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高二数学下学期常用逻辑用语总复习


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学儒教育一对一个性化教案
学生姓名 教师 年级 学科 教学步骤 及 教学内容 授课日期 上课时段

常用逻辑用语

目标认知 考试大纲要求:
1. 理解命题的概念;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2. 了解命题“若 p,则 q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题,分析四种命题相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 4. 理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点:充分条件与必要条件的判定 难点:根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。 知识要点梳理 知识点一:命题
1. 定义: 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题. (1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如 p,q,r,m,n 等. (2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真 命题 (3)命题“ ① 若要判断命题“ 判断。如: 一定推出 .
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”的真假判定方式: ”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助

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② 若要判断命题“ 注意:“ ”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.

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不一定等于 3”不能判定真假,它不是命题.

2. 逻辑联结词: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. (1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. (2)复合命题的构成形式: ①p 或 q;②p 且 q;③非 p(即命题 p 的否定). (3)复合命题的真假判断(利用真值表): 非 真 真 假 假 真 假 真 假 假 假 真 真 真 真 真 假 真 假 假 假

①当 p、q 同时为假时,“p 或 q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”; ②当 p、q 同时为真时,“p 且 q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。 ③“非 p”与 p 的真假相反. 注意: (1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p 或 q”为例:一是 p 成立 且 q 不成立,二是 p 不成立但 q 成立,三是 p 成立且 q 也成立。可以类比于集合中“ (2)“或”、“且”联结的命题的否定形式: “p 或 q”的否定是“ p且 q”; “p 且 q” 的否定是“ p或 q”. 或 ”.

(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。 π 例题 1:命题“若 α=4,则 tan α=1”的逆否命题是 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 答案 C

(

)

π π 解析 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”,故选 C. 4 4

例题 2

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知识点二:四种命题
1. 四种命题的形式: 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 p和 q 分别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为:
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原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 p则 q; 逆否命题:若 q则 p.

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2. 四种命题的关系

①原命题 ②逆命题

逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一. 否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题与集合之间可以建立对应关系, 在这样的对应下, 逻辑联结词和集合的运算具有一致性, 命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”,因此,我们 就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。 例题 1: (1)下面是关于复数 z=
p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为 A.p2,p3 C.p2,p4 B.p1,p2 D.p3,p4 ( ) 2 的四个命题: -1+i

(2)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是 ( )

A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题 B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数 z,再利用复数的知识判断命题真假;(2)利用四种命题的定义判断四种命题 形式是否正确,可利用四种命题的关系判断命题是否为真. 答案 (1)C (2)D 2?-1-i? 2 解析 (1)z= = =-1-i, -1+i ?-1+i??-1-i?
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所以|z|= 2,p1 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2 为真命题, z =-1+i,p3 为假命题;p4 为 真命题.故选 C. (2)命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞)上是增函数, 则 m≤1”是真命题, 所以其逆否命题“若 m>1, 则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命 题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断 其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例.

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知识点三:充分条件与必要条件
1. 定义: 对于“若 p 则 q”形式的命题: ①若 p ②若 p q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件; p,记作 p q,则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件).

③若既有 p 2. 理解认知:

q,又有 q

(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论, 再用结论 推条件,最后进行判断. (2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. “必须且只须”.“等价于”“?反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法 (1)定义法: (2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原 命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用

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与 ; 与 ; 与

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Personaliaed Education 的等价关系,对于

条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断,比如 A B 可判断为 A B;A=B 可判断为 A B,且

B

A,即 A

B.

如图: “ “ ” ” “ “ ,且 ” 是 ” 是 的充分不必要条件.

的充分必要条件.

例题 1:如果对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1 成立”的
( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若[x]=[y],则|x-y|<1;反之,若|x-y|<1,如取 x=1.1,y=0.9,则[x]≠[y],即“[x]=[y]是|x- y|<1 成立”的充分不必要条件. )

例题 2:(2013· 福建)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 (
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.所以 A 正确. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

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知识点四:全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词 全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符 号“ ”表示,读作“对任意”。含有全称量词的命题,叫做全称命题。全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x) ”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.

成立”可表示为“

(II)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”,“存在一个”, “至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“ ”表示,读作“存在”。含有 存在量词的命题,叫做特称命题 为“ 特称命题“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立”可表示

”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定 (I)对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题 p: ,他的否定 : 全称命题的否定是特称命题。

(II)对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p: 注意: (1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一 次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。 (2)一些常见的词的否定: ,他的否定 : 特称命题的否定是全称命题。

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正面词 否定词 等于 不等于 大于 不大于 小于 不小于 是 不是 都是 不都是 一定是 一定不是

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Personaliaed Education 至少一个 一个也没有 至多一个 至少两个

例题 1:命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是
A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 答案 C

(

)

解析 由已知得,对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0,是全称命题.它的否定是特称命题,“任意的”的 否定是“存在”,“≤0”的否定是“>0”,故选 C.

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规律方法指导
1. 解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真 假性一致. 2. 要注意区分命题的否定与否命题. 3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二 者相互对照可加深认识和理解. 4. 处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明,必须证明充分 性,又要证明必要性;判断充要条件一般有三种方法:用集合的观点、用定义和利用命 题的等价性;求充要条件的思路是:先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件. 5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。 总结升华:
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1. 判断复合命题的真假的步骤: ①确定复合命题的构成形式; ②判断其中简单命题 p 和 q 的真假; ③根据规定(或真假表)判断复合命题的真假. 2. 条件“ 或 ”是“或”的关系,否定时要注意.

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类型二:四种命题及其关系
2. 写出命题“已知 真假。 解析:逆命题:已知 否命题:已知 逆否命题:已知 总结升华: 1.“已知 是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略; 是实数,若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题; 是实数,若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,真命题; 是实数,若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,真命题。 是实数,若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其

2. 互为逆否命题的两个命题同真假; 3. 注意区分命题的否定和否命题.

类型三:全称命题与特称命题真假的判断
总结升华: 1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中每一个元素 ,验证 要判断全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 ,使 成立;

不成立可; ,使

2. 要判断一个特称命题的真假,依据:只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.

类型四:充要条件的判断
总结升华: 1. 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论; 2. 正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换,特别是 与 关系.

类型五:求参数的取值范围
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总结升华:由 p 或 q 为真,知 p、q 必有其一为真,由 p 且 q 为假,知 p、q 必有一个为假,所以,“p 假且 q 真”或“p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件,再分类讨论.

总结升华:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。

类型六:证明
总结升华: 利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论).从这个假设出发,经过推理论证, 得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现, 或以“至多?”、“至少?”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是 比原命题更具体更容易研究的命题. 2. 反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题. 总结升华: 1. 对于充要条件的证明,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什 么,结论是什么。 2. 充分性:由条件 3.叙述方式的变化(比如 结论 ;必要性:由结论 条件 . ”).

1.

是 的充分不必要条件”等价于“ 的充分不必要要条件是

巩固练习
一、选择题 1.下列语句中的简单命题是( A. ) B. ? ABC 是等腰直角三角形 D.负数的平方是正数
2

3 不是有理数

C.3x+2<0 2.命题:“方程 x -2=0 的解是 x= ? A.没有使用逻辑联结词 C.使用了逻辑联结词“或” 3.“a +b ≠0”的含义是( A.a,b 不全为 0 C.a,b 中至少有一个为0
2 2

2 ”中使用逻辑联系词的情况是(
B.使用了逻辑联结词“且” D.使用了逻辑联结词“非”



) B.a,b 全不为 0 D.a,b 中没有0 )

4.如果命题“非 p 为真”,命题“p 且 q”为假,那么则有( A.q 为真 B.q 为假 C.p 或 q 为真

D.p 或 q 不一定为真

5.

x y

>1 的一个充分不必要条件是(
B.x>y>0

)
C.x<y D .y <x <0

A.x>y 6.下列全称命题

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①末位是0的整数,可以被 2 整除;②不相交的两条直线是平行直线;③偶函数的图像关于 y 轴对称;④正 四面体中两侧面的夹角相等; 其中真命题的个数为( A.l ①若 A ? B ,则 A ③若 a ? ( A ) B.2 C.3 ②若 A D.0

7.已知集合 A、B,全集∪,给出下列四个命题

B?B;

B ? B ,则 A B ? B ;

C B) ,则 a ? A ;
)

④若 a ? C

( A B) ,则 a ? ( A B)

则上述正确命题的个数为( A.1 8.给出命题: B.2

C.3

D .4

①若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1 或 x=2; ③若 x=y=0,则 x 2 ? y 2 那么( )

②若 ? 2 ? x ? 3 ,则 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ;

?0;

④若 x, y ? N ? ,x+y 是奇数,则 x,y 中一奇,一偶.

A.①的逆命题为真

B.②的否命题为真 )

C.③的逆否命题为假

D.④的逆命题为假

9.下列命题中,真命题的个数为( ①对所有正数 x,

x?x



②不存在实数 x,使 x<4 且 x2+5x=24 ④3≥3. D.4



③存在实数 x,使得|x+1|≤1 且 x2>4 ; A.1 B.2 C.3

10.给出下列四个命题: ①有理数是实数; ③?x∈R,x -2x>0;
2

②有些平行四边形不是菱形; ④?x∈R,2x+1 为奇数. ) C.①②③④ D.③

以上命题的否定为真命题的序号依次是( A.①④ 二、填空题 B.①②④

11.分别用“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”填空: 命题“非空集 A ? B 中的元素既是 A 中的元素,也是 B 中的元素”是 A ? B 中的元素是 A 中元素或 B 中的元素”是 是 A 中的元素”是 的形式. . 的形式;命题“非空集

的形式;命题“非空集 CUA 的元素是 U 中的元素但不

12.命题“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 13.命题“?x∈R,x≤1 或 x >4”的否定为 . 14. 用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件;
2

② ? p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ③ A:

x ? 2 ? 3 , B : x2 ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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15.命题“ ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是______

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