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上海市华师大二附中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷


上海市华师大二附中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 2 1. (3 分)扇形的半径为 1cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为 cm . 2. (3 分)已知角 α 的终边过点 P(﹣5,12) ,则 cosα=. 3. (3 分)已知 ,则 sin2α=.

4. (3 分)已知 α 是

锐角,则

=.

5. (3 分)化简:

=.

6. (3 分)若 α 是第三象限角,且 =.

,则

7. (3 分)在△ ABC 中,若 b=1,



,则 S△ ABC=.

8. (3 分) 隔河测算 A, B 两目标的距离, 在岸边取 C, D 两点, 测得 CD=200m, ∠ADC=105°, ∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,则 A,B 间的距离 m. 9. (3 分)定义 ,则函数 (x∈R)的值域为.

10. (3 分)定义在区间

上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P,

过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为. 11. (3 分)已知函数 f(x)=2x ﹣ax+1,存在 则实数 a 的取值范围是.
2

,使得 f(sin?)=f(cos?) ,

12. (3 分)设函数 值为 m,则 M+m=.

(x∈)的最大值为 M,最小

二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知 k∈Z,下列各组角的集合中,终边相同的角是() A. C. 与 与 B. 2kπ+π 与 4kπ±π D. 与

14. (4 分)在△ ABC 中,若 cosAcosB>sinAsinB,则此三角形一定是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.形状不确定 15. (4 分)给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y) ,f(x+y)=f(x)f(y) , .下列函数中不满足其中任何一个等式的是() A.f(x)=3
x

B.f(x)=sinx

C.f(x)=log2x

D.f(x)=tanx

16. (4 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x) ,且在上是减函数,α,β 是钝 角三角形的两个锐角,且 α<β,则下列不等式关系中正确的是() A.f(sinα)>f(cosβ) B. f(cosα)<f(cosβ) C. f(cosα)>f(cosβ) D.f(sinα)<f(cosβ)

三、解答题(本大题共 48 分) 17. (6 分)若 ,求 的值.

18. (8 分)设△ AB C 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 19. (10 分)已知函数 f(x)=2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及在 (2)若 f(x0)= ,x0∈ 上的单调递增区间; .

,求 cos2x0 的值.

20. (10 分)如图,单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点 ,单位圆与 y 轴的正半轴 交于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB) ,设∠BAO=β. (1)用 β 表示 α; (2)如果 ,求点 B(xB,yB)的坐标;

(3)求 xB﹣yB 的最小值.

21. (14 分)已知函数

是奇函数,定义域为区间

D(使表达式有意义的实数 x 的集合) . (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 a 满足 0<a<1,试判断函数 y=f(x)在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x∈A= 解答: 解:由 ,得 sin=sinα=﹣ ,

则 sinα=2sin

cos

=

=﹣

,解得 tan

=﹣ 或﹣ ,

由 α 是第三象限角,所以 则 所以 tan =﹣ , ,



故答案为:﹣ . 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式,考查学生灵活运用公式解决问题的能 力. 7. (3 分)在△ ABC 中,若 b=1,



,则 S△ ABC=



考点: 正弦定理的应用.

专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理求出 sinB 的值,可得 B 的值,再由三角形的内角和公式求出 A 的值,再 由 S△ ABC= 运算求得结果. 解答: 解: 由于在△ ABC 中, 若 b=1, , , 由正弦定理可得 = , ,

∴sinB= . 再由大边对大角可得 B= ∴则 S△ ABC= 故答案为 . = <A,∴A=π﹣B﹣C= , .

点评: 本题主要考查正弦定理的应用,三角形的内角和公式,大边对大角,属于中档题. 8. (3 分) 隔河测算 A, B 两目标的距离, 在岸边取 C, D 两点, 测得 CD=200m, ∠ADC=105°, ∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,则 A,B 间的距离 m. 考点: 专题: 分析: 解答: 余弦定理;正弦定理. 计算题;解三角形. 依题意,利用正弦定理可求得 AD ,BD,再利用余弦定理即可求得 AB. 解:作图如下:

∵CD=200m,∠ADC=105°,∠ACD=30°,∠BDC=15°,∠BCD=120°, ∴∠CAD=∠CBD=45°,∠BDA=90°; ∴在△ ACD 中,由正弦定理 ∴AD=100 ; 在△ BCD 中,同理可求 BD=100 . 在直角三角形 BDA 中,由勾股定理得 AB= = m. = . = ,即 = ,

故 A,B 间的距离为 200 故答案为 200 .

点评: 本题考查正弦定理与余弦定理,求得 AD,BD 是关键,考查作图与运算能力,属于 中档题. (x∈R)的值域为.

9. (3 分)定义

,则函数

考点: 二阶行列式的定义;正弦函数的定义域和值域. 专题: 新定义;三角函数的图像与性质. 分析: 利用新定义,展开 f(x)利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数 的形式,根据余弦函数的值域求解即可. 解答: 解:由题意
2

=sin x+4cosx=﹣cos x+4cosx+1=﹣(cosx﹣2)

2

2

+5∈. 故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,新定义的应用,考查计算能力.

10. (3 分)定义在区间

上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P,

过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 .

考点: 余弦函数的图象;正切函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先将求 P1P2 的长转化为求 sinx 的值,再由 x 满足 6cosx=5tanx 可求出 sinx 的值,从 而得到答案. 解答: 解:线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= .线段 P1P2 的长为 故答案为 .

点评: 考查三角函数的图象、数形结合思想.
2

11. (3 分)已知函数 f(x)=2x ﹣ax+1,存在 则实数 a 的取值范围是 .

,使得 f(sin?)=f(cos?) ,

考点: 函数与方程的综合运用. 专题 : 函数的性质及应用. 分析: 利用条件化简可得 2(sinφ+cosφ)=a,利用辅助角公式及角的范围,即可求实数 a 的取值范围. 2 2 2 2 解答: 解:根据题意:2sin φ﹣asinφ+1=2cos φ﹣acosφ+1,即:2(sin φ﹣cos φ)=a(sinφ ﹣cosφ) 即:2(sinφ+cosφ) (sinφ﹣cosφ)=a(sinφ﹣cosφ) , 因为:φ∈( ) ,所以 sinφ﹣cosφ≠0 sin( ) )∈( ,1)

故:2(sinφ+cosφ)=a,即:a=2 由 φ∈( 所以:a=2 )得: sin(

∈(π/2,3π/4) ,也就是:sin( )∈(2,2 )

故答案为: 点评: 本题考查三角函数的化简,考查函数与方程的综合运用,考查辅助角公式的运用, 考查学生的计算能力,属于中档题.

12. (3 分)设函数 值为 m,则 M+m=4. 考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数化简,构造新函数 g(x)= (x)max+g(x)min=0,从而可得结论. 解答: 解: =2+

(x∈)的最大值为 M,最小

(x∈) ,判断其为奇函数,可得 g

令 g(x)=

(x∈) ,则 g(﹣x)=﹣g(x) ,∴函数 g(x)是奇函数

∴g(x)max+g(x)min=0 ∴M+m=4+g(x)max+g(x)min=4

故答案为:4 点评: 本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知 k∈Z,下列各组角的集合中,终边相同的角是() A. C. 与 与 B. 2kπ+π 与 4kπ±π D. 与

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 把数学符号语言转化为文字语言,结合终边相同的角的表示方法,做出判断. 解答: 解:由于 表示 的整数倍,而 kπ± =(2k±1) 表示 的奇数倍,故这两个

角不是终边相同的角,故 A 不满足条件. (2k+1)π 表示 π 的奇数倍, (4k±1)π 也表示 π 的奇数倍,故(2k+1)π 与(4k±1)π(k∈Z) 是终边相同的角,故 B 满足条件. kπ+ =(k+ )π 表示 π 的(k+ )倍,而 2kπ± =(2k± )π 表示 π 的(2k± )倍,故两

个角不是终边相同的角,故 C 不满足条件. 由于 表示 整数倍,而 kπ+ =(3k+1) 表示 非 3 的整数倍,故这两个角不是终边

相同的角,故 D 不满足条件. 故选:B. 点评: 本题考查终边相同的角的表示方法,把数学符号语言转化为文字语言,以及式子所 表示的意义. 14. (4 分)在△ ABC 中,若 cosAcosB>sinAsinB,则此三角形一定是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.形状不确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 先将条件等价于 cos(A+B)>0,从而可知 C 为钝角,故可判断. 解答: 解:由题意,∵cosAcosB>sinAsinB ∴cos(A+B)>0 ∴cosC<0 ∴C 为钝角 故选 A. 点评: 本题以三角函数为载体,考查三角形的形状判断,关键是利 用和角的余弦公式,求 得 C 为钝角.

15. (4 分)给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y) ,f(x+y)=f(x)f(y) , .下列函数中不满足其中任何一个等式的是() A.f(x)=3
x

B.f(x)=sinx

C.f(x)=log2x

D.f(x)=tanx

考点: 指数函数与对数函数的关系. 分析: 依据指、对数函数的性质可以发现 A,C 满足其中的一个等式,而 D 满足 ,B 不满足其中任何一个等式 解答: 解:f(x)=3 是指数函数满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,排除 A. f(x)=log2x 是对数函数满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,排除 C f(x)=tanx 满足 ,排除 D.
x

故选 B 点评: 本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质. 16. (4 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x) ,且在上是减函数,α,β 是钝 角三角形的两个锐角,且 α<β,则下列不等式关系中正确的是() A.f(sinα)>f(cosβ) B. f(cosα)<f(cosβ) C. f(cosα)>f(cosβ) D.f(sinα)<f(cosβ) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数,再由 f(2﹣x)=f(x)和偶函数的定 义得 f(x)=f(x+2) ,求出函数的周期,再判断出在上是增函数,根据 α 和 β 的范围以及余 弦函数的单调性,判断出对应余弦值的大小和范围,再由函数 f(x)的单调性进行判断. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在上是减函数,∴f(x)在上是增函数, 又∵偶函数 f(x)满足 f(2﹣x)=f(x) ,∴f(x)=f(x﹣2) , 即 f(x+2)=f(x) ,函数的周期 T=2, ∴f(x)在上是增函数, ∵α,β 是钝角三角形的两个锐角,且 α<β, ∴根据余弦函数在(0,π)上递减得,0<cosβ<cosα<1, 则 f(cosα)>f(cosβ) . 故选 C. 点评: 本题以余弦函数为载体,考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的 应用,即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式,将自变量进行转化,转化到已知范围内 求解,考查了转化思想. 三、解答题(本大题共 48 分) 17. (6 分)若 ,求 的值.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用 解答: 解:∵ ,可求 tanA 的值,再利用和角的正切公式,即可得到结论. ,∴tanA=﹣



=

=

=



=2.

点评: 本题考 查和角的正切公式,考查学生的计算能力,属于基础题. 18. (8 分)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 考点: 余弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: (I)利用余弦定理表示出 c 的平方,把 a,b 及 cosC 的值代入求出 c 的值,从而求 出三角形 ABC 的周长; (II)根据 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,然后由 a,c 及 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值,根据大边对大角,由 a 小于 c 得到 A 小于 C,即 A 为锐角, 则根据 sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值, 然后利用两角差的 余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (I)∵c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣4× =4, ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. (II)∵cosC= ,∴sinC= = = .
2 2 2

∴sinA=

=

=



∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角.则 cosA=

= ,

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC= × +

×

=



点评: 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查学生的基本 运算能力,是一道基础题.

19. (10 分)已知函数 f(x)=2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及在 (2)若 f(x0)= ,x0∈ 上的单调递增区间;



,求 cos2x0 的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余 弦;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 2 分析: (1)利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将 f(x)=2 sinxcosx+2cos x ﹣1 化为:f(x)=2sin(2x+ 递增区间; (2) 由 (1) 知, f (x0) =2sin (2x0+ =﹣ ,而 2x0=(2x0+ )﹣ ) = , 可求得 sin (2x0+ ) = , 继而可求得 cos (2x0+ ) ) ,从而可求函数 f(x)的最小正周期及在 上的单调

,利用两角差的余弦即可求得 cos2x0. sinxcosx+2cos x﹣1,得 ) ,
2

解答: 解: (1)由数 f(x)=2 f(x)= sin2x+cos2x=2sin(2x+

所以函数 f(x)的最小正周期为 π; ∵2kπ﹣ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z

∴x∈(kπ﹣

,kπ+

) ,k∈Z )在上的单调递增区间为(0, ) , ) ;

又 x∈,f(x)=2sin(2x+

(2)由(1)知,f(x0)=2sin(2x0+ ∵f(x0)= , ∴sin(2x0+ )= , ∈. )=﹣

由 x0∈,得 2x0+ 从而 cos(2x0+ ∴cos2x0=cos =cos(2x0+

=﹣

)cos

+sin(2x0+

)sin

=



点评: 本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系,考查正弦函数的单调性及周期 性,考查两角差的余弦,属于中档题. 20. (10 分)如图,单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点,单位圆与 y 轴的正半轴交 于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB) ,设∠BAO=β. (1)用 β 表示 α; (2)如果 ,求点 B(xB,yB)的坐标;

(3)求 xB﹣yB 的最小值.

考点: 任意角的三角函数的定义;基本不等式;圆方程的综合应用. 专题: 综合题. 分析: (1)作出图形,结合图形由 ,能求出 .

(2)由

,r=1,得 = .由此能求

出点 B(xB,yB)的坐标; (3)法一:
2 2

,由此能求出 xB﹣yB 的最小值.
2

法二:由 α 为钝角,知 xB<0,yB>0,xB +yB =1,xB﹣yB=﹣(﹣xB+yB) , (﹣xB+yB) ≤2 2 2 (xB +yB )=2,由此能求出 xB﹣yB 的最小值. 解答: 解: (1)如图, ∵ ∴ . ,

(2)由

,又 r=1,

得 = 由钝角 α,知 ∴ . . ,

(3)法一: 又 , ∴xB﹣yB 的最小值为 法二:α 为钝角, . ,



∴xB<0,yB>0, 2 2 xB +yB =1, xB﹣yB=﹣(﹣xB+yB) , 2 2 2 (﹣xB+yB) ≤2(xB +yB )=2, ∴ , .

∴xB﹣yB 的最小值为

点评: 本题考查三角函数的性质和应用,综合性强,是 2015 届高考的常见题型.解题时要 认真审题,仔细解答,注意三角函数恒等变换的灵活运用.

21. (14 分)已知函数

是奇函数,定义域为区间

D(使表达式有意义的实数 x 的集合) . (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 a 满足 0<a<1,试判断函数 y=f(x)在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x∈A=

于是,当 0<a<1 时,函数 (3)∵x∈A=[a,b) (A?D,a 是底数) ∴0<a<1,a<b≤1. ∴由(2)知,函数 解得 . 上是增函数,即

上是单调增函数.



若 b<1,则 f(x)在 A 上的函数值组成的集合为 集合是[1,+∞)的要求, ∴必有 b=1.

,不满足函数值组成的

因此,所求实数 a、b 的值是 . 点评: 本题从恒等式出发得到 m,另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数, 属于中档题.


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