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高中数学


第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二课时 平面向量的正交分解及坐标表 示

思考:给定平面内任意两个向量e1, e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1 +λ2e2的向量表示呢?

设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这 一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之 间的关系.

e1

a e2

M e1 a A a e2 N B

C

e1 e2
由图可知, OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB 即a=λ1e1+λ2e2. O

平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、 λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底(base).

不共线向量有不同方向,它们的位置关系可以用夹 角来表示.关于向量的夹角,规定: B 已知两个非零向量a和b.如图, 作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b θ O 的夹角. b a A

当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反 向.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作 a⊥b .

例1 已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2. C e1 e2 A -2.5e1 O 3e2 B

作法:1.如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2. 2.作平行四边形AOBC. OC就是求作的向量.

思考 (1)一组平面向量的基底有多少对?

(有无数对)
M A a C F M a C

O

N

B

O

N

E

(2)若基底选取不同,则表示同一向量的实数λ1、 λ2是否相同? (可以不同,也可以相同) F A B M a C

OC=OF+OE OC=2OA+OE OC=2OB+ON

O

N

E

特别的,若a=0,则有且只有: λ1=λ2=0 可使 0=λ1e1+λ2e2. 若λ1与λ2中只 有一个为零,情况 会是怎样?

特别的,若a与e1(e2)共线,则有λ2=0 (λ1=0),使得:a=λ1e1+λ2e2.

如图,光滑斜面上一个木块受到重力G的作用,产 生两个效果,一是木块受平行于斜面的力F1的作用, 沿斜面下滑;一是木块产生垂直于斜面的压力F2.也 就是说,重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果,即 G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力G分解. 类似地,由平面向量的 基本定理,对平面上的任意 向量a,均可以分解为不共线 的两个向量λ1a1和λ2a2,使 a=λ1a1+λ2a2.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情 形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把 向量正交分解.如图,重力G沿互相垂直的两个方向 分解就是正交分解.

如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴 方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的 一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对 实数x、y,使得 a=xi+yj. y a j O i x ①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定, 我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y), ② 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐 标,②式叫做向量的坐标表示. y 显然,i=(1,0), a j=(0,1), j O i x 0=(0,0).

如图,在直角坐标平面中,以原点O为起点作 OA=a,则点A的位置由向量a唯一确定.
y a y j a O i 设OA=xi+yj,则向量 OA的坐标(x,y)就是终 点A的坐标;反过来,终点 A的坐标(x,y)也就是向 量OA的坐标.因此,在平 面直角坐标系内,每一个 平面向量都可以用一有序 数对唯一表示.

x

x

例2 如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d, 并求出它们的坐标. y A2 解:由图可知, b
5 4 3 2 1

a
A
A1 2 3 4 5

a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3). 同理, x b=-2i+3j=(-2,3);

-5 -4 -3 -2

j -1O i 1 -1
-2 -3 -4 -5

c

d

c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).

练习
已知梯形ABCD,AB//CD,且AB= 2DC,M、N分 别是DC,AB的中点. 请大家在图中确一组基底,将其它向量用这组基底 表示出来.

D

M

C

A

N

B

解析:设AB=e1,AD=e2,则有: 1 1 DC= 2 AB = 2 e1 1 e =- 1 e +e BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+ 2 1 2 1 2 1 MN=DN-DM=(AN-AD)- 2 DC 1 1 M C D = 2 e1-e2- 4 e1

1 = 4 e1-e2
A N B


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