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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结


圆锥曲线
1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ; a y0 a b b 2 x0 x2 y 2 2 在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的

斜率 k= 2 ;在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中,以 a b a y0 p P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !
2.了解下列结论
2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 x ? y ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 a a2 b2 a2 b2 2 2 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1;

2b 2 b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛 a c 物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ;
2

② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4
2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1)在 ?ABC 中,给出 AD ?
2

????

? ???? 1 ??? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

?

?

(2)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外 心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (3)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三条中线的 交点) ; (4)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心是三角形 三条高的交点) ; ( 5) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ? , 使A B? ? A C ;③若存在实 数

2

2

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(6) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角,

????

??? ?

??? ?

? ? ? MA MB ? ? (8)给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?
(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;

??? ? ????

??? ? ????

4.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 解: (1) (2, 2 ) (2) (
A Q H P F B

。 当 A、P、F 三点

时,距离和最小。

1 ,1 ) 4

1、已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 4

的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ?

2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足

OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
2 2 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. 2 2

a

b

故 C2 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1. (II)将 y ? kx ? 2代入 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 3 4
1 k2 ? . 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 3

2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 得? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则xA ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 于是 2 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 3k ? 1 3k ? 1 15 3

由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15

故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹 为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA = ( -x,-1-y ) , MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由愿意得知 ( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

????

????

??? ?

???? ????

??? ?

1 2 1 2 1 ' 1 x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C: y= x -2 上一点, 因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y=

1 2 x0 ? 4 | 2 y0 ? x | 1 4 1 2 2 2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 则 O 点到 l 的距离 d ? .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 2 2 4 x0 ? 4 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 0

当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

2

3.设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( 2 a b

)

4.过椭圆 离心率为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的 a 2 b2

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y 0 ) 在双曲线 5.已知双曲线 2 b2
上.则 PF1 · PF2 =( )0

2 6. 已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB |,则

k ?(

)

7.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) , 则直线 l 的方程为_____________. 8.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2

; ?F1 PF2 的大小为

.


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