

x

(3 分)
b ? 3.
2

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2,

∴双曲线 E 的方程为 x2 ? y

3

?1.
??? ?

(5 分)
???? ? ????

(2) 设在 x 轴上存在定点 G(t,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) . 设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 .
B

N ( x2 , y2 ) .

y

????

????

G
O

C

即 ? ? ? y1 y2 ∵ BC ? (4,0) ,
??? ?



(6 分)
M

P N

x

???? ? ???? GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t , y1 ? ? y2 ) ,

∴ BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) . 即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② 把①代入②,得
2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0

??? ?

???? ?

????

(8 分)



(9 分)

把 x ? m ? ky 代入 x2 ? y

2

3

? 1 并整理得

(3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0

其中 3k

2

? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ?

1 且 3k 2 ? m2 ? 1 . 3

y1 ? y2 ?

?6km 3(m2 ? 1) , y1 y2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1



(10 分)

代入③,得
6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) ? ? 0, 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

化简得
m

kmt ? k



当 t ? 1 时,上式恒成立. 因此,在 x 轴上存在定点 G( 1 ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .
m
??? ? ???? ? ????

( 12

分) 9.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N 都有
*

(1 ? p)Sn ? p ? pan ( p 为大于

1 的常数) ,记 f (n) ? 1 ? Cn a1 ? Cnna2 ? ? ? Cn an .
1 2 n

2 Sn

(1) 求 a n ; (2) 试比较 f (n ? 1) 与 p ? 1 f (n) 的大小( n ? N ) ;
*

2p

(3) 求证: (2n ? 1) f (n) 剟 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) 解:(1) ∵ (1 ? p)Sn ? p ? pan , ∴ (1 ? p)Sn?1 ? p ? pan?1 . ②-①,得
(1 ? p)an ?1 ? ? pan ?1 ? pan ,

p ?1 ? ? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1 ? ? 2 p ? ?

2 n ?1

? ? , n ? N* ) ( . ? ?

① ②

即 an?1 ? pan . 在①中令 n ? 1 ,可得 a1 ? p .

(3 分)

∴ ?an ? 是首项为 a1 ? p ,公比为 p 的等比数列, an ? pn . (2) 由(1)可得 S
n

(4 分)

?

p(1 ? p n ) p ( p n ? 1) ? 1? p p ?1



2 n 1 ? C1 a1 ? Cn a2 ? ? ? Cn an ? 1 ? pC1 ? p2C2 ? ? ? Cn pn ? (1 ? p)n ? ( p ? 1)n . n n n n

∴ f (n) ? 1 ? Cn a1 ? Cnna2 ? ? ? Cn an
1 2 n

2 Sn

?

p ? 1 ( p ? 1) n ? p 2n ( p n ? 1)



(5 分)

f (n ? 1) ?

p ? 1 ( p ? 1) n ?1 ? . p 2n ?1 ( p n ?1 ? 1)

而 p ? 1 f ( n)
2p

?

p ?1 ( p ? 1) n ?1 ? n ?1 n ?1 p 2 ( p ? p)

,且 p ? 1 ,

∴ pn?1 ? 1 ? pn?1 ? p ? 0 , p ? 1 ? 0 . ∴ f (n ? 1) ? (3) 由(2)知
p ?1 f (n) , n ? N* ) ( . 2p p ?1 , f (n ? 1) ? p ? 1 f (n) , n ? N* ) ( . 2p 2p

(8 分)

f (1) ?

∴当 n …2 时, f (n) ?

p ?1 p ?1 2 p ? 1 n ?1 p ?1 n f (n ? 1) ? ( ) f (n ? 2) ? ? ? ( ) f (1) ? ( ) . 2p 2p 2p 2p

∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) ?

? p ?1? p ?1 ? p ?1? ?? ? ??? ? ? 2p ? 2p ? ? 2p ?
?
2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? ?1 ? ? ? ?, p ?1 ? ? 2 p ? ? ? ?

2

2 n ?1

(10 分)

(当且仅当 n ? 1 时取等号) . 另一方面,当 n …2 , k ? 1, 2, ?, 2n ? 1 时,
f (k ) ? f (2n ? k ) ? p ? 1 ? ( p ? 1)k ( p ? 1)2 n ? k ? ? 2n?k 2n?k ? k k ? p ? 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1) ?



p ?1 ( p ? 1)k ( p ? 1)2n ?k ?2 k k ? 2n ? k 2n ?k p 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1)
p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n 1 ( p k ? 1)( p 2 n ? k ? 1) 1 . p ? p ? p 2n?k ? 1
2n k

?

?

∵ pk ? p2n?k …2 pn ,∴ p2n ? pk ? p2n?k ? 1? ∴ f (k ) ? f (2n ? k ) … p ? 1 ?
p
2 n ?1 k ?1 2 n ?1 k ?1

p2n ? 2 pn ? 1 ? ( pn ? 1)2 .

2( p ? 1) n ? 2 f (n) , (当且仅当 k ? n 时取等号)(13 . 2n ( p n ? 1)
2 n ?1 k ?1

分)

∴ ? f (k ) ? 1 ? [ f (k ) ? f (2n ? k )] …? f (n) ?(2n ? 1) f (n) . (当且仅当 n ? 1 时取等号) .
2

综上所述, (2n ? 1) f (n) 剟 k?1 ?

2 n ?1

f (k )

2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? * ?1 ? ? ( . ? ? , n ? N )(14 p ?1 ? ? 2 p ? ? ? ?

分)


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