当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学


第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二课时 平面向量的正交分解及坐标表 示

思考:给定平面内任意两个向量e1, e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1 +λ2e2的向量表示呢?

设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这 一平面内的任

一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之 间的关系.

e1

a e2

M e1 a A a e2 N B

C

e1 e2
由图可知, OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB 即a=λ1e1+λ2e2. O

平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、 λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底(base).

不共线向量有不同方向,它们的位置关系可以用夹 角来表示.关于向量的夹角,规定: B 已知两个非零向量a和b.如图, 作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b θ O 的夹角. b a A

当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反 向.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作 a⊥b .

例1 已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2. C e1 e2 A -2.5e1 O 3e2 B

作法:1.如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2. 2.作平行四边形AOBC. OC就是求作的向量.

思考 (1)一组平面向量的基底有多少对?

(有无数对)
M A a C F M a C

O

N

B

O

N

E

(2)若基底选取不同,则表示同一向量的实数λ1、 λ2是否相同? (可以不同,也可以相同) F A B M a C

OC=OF+OE OC=2OA+OE OC=2OB+ON

O

N

E

特别的,若a=0,则有且只有: λ1=λ2=0 可使 0=λ1e1+λ2e2. 若λ1与λ2中只 有一个为零,情况 会是怎样?

特别的,若a与e1(e2)共线,则有λ2=0 (λ1=0),使得:a=λ1e1+λ2e2.

如图,光滑斜面上一个木块受到重力G的作用,产 生两个效果,一是木块受平行于斜面的力F1的作用, 沿斜面下滑;一是木块产生垂直于斜面的压力F2.也 就是说,重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果,即 G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力G分解. 类似地,由平面向量的 基本定理,对平面上的任意 向量a,均可以分解为不共线 的两个向量λ1a1和λ2a2,使 a=λ1a1+λ2a2.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情 形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把 向量正交分解.如图,重力G沿互相垂直的两个方向 分解就是正交分解.

如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴 方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的 一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对 实数x、y,使得 a=xi+yj. y a j O i x ①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定, 我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y), ② 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐 标,②式叫做向量的坐标表示. y 显然,i=(1,0), a j=(0,1), j O i x 0=(0,0).

如图,在直角坐标平面中,以原点O为起点作 OA=a,则点A的位置由向量a唯一确定.
y a y j a O i 设OA=xi+yj,则向量 OA的坐标(x,y)就是终 点A的坐标;反过来,终点 A的坐标(x,y)也就是向 量OA的坐标.因此,在平 面直角坐标系内,每一个 平面向量都可以用一有序 数对唯一表示.

x

x

例2 如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d, 并求出它们的坐标. y A2 解:由图可知, b
5 4 3 2 1

a
A
A1 2 3 4 5

a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3). 同理, x b=-2i+3j=(-2,3);

-5 -4 -3 -2

j -1O i 1 -1
-2 -3 -4 -5

c

d

c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).

练习
已知梯形ABCD,AB//CD,且AB= 2DC,M、N分 别是DC,AB的中点. 请大家在图中确一组基底,将其它向量用这组基底 表示出来.

D

M

C

A

N

B

解析:设AB=e1,AD=e2,则有: 1 1 DC= 2 AB = 2 e1 1 e =- 1 e +e BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+ 2 1 2 1 2 1 MN=DN-DM=(AN-AD)- 2 DC 1 1 M C D = 2 e1-e2- 4 e1

1 = 4 e1-e2
A N B


相关文章:
高中数学定义大集合
高中数学定义大集合_数学_高中教育_教育专区。数学定义一.集合与函数 1. 的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和...
高中数学高考真题
18. (本题满分 14 分)某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生 的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时 开设数学、...
高中数学公式汇总(上海版)
高中数学公式汇总(上海版)_数学_高中教育_教育专区。集合命题不等式公式 1、 CU ( A ? B) =___ CU A ? CU B ___; CU ( A ? B) =___ CU A ...
高中数学的特点和学习方法
高中数学的特点和学习方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学的特点和学习方法高中数学的特点(相对初中数学而言) :(1)知识量剧增。高中数学比初中数学在知识内容的“...
高中数学知识点体系框架超全超完美_图文
高中数学知识点体系框架超全超完美_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学知识点体系框架超全超完美_数学_高中教育_教育专区。第一...
高中数学重要结论
高中数学重要结论_数学_高中教育_教育专区。高中数学重要结论一.集合与简易逻辑 1. 摩根律: ? U(A∪B)= ( ? UA)∩( ? UB); ? U(A∩B)=( ? UA)∪...
高中数学必修课章节目录
高中数学必修课章节目录_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 1【高一(上)】第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1...
高中数学_集合知识讲解
? ? ? ? ? 二、复习指导 1.新课标知识点梳理 在高中数学中,集合的初步知识与常用逻辑用语知识,与其它内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使 用数学语言的...
高中数学统计、统计案例知识点总结和典例
高中数学统计、统计案例知识点总结和典例_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学统计、统计案例知识点总结和典例_数学_高中教育_...
高中数学基础知识与基本题型(完整版)
2.含有逻辑连结词的命题真假的判断: 含有逻辑连结词的命题真假的判断: 含有逻辑连结词的命题真假的判断 - 51 - 高中数学基础知识与基本题型(理) (CZM 整理)...
更多相关标签:
高中数学知识点总结 | 高中数学必修1 | 高中数学视频教学 | 高一数学 | 高中数学公式大全 | 高中英语 | 王后雄 | 高中 |