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北京市2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编2:函数


北京 2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (2013 北京房山二模数学文科试题及答案)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调

递增的是 A. y ? x ? 1
【答案】

( B. y ? tan x D.
y?? 2 x
3 D. y ? x
<

br />)

C.

2 . (2013 北京东城高三二模数学文科)根据表格中的数据,可以断定函数 f ( x ) ? ln x ?

3 x

的零

点所在的区间是

( 1 0 3

) 2 0.69 1.5 B. (2, e) C. 1 1.10 C. (e, 3)

x
ln x
3 x

e

3 1.10 1

5 1.61 0.6 D. (3, 5)

A. (1, 2)
【答案】

3 . (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18 %,

经过 x 年,绿化面积与原绿化面积之比为 y ,则 y ? f ( x ) 的图像大致为

( A.
【答案】



B. D.

C.

D.

4 . 2013 北京西城高三二模数学文科) ( 给定函数:① y ? x ;② y ? 2 ;③ y ? cos x ;④ y ? ? x ,
2
x

3

其中奇函数是 A.① 【答案】 D;

( B.② C.③ D.④



5 . (2013 届北京海滨一模文)已知 a ? 0 ,下列函数中,在区间 (0, a) 上一定是减函数的是





A. f ( x ) ? ax ? b
x C. f ( x ) ? a

2 B. f ( x ) ? x ? 2 ax ? 1

D. f ( x ) ? log a x (
?x

【答案】B 6 . (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)下列函数中,为偶函数且有最小值的是



A. f ( x ) ? x ? x
2

B. f ( x ) ?| ln x |

C. f ( x ) ? x sin x
-1-

D. f ( x ) ? e ? e
x

【答案】

D.

7 . 2013 北 京 丰 台 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 偶 函 数 f(x)(x∈R), 当 x ? ( ?2, 0] (

时,f(x)=-x(2+x),当 x ? [2, ?? ) 时,f(x)=(x-2)(a-x)( a ? R ). 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=2,m=0 时,直线 l 与图象 G 恰有 3 个公共点; ② 当 a=3,m= ③ 等. 其中正确命题的序号是 A.①②
【答案】

1 4

时,直线 l 与图象 G 恰有 6 个公共点;

?m ? (1, ?? ), ?a ? (4, ?? ) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相

( C.②③ D.①②③



B.①③ D.

8 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知函数

?log 4 x, x ? 0 f ( x) ? ? x ?3 , x ? 0
?
D


,则

f[f (

1 )] ? 16





A. 9
【答案】B

1 B. 9

C. ? 9

1 9

9 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)如果 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x ) ,

若 f (1) ? lg 3 ? lg 2 , f (2) ? lg 3 ? lg 5 ,则 f (3) 等于 A.1 C.-1
【答案】A 10. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知函数 f ( x ) ? ?





B.lg3-lg2 D.lg2-lg3

? 2,
2

x?0

? x ? 4 x ? 2, x ? 0

的图象与直线

y ? k ( x ? 2) ? 2 恰有三个公共点,则实数 k 的取值范围是
2 A. ? 0,?
【答案】A





2 B. ? 0,?

2 C. ? -?,?

+? D. ? 2, ?

11. (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知函数 f ( x) ? x ? ( a ? b) x ? ab ? 2( a ? b) 的两个
2

零点为 ? , ? (? ? ? ) ,则实数 a,b,? , ? 的大小关系是





-2-

A. a ? ? ? ? ? b
【答案】A

B. ? ? a ? ? ? b

C. a ? ? ? b ? ?

D. ? ? a ? b ? ?

12. (2013 届北京丰台区一模文科)如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程

lg( x ? y ) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是
A.y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 B.y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 C.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 D. y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 【答案】C





13 . 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 文 科 试 题 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? a ? 2 ? 1( a ? 0) , 定 义 函 数 (
x

? f (x ) , F ( x) ? ? ? ? f ( x ),

x ? 0, x ? 0.

给出下列命题:

① F ( x ) ? f ( x ) ; ②函数 F ( x ) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有

F ( m) ? F ( n)? 0成立,其中所有正确命题的序号是
A.② B.①③ 第二部分(非选择题 共 110 分) 【答案】 C. C.②③ D.①②





14. (2013 届北京东城区一模数学文科)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当

x ? ?3 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 .若函数 f ( x ) 在区间 ( k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为
A. 2 或 ?7 【答案】A B. 2 或 ?8 C. 1 或 ?7 D. 1 或 ?8
c ? ? x ? ? ax ? cy ? ? x? ? ? a ? ,称 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? d ? ? y ? ? bx ? dy ? ? y ? ?b





?a 15. (2013 北京房山二模数学文科试题及答案) 定义运算 ? ?b

c ? ?x? ? x? ? ? 2 ? ? ? 为将点 ? x , y ? 映到点 ? x ?, y ? ? 的一次变换.若 ? ? ? = ? d ? ? y? ?y ? ?p

? 1? ? x ? ? ? ? 把直线 y ? x 上的 q ? ? y?

各点映到这点本身,而把直线 y ? 3 x 上的各点映到这点关于原点对称的点.则 p, q 的值分 别是 A. p ? 3, q ? 3
【答案】

( B. p ? 3, q ? ?2 B.
| x|



C. p ? 3, q ? 1

D. p ? 1, q ? 1

16. (2013 北京西城高三二模数学文科) 已知函数 f ( x ) ? e ? | x | .若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有

两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 A. (0,1) B. (1, ?? ) C. ( ?1, 0)
-3-

( D. ( ?? , ?1)



【答案】

B;

17. (2013 北京房山二模数学文科试题及答案) 为了得到函数 y ? lg

x 10

的图象,只需把函数 ( )

y ? lg x 的图象上
A.所有点向右平移 1 个单位长度 C.所有点的横坐标缩短到原来的 原来的 B.所有点向下平移 1 个单位长度

1 10

(纵坐标不变)

D.所有点的纵坐标缩短到

1 10

(横坐标不变) B.

【答案】

18. (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案) 定义一种新运算: a ? b ? ?

?b, ( a ? b ) ?a, (a ? b)

已知函数

4 f ( x ) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范围为_(__) ( x
A. ?1, 2 ?
【答案】 二、填空题 19. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习文科数学)函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,



B. (1, 2) B.

C. (0, 2)

D. (0,1)

且 满 足 f ( x ? 2) ? f ( x) . 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? 2 x . 若 在 区 间 [?2, 2] 上 方 程

ax ? a ? f ( x) ? 0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 ________.
【答案】 ? 0,1?

1 20. (2013 北京东城高三二模数学文科)对定义域的任意 x ,若有 f ( x ) ? ? f ( ) 的函数,我们称 x

为满足“翻负”变换的函数,下列函数:

? ? x , 0 ? x ? 1, ? 1 x ? 1, 中满足“翻负”变换的函数是___. ① y ? x ? ,② y ? log a x ? 1 ,③ y ? ? 0, x ? 1 ? ? , x ? 1. ? x
(写出所有满足条件的函数的序号) 【答案】 ①③
21.2013 届房山区一模文科数学) ( 已知函数 f ( x) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2

时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为非减函

-4-

数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ;
4 f( )? 5 ____, f ( 1 ) ? ____. 12
【答案】

x 1 f ( ) ? f ( x) 2 ② 5 ;

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则

1 1 , 2 4

?2 ? x ? 1 x ? 0 22. (2013 届北京大兴区一模文科) 已知函数 f ( x ) ? ? 1 在区间 [- 1, m ] 上的最大值是 ? x?0 ?x 2 ?

1,则 m 的取值范围是 .
【答案】

? ?1,1?
? log 2 x , ? 2 ? x, x?2 x?2
,则满足 f ( x ) ? 2

23.2013 北京顺义二模数学文科试题及答案) ( 设函数 f ( x ) ? ?

的 x 的取值范围是__________.
【答案】

? 0, 4 ?

24. (2013 届北京海滨一模文)已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ?R ,定义集合: At ? { y | y ? f ( x ) ,

点 P (t , f (t )) , Q ( x , f ( x )) 满足 | PQ |? 最小值,记 h ( t ) ? M t ? mt .则

2} . 设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和

(1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______;
f ( x ) ? sin π x 2 ,则 h ( t ) 的最小正周期为______.

(2)若函数
【答案】 2,

2
x ? 0, x?0

?2 x ? a, ? 25. (2013 届北京海滨一模文)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ? x ? ax ? a , ?

有三个不同的零点,则实数

a 的取值范围是_____.
【答案】 a ? 4 26. (2013 届房山区一模文科数学) 某商品在最近 100 天内的单价 f (t ) 与时间 t 的函数关系是

-5-

?t ? 4 ? 22 ? f (t ) ? ? ? ? t ? 52 ? 2 ?

(0 ? t ? 40, t ? N ) (40 ? t ? 100, t ? N )

日 销 售 量 g (t ) 与 时 间 t 的 函 数 关 系 是

t 109 g (t ) ? ? ? (0 ? t ? 100, t ? N ) 3 3 .则这种商品的日销售额的最大值为____.
【答案】

808.5
? log 2 x , x ? 0,
x ?2 ,

27 .( 2013 届 北 京 西 城 区 一 模 文 科 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

x ? 0,



1 f ( ) ? f ( ?2) ? ______. 4 7 【答案】 ? ; 4
28. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)函数 f(x)=(x-a)(x+2)为偶函数,则实数

a=_________________. 【答案】2

? x 2 ? 2 a x, x 1 , ? ? ) 29 . 2013 届 北 京 丰 台 区 一 模 文 科 ) 已 知 实 数 a ? 0 , f ( x ? ? ( 若方程 1 ? l o g x ,x ? 1 , ? 2

3 f ( x ) ? ? a 2 有 且 仅 有 两 个 不 等 实 根 , 且 较 大 实 根 大 于 2, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 4
________.
【答案】 三、解答题 30. (2013 届北京市延庆县一模数学文) A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x)

(

2 3 3

, 2] .

组成的集合: (1)对任意 x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; (2)存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |

? L | x1 ? x2 | .
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A ; (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的.

-6-

【答案】解:(Ⅰ)对任意 x ? [1,2] , ? ( 2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,
3

3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以 ? (2 x) ? (1,2)

对任意的 x1 , x 2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |
3

2

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?

2

,

3?

3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,
2 ? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
2

所以 0<

?1 ? 2 x1 ?2

?

2 3

,


3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2

= L ,0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |? L | x1 ? x 2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? ? ? (Ⅱ)反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则
由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x 0 ? x 0 |? L | x 0 ? x 0 | ,所以 L ? 1 ,
/ /

/

/

矛盾,故结论成立
31. (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)如果函数 y ? f (x ) 的定义域为 R ,对于定义域内

的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a ) ? f ( ? x ) 成立,则称此函数具有“ P (a ) 性质”. (I)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P (a ) 性质”,若具有“ P (a ) 性质”,求出所有 a 的值; 若不具有“ P (a ) 性质”,请说明理由; (II)设函数 y ? g (x ) 具有“ P (?1) 性质”,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.
【 答 案 】 解 :(I) 由 sin( x ? a ) ? sin( ? x ) 得 sin( x ? a ) ? ? sin x , 根 据 诱 导 公 式 得

1 1 ? x ? 时, g ( x ) ? x .若 y ? g (x ) 2 2

a ? 2k? ? ? ( k ? Z) .? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质”,其中 a ? 2k? ? ? ( k ? Z)
(II)? y ? g (x ) 具有“ P (?1) 性质”,? g (1 ? x ) ? g ( ? x ) , g ( ?1 ? x ) ? g ( ? x ) ,

-7-

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x ) ? g ( ?1 ? x ) ? g ( x ) ,从而得到 y ? g (x ) 是以 2 为周期的函数.
又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g ( x ) ? g ( x ? 2) ? g ( ?1 ? x ? 1) ? g ( ? x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

1 1 ? x ? n ? ( n ? Z) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2 k ( k ? z ), 2 k ? ? x ? 2 k ? ,则 ? ? x ? 2 k ? , 2 2 2 2
再设 n ?

g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;


n ? 2k ? 1

( k ? Z)

,

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? , g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? 1 ? x ? n ; 2 2 1 1 ( n ? z ), 都 有 g ( x ) ? x ? n , 而 ? 对 于 n? ? x?n? 2 2 1 1 , ? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( n ? 1) ? x ? n ? g ( x ) , ? n ?1? ? x ?1? n ?1? 2 2
y ? g (x ) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x ) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x ) 在

[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 , 1007 ] 有一个交点.? y ? mx 过 (
从而得 m ?

2013 , 2

1 ), 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 2013

-8-


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