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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第十章第五节古典概型


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第五节

古典概型

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1.基本事件的特点 互斥 (1)任何两个基本事件是________的. 基本事件 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成___________

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的和.
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2.古典概型
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具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称

古典概型.

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3.古典概型的概率公式

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A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)=__________________________.
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1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的

吗?
【提示】 不一定等可能.如试验一粒种子是否发芽,

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其发芽和不发芽的可能性是不相等的. 2.如何确定一个试验是否为古典概型?
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【提示】

判断一个试验是否是古典概型,关键在于这

个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.

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1.(人教A版教材习题改编)甲、乙、丙三名同学站成一 排,甲站在中间的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 2 3 3 【解析】 甲、乙、丙三名同学站成一排,有6个基本 事件,其中甲站在中间的基本事件有2个,故所求概率为P 2 1 = = . 6 3

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【答案】

C





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2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一 个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位 同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4
【解析】 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性 有3×3=9种,其中,甲、乙参加同一小组的情况有3种. 3 1 故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P= = . 9 3

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【答案】

A





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3.(2013·梅州调研)从1,2,3,4这四个数中一次随机
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地 取 两 个 数 , 则 其 中一个数 是另一个 数的两倍的概率是 ________.

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【解析】 从1,2,3,4中随机取两个数,不同的结 果为{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 有6个基本事件.满足一个数是另一个数两倍的取法有{1, 2},{2,4}共两种, 2 1 ∴所求事件的概率P= = . 6 3
1 【答案】 3

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4.(2012· 浙江高考)从边长为 1 的正方形的中心和顶点 2 这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 的 2 概率是________.
【解析】 如图,在正方形 ABCD中,O为中心, ∵正方形的边长为1,∴两点距 2 离为 的情况有(O,A),(O,B), 2 (O,C),(O,D)4种, 4 2 故P= 2= . C5 5

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2 【答案】 5
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(2012·山东高考)袋中有五张卡片,其中红色卡片三

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张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不

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同且标号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡 片中任取两张,求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的 概率.
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【思路点拨】
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依题意,所求事件的概率满足古典概

型,分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数
m,进而利用古典概型概率公式计算.

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【尝试解答】 (1)从5张卡片中任取两张,共有n=C 2 5 =10种方法, 记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A, 1 则A包含基本事件m=C 1 C 2 -1=3个,由古典概型概率公 2 m 3 式,P(A)= n = . 10

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2 (2)从6张卡片中任取两张,共有n=C 6 =15个基本事 件,记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B, 1 1 则事件B包含基本事件总数m=C1(C1+C1)+(C2C1-1) 2 3 2 =8, m 8 ∴所求事件的概率P(B)= n = . 15

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1.有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件

总数和所求事件包含的基本事件数.
2.(1)用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重 复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与 组合,以及计数原理的正确使用.

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甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女, 乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2 名教师性别相同的概率;

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(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名老师来
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自同一学校的概率.

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【解】 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名,共 有n=C1×C1=9种选法. 3 3 记“2名教师性别相同”为事件A,则事件A包含基本 m 4 1 1 事件总数m=C2·1+C2·1=4,∴P(A)= n = . 9 (2)从报名的6人中任选2名,有n=C2=15种选法. 6 记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B,则事件 2 B包含基本事件总数m=2C3=6. 6 2 ∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)= = . 15 5

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为振兴旅游业,某省2012年“国庆、中秋黄金周”面 向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发 行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银 卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游 3 团到该省名胜旅游,其中 是省外游客,其余是省内游 4 1 2 客.在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡. 3 3

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(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;

(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人
数相等的概率.

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【思路点拨】

首先求出省内、省外游客人数及持金卡、

银卡人数,然后求出基本事件总数及所求事件包含的基
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本事件数,最后代入公式求解.
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【尝试解答】 (1)由题意得,省外游客有27人,其中 9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”, C1C1 2 6 30 则P(A)= 2 = , C36 7 2 所以“采访该团2人,恰有1人持银卡”的概率是 . 7 (2)设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人 数相等”. 事件B1“采访该团2人,持金卡的有0人,持银卡的有0 人”;事件B2“采访该团2人,持金卡的有1人,持银卡的 有1人”.

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则事件B1,B2互斥,且B=B1+B2, 1 C2 C1C6 21 9 ∵P(B1)= 2 ,P(B2)= 2 . C36 C36 C2 C1C1 44 21 9 6 ∴P(B)=P(B1)+P(B2)= 2 + 2 = , C36 C36 105 44 所以采访2人中,持金卡与持银卡人数相等的概率是 . 105

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1.本题属于求较复杂事件的概率问题,解题关键是

理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型.必
要时将所求事件转化成互斥事件或对立事件的概率. 2.(1)在解决与互斥事件有关问题时,首先分清所求 事件是哪些事件组成的,是否具备互斥的条件,一个事 件是由几个互斥事件组成的,做到不重、不漏.(2)在求

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基本事件总数和所求事件包含基本事件的数目时,要保
证计数的一致性,用排列时都按排列计数;用组合时, 均用组合计数.

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本例中条件不变,在该团中随机采访3名游客,求恰有1

人持金卡且持银卡者少于2人的概率.
【解】 由题意得,省外游客有27人,其中9人持金

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卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件C为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡 者少于2人”,

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事 件C1 为 “ 采 访 该 团3人 中 , 1人 持 金 卡,0人 持 银 卡”,

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事 件 C2 为 “ 采 访 该 团 3 人 中 , 1 人 持 金 卡 , 1 人 持 银
卡”.
菜 单

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2 C1C21 C1C1C1 9 9 6 21 P(C)=P(C1)+P(C2)= 3 + C36 C3 36 9 27 36 = + = . 34 170 85 所以“在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银 36 卡者少于2人”的概率是 . 85

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(2013·湛江质检)某日用品按行业质量标准分成五个
等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品 中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分 布表如下:

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X f

1 a

2 0.2

3 0.45

4 b

5 c

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(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,
等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1, x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2, x3 ,y1 ,y2 这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出

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的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品
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的等级系数恰好相等的概率.

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【思路点拨】
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对于第(1)问,由频率分布表可得出a、
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b、c的关系a+0.2+0.45+b+c=1,再根据等级系数为4的 恰有3件,等级系数为5的恰有2件的条件分别得出b,c的 值,从而求出a的值.对于第(2)问,从日用品x1 ,x2 ,x3 , y1,y2中任取两件结果等可能,为古典概型,利用公式就可

求得结果.
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(1)抽取的20件日用品中,等级系数为4 3 的恰有3件,所以b= =0.15. 20 2 等级系数为5的恰有2件,所以c= =0.1. 20

【尝试解答】

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由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, ∴a=0.35-b-c=0.1. 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件, 所有可能情况为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1, y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2}, {y1,y2}. 设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两 件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为 {x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4个. 4 又基本事件的总数为10,故所求的概率P(A)= =0.4. 10

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1.本题综合考查概率与统计的知识,数学应用意 识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或 然思想. 2.(1)此类问题求解的关键是准确提炼数据信息,正

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确运算,注重思想方法的培养.(2)注重正反两方面的思
维训练,提升自己的思维水平.
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(2012·天津高考)某地区有小学21所,中学14所,大学7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学 生进行视力调查.

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(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据
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分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2所学校均为小学的概率.

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(1)由分层抽样定义知,从小学中抽取的学校 21 数目为6× =3;从中学中抽取的学校数目为 21+14+7 14 6× =2;从大学中抽取的学校数目为 21+14+7 7 6× =1. 21+14+7 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3, 2,1.

【解】

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(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1, A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2 所学校的所有等可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1, A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2, A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4, A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种. ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的 所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种, 3 1 所以P(B)= = . 15 5

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从集合的角度看概率,在一次试验中,等可能出现的 全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元 素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集.故P(A) card(A) m = = . card(I) n
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1.列举法:适用于较简单的试验. 2.树状图法:适用于较为复杂的问题中的基本事件的 探求.另外在确定基本事件时,(x,y)若看成是有序的,则 (1,2)与(2,1)不同;{x,y}若看成无序的,则{1,2}与{2,

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1}相同.
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从近两年的高考试题来看,古典概型是高考的热点,

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可在选择题、填空题中单独考查,也可在解答题中与统
计等知识渗透综合考查,但题目一般不超过中等难度,
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以考查基本概念和基本运算为主,求解的关键在于正确 计算随机试验不同的结果及事件A包含的基本事件数.
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易错辨析之十八
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古典概型的基本事件计算不准致误
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(2013· 深圳模拟)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个 偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 α=(a,b), 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边 作平行四边形(记所有作成的平行四边形的个数为 n),若平 行四边形的面积等于 2,记为事件 A,则 P(A)等于( ) 2 1 4 1 A. B. C. D. 15 5 15 10
【错解】 ∵以原点为起点的向量α=(a,b)有(2, 1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个. 6×5 从中任取两个为邻边作平行四边形,则n= =15 2 个.
菜 单

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其中由(2,1)与(4,1),(2,1)与(4,3)确定的平行四边 形面积为2, 因此事件A含有基本事件数m=2. m 2 根据古典概型,P(A)= = . n 15
【答案】 A

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错因分析:(1)没能结合图形确定面积为2的平行四边形 的个数,遗漏(2,3)与(4,5)导致结果错误. (2)本题还易出现错误地认为是n=6×5=30,错将取两 个向量作平行四边形看成是有顺序的,导致错选D.

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防范措施:(1)准确理解题意,正确确定事件类型.
(2)计算基本事件总数时,可画出几何图、树形图,利
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用枚举法、列表法、坐标网格法是克服此类错误的有效手
段.
菜 单

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【正解】 以原点为起点的向量α=(a,b)有(2,1)、 (2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个. 6×5 从中任取两个为邻边作平行四边形,则n= =15 2 个. 如图所示,结合图形进行计算,其中由(2,1)与(4, 1),(2,1)与(4,3),(2,3)与(4,5)确定的平行四边形面积 为2.

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∴面积为2的平行四边形的个数m=3. m 3 1 根据古典概型,P(A)= = = . n 15 5
【答案】 B

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1.(2012· 广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两 位数中任取一个,其个位数为0的概率是( ) 4 1 2 1 A. B. C. D. 9 3 9 9

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【解析】
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依题设,个位数与十位数之和为奇数,则个

位数与十位数中必一个奇数一个偶数,所以可以分两类.

(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位
数. (2)当个位为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位 数.
菜 单

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因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个 5 1 位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P= = . 45 9
【答案】 D

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2.(2013·佛山调研)为预防H1N1病毒爆发,某生物技术
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公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫
苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2 000个流感样本分成三组,测试结果如下表: 分组 A组 673 77 B组 a 90 C组 b c

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疫苗有效 疫苗无效

已知在全体样本中随机抽取1个,抽取B组疫苗有效 的概率是0.33.

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(1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结
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果,问应在C组抽取样本多少个? (2)已知b≥465,c≥30,求通过测试的概率.

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a 【解】 (1)∵ =0.33,∴a=660, 2 000 ∴b+c=2 000-673-77-660-90=500, 500 ∴应在C组抽取样本个数是360× =90(个). 2 000 (2)∵b+c=500,b≥465,c≥30, ∴(b,c)的可能性是(465,35),(466,34),(467, 33),(468,32),(469,31),(470,30).

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若测试没有通过,则77+90+c>2000×(1-90%)= 200,c>33,(b,c)的可能性是(465,35),(466,34). 记“疫苗通过测试”为事件A, 2 1 ∵P(A)= = , 6 3 2 ∴疫苗通过测试的概率为P(A)=1-P(A)= . 3

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课后作业(六十八)

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