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2.2.2.1椭圆的简单几何性质


2.2.2 椭圆的简单几何性质

图中椭圆的标准方程为 x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2 问题 1:椭圆具有对称性吗? 提示:有.椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形,也是以 x 轴,y 轴为对称轴的轴 对称图形. 问题 2:可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗? 提示:可以,令 y=0 得 x=± a,故 A1(-a,0),A2(a,

0),同理可得 B1(0,-b),B2(0,b). 问题 3:椭圆方程中 x,y 的取值范围是什么? 提示:x∈[-a,a],y∈[-b,b]. 问题 4:当 a 的值不变,b 逐渐变小时,椭圆的形状有何变化? 提示:b 越小,椭圆越扁.

(1)椭圆的简单几何性质: 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方 程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 -a≤x≤a 且-b≤y≤b A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b), B2(0,b)

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -b≤x≤b 且-a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0), B2(b,0)

短轴长=2b,长轴长=2a F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c 对称轴 x 轴和 y 轴,对称中心(0,0) F1(0,-c),F2(0,c)

离心率

c e= (0<e<1) a

(2)当椭圆的离心率越接近于 1,则椭圆越扁;当椭圆的离心率越接近于 0,则椭圆越接 近于圆.

1.椭圆的范围从图形上看非常直观,就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围.利 x2 y2 用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题. 设 P(x, y)为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点, a b 由图形易知当 x=0 时,|OP|取得最小值 b,此时 P 位于椭圆短轴端点处;当 x=± a 时,|OP| 取得最大值 a,这时 P 位于长轴端点处. 2.椭圆的顶点是它与坐标轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上,且这 两个顶点对应的线段为椭圆的长轴,因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上. 3.椭圆中的基本关系:①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形,三边满足 a2= b2+c2;②焦点到长轴邻近顶点的距离为 a-c(又称近地距离),到长轴另一顶点的距离为 a +c(常称为远地距离).

第一课时 椭圆的简单几何性质

椭圆的简单的几何性质 [例 1] 求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. [思路点拨] 化为标准方程,确定焦点的位置及 a,b,c 的值,再研究相应几何性质. x2 y2 [精解详析] 将椭圆方程变形为 + =1, 9 4 ∴a=3,b=2, ∴c= a2-b2= 9-4= 5.

∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2), c 5 离心率 e= = . a 3

[一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,不确定的要分类 讨论,找准 a 与 b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.

x2 1. 若椭圆 2+y2=1 的焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则椭圆的离心率为( a A. C. 3 2 2 2 1 B. 2 D. 5 2

)

解析:由椭圆方程知长轴长为 2a,短轴长为 2, ∴2a=2×2=4,∴a=2,∴c= c 3 ∴e= = . a 2 答案:A 2.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 长、焦点坐标、顶点坐标. x2 y2 解:椭圆方程可化为 + =1. m m m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> , m+3 m+3 m+3 m 即 a2=m,b2= ,c= m+3 由 e= 3 得 2 a2-b2= m?m+2? . m+3 3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的 2 22-12= 3,

m+2 3 = ,∴m=1. 2 m+3

y2 ∴椭圆的标准方程为 x2+ =1. 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1; 两焦点分别为 F1(- 四个顶点分别为 1 1 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2 利用椭圆的几何性质求标准方程 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 3 3 ,0),F2( ,0); 2 2

4 (1)长轴长是 10,离心率是 ; 5 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. [思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程,再利用待 定系数法求参数 a,b,c. [精解详析] (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a b a b c 4 由已知得 2a=10,a=5.e= = ,∴c=4. a 5 ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25 x2 y2 (2)依题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 如图所示, △A1FA2 为一等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9 [一点通] 利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法.其关键是根据已知条件 确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式,利用解方程(组)求得参数.

1 3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆 3 的方程是( ) x2 y2 B. + =1 36 20 x2 y2 D. + =1 36 32

x2 y2 A. + =1 144 128 x2 y2 C. + =1 32 36

c 1 解析:由题意 2a=12,∴a=6.又 e= = , a 3 x2 y2 ∴c=2,∴b2=62-22=32,∴椭圆方程是 + =1. 36 32 答案:D 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-4). 5 ; 5

x2 y2 解:(1)将方程 4x2+9y2=36 化为 + =1,可得椭圆焦距为 2c=2 5.又因为离心率 e 9 4 = 5 5 5 ,即 = ,所以 a=5,从而 b2=a2-c2=25-5=20. 5 5 a x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,则其标准方程为 + =1; 25 20 y2 x2 若椭圆焦点在 y 轴上,则其标准方程为 + =1. 25 20 (2)依题意 2a=2· 2b,即 a=2b. x2 y2 若椭圆焦点在 x 轴上,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b a=2b, ? ?a2=68, ? ? 则有? 4 16 解得? 2 ?b =17, 2+ 2 =1. ? ? ?a b x2 y2 所以标准方程为 + =1. 68 17 若椭圆焦点在 y 轴上, y2 x2 设其标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
2 ?a=2b, ? ? ?a =32, 则有?16 4 解得? 2 ?b =8. ? ? a2 +b2=1, ?

x2 y2 所以标准方程为 + =1. 8 32 椭圆的离心率问题

[例 3] 如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为椭圆上一 点,且 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30° .试求椭圆的离心率. [思路点拨] 通过已知条件 MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30° ,得到 Rt△

MF1F2 中边的关系,结合椭圆的定义建立参数 a,b,c 之间的关系,进而 求出椭圆的离心率. [精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c.因为 MF2⊥F1F2,所以 △MF1F2 为直角三角形. 又∠MF1F2=30° ,所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|= 而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a, 因此|MF1|= 4a 2a ,|MF2|= , 3 3 3 |MF1|. 2

∴2c=

3 4a c 3 × ,即 = , 2 3 a 3 3 . 3

即椭圆的离心率是

[一点通] 求离心率的值或取值范围是一类重要问题,解决这类问题通常有两种办法: c (1)直接求出 a 和 c 的值,套用公式 e= 求得离心率; a (2)根据题目条件提供的几何关系,建立参数 a,b,c 之间的关系式,结合椭圆定义以 及 a2=b2+c2 等,消去 b,得到 a 和 c 之间的关系,从而求得离心率的值或范围.

x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a b 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A P =2 PB ,则椭圆的离心率是( A. 3 2 B. 2 2

??? ?

??? ?

)

1 C. 3

1 D. 2

解析:∵ A P =2 PB ,∴| A P |=2| PB |. |PA| |AO| 2 又∵PO∥BF,∴ = = , |AB| |AF| 3 即 a 2 c 1 = ,∴e= = . a 2 a+c 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

答案:D 6.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个 交点为 P.若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________. 解析: 由题意知 PF2⊥F1F2, 且△F1PF2 为等腰直角三角形, 所以|PF2|=|F1F2|=2c, |PF1| 2c 1 = 2· 2c,从而 2a=|PF1|+|PF2|=2c( 2+1),所以 e= = = 2-1. 2a 2+ 1 答案: 2-1

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”, 常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定 类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.

1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐 标为( ) B.(0,± 10) D.(0,± 69)

A.(± 13,0) C.(0,± 13)

解析:由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10, 则 c= a2-b2= 69,故焦点坐标为(0,± 69). 答案:D 2. 若中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18, 且两个焦点恰好将长轴三等分, 则此椭圆的方程是( x y A. + =1 81 72 x2 y2 C. + =1 81 45
2 2

) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36

1 1 解析:由已知得 a=9,2c= · 2a,∴c= a=3. 3 3 x2 y2 又焦点在 x 轴上,∴椭圆方程为 + =1. 81 72 答案:A x2 y2 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直 a b 3a 线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|, 3 3 ∴2( a-c)=2c,∴3a=4c,∴e= . 2 4 答案:C x2 y2 10 4.已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( 5 m 5 A.3 C. 5 25 B .3 或 3 D. 15或 5 15 3 )

解析:由椭圆的标准方程,易知 m>0 且 m≠5. ①若 0<m<5,则 a2=5,b2=m. m 10 2 3 由 =1-( ) = ,得 m=3. 5 5 5 ②若 m>5,则 a2=m,b2=5. 5 10 2 3 25 由 =1-( ) = ,得 m= . m 5 5 3 25 所以 m 的值为 3 或 . 3 答案:B 5.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦 点在 x 轴上,且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. 解析:如图所示, |OF2| cos∠OF2A=cos 60° = , |AF2| c 1 即 = .又 a-c= 3, a 2 ∴a=2 3,c= 3, ∴b2=(2 3)2-( 3)2=9. x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9 x2 y2 答案: + =1 12 9 x2 y2 6.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离 a b 心率等于________. 解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上, ∴在直线 x+2y-2=0 中, 令 y=0 得 c=2;令 x=0 得 b=1. c 2 5 ∴a= b2+c2= 5.∴e= = . a 5 2 5 答案: 5 7.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐 2 标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c, 2 则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b), 3

则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b b2 5 ∴e2= 2= 2 =1- 2= , a a a 9

∴e=

5 . 3

法二:设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 2 则 M(c, b). 3 c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9 c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3 x2 y2 8.如图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右 a b 焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率;

???? ???? ???? ??? ? 3 (2)若 AF2 =2 F2 B , AF1 · AB =2,求椭圆的方程.
解:(1)若∠F1AB=90° ,则△AOF2 为等腰直角三角形, 所以有 OA=OF2,即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e= = . a 2 (2)由题意知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0). 其中,c= a2-b2,设 B(x,y). 由 AF2 =2 F2 B ?(c,-b)=2(x-c,y), 3c b 3c b 解得 x= ,y=- ,即 B( ,- ). 2 2 2 2

????

????

9 2 b2 c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1, a b a b 即 9c2 1 + =1, 4a2 4

解得 a2=3c2.①

???? ??? ? 3c 3b 3 又由 AF1 · ( ,- )= AB =(-c,-b)· 2 2 2
?b2-c2=1,即有 a2-2c2=1.② 由①②解得 c2=1,a2=3, 从而有 b2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2


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