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【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:5-1数列的概念与简单表示法


第一节

数列的概念与简单表示法

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 4 6 8 1.按数列的排列规律猜想数列3,-5,7,-9,?的第 10 项是 ( ) 16 A.-17 20 C.-21 18 B.-19 22 D.-23

解析 所给数列呈现分数

形式,且正负相间,求通项公式时,我 们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列 2n 20 {an}的通项公式,an=(-1)n+1· ,故 a10=-21. 2n+1 答案 C )

2. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2(an-1), 则 a2 等于( A.4 C.1 解析 由题可知 Sn=2(an-1), 所以 S1=a1=2(a1-1),解得 a1=2. 又 S2=a1+a2=2(a2-1),解得 a2=a1+2=4. 答案 A B.2 D.-2

3.(2014· 济南模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1= 3Sn(n≥1),则 a6 等于( A.44 C.3×44 ) B.3×44+1 D.44+1

解析 由 an+1=3Sn(n≥1)得 an+2=3Sn+1,两式相减得 an+2-an+1

an+2 =3an+1,∴an+2=4an+1,即 =4,a2=3S1=3,∴a6=a244=3×44. an+1 答案 C )

4.数列{an}的前 n 项积为 n2,那么当 n≥2 时,an=( A.2n-1 ?n+1?2 C. n2 B.n2 n2 D. ?n-1?2

解析 设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2, Tn n2 当 n≥2 时,an= = . Tn-1 ?n-1?2 答案 D

5.(2014· 江西八校联考)将石子摆成如下图的梯形形状.即数列 5,9,14,20,?为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第 2 012 项 与 5 的差,即 a2 012-5=( )

A.2 018×2 012 C.1 009×2 012

B.2 018×2 011 D.1 009×2 011 ?n+6??n-1? , 2

解析 因为 an-an-1=n+2(n≥2),所以 an=5+ 所以 a2 012-5=1 009×2 011. 答案 D

6.在数列{an}中,已知 a1=2,a2=7,an+2 等于 anan+1(n∈N*) 的个位数,则 a2 014 的值是( A.8 C.4 ) B.6 D.2

解析 ∵a1a2=2×7=14, ∴a3=4,4×7=28, ∴a4=8,4×8=32, ∴a5=2,2×8=16,∴a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2, ∴从第三项起,an 的值成周期排列,周期数为 6,2 014=335×6+4, ∴a2 014=a4=8. 答案 A

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7 .已知数列 {an} 满足 ast = asat(s , t ∈ N*) ,且 a2 = 2 ,则 a8 = ________. 解析 令 s=t=2, 则 a4=a2×a2=4, 令 s=2, t=4, 则 a8=a2×a4 =8. 答案 8 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 8.已知数列 1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,?,则6是此数 列中的第________项. 解析 将数列分为第 1 组 1 个,第 2 组 2 个,?,第 n 组 n 个, 1 1 2 1 2 3 1 2 n (1),(2,1),(3,2,1),?,(n, ,?,1),则第 n 组中每个数 n-1 5 分子分母的和为 n+1, 则6为第 10 组中的第 5 个, 其项数为(1+2+3 +?+9)+5=50. 答案 50 1 9.(2013· 湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan-2n, n∈N*,则 (1)a3=________; (2)S1+S2+?+S100=________. 解析 本题考查数列的通项及求和.

1 令 n=3 得 S3=-a3-23,① 1 令 n=4 得 S4=a4-24,② 1 由②-①得 a3=-16. 1 当 n 为偶数时,Sn=an-2n,③ 1 Sn-1=-an-1- n-1,④ 2 1 ③-④得 an-1=-2n,⑤ 1 将⑤代入④得 Sn-1=-2n, 1 1 故 n 为奇数时,an=- n+1,Sn=- n+1; 2 2 1 当 n 为奇数时,Sn=-an-2n, 1 ∴Sn-1+an=-an-2n,∴Sn-1=0, 即当 n 为偶数时,Sn=0,故 S1,S3,S5,?,S99 构成了以 S1= 1 1 -4为首项,4为公比的等比数列. ∴S1+S2+?+S100=S1+S3+?+S99
?1? ? 1? -4?1-?4?50? ? ? ? ? 1? 1 ? ? 100-1?. = = 1 3?2 ? 1-4

答案

? 1 1? 1 -16 3?2100-1? ? ?

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4.

(1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 解 (1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N*,∴n=2 或 3.∴数列有两项是负数. 5 9 5 (2)∵an=n2-5n+4=(n-2)2-4的对称轴方程为 n=2, 又 n∈N*, ∴n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. 11.已知数列{an}满足 a1=1,an>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,
2 对任意 n∈N*,有 2Sn=p(2an +an-1)(p 为常数).

(1)求 p 和 a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)令 n=1 得 2S1=p(2a2 1+a1-1).

又 a1=S1=1,得 p=1; 令 n=2,得 2S2=2a2 2+a2-1.又 S2=1+a2, 3 得 2a2 2-a2-3=0,a2= 或 a2=-1(舍去), 2 3 ∴a2=2; 5 令 n=3,得 2S3=2a2 3+a3-1.又 S3= +a3, 2 3 得 2a2 3-a3-6=0,a3=2 或 a3=- (舍去),∴a3=2. 2
2 (2)由 2Sn=2a2 n+an-1,得 2Sn-1=2an-1+an-1-1(n≥2),两式相 2 减,得 2an=2(a2 n-an-1)+an-an-1,

即(an+an-1)(2an-2an-1-1)=0. 1 ∵an>0,∴2an-2an-1-1=0,即 an-an-1=2(n≥2). 1 故{an}是首项为 1,公差为2的等差数列,

1 得 an=2(n+1). 12.(2014· 青岛模拟)在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+?+ n+1 nan= 2 an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; (2)若存在 n∈N*,使得 an≤(n+1)λ 成立,求实数 λ 的最小值. 解 (1)当 n≥2 时,由题可得

n a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1=2an,① n+1 a1+2a2+3a3+?+nan= 2 an+1,② n+1 n ②-①得 nan= 2 an+1-2an, 即(n+1)an+1=3nan, ?n+1?an+1 nan =3.

∴{nan}是以 2a2=2 为首项,3 为公比的等比数列(n≥2). 2 n-2 ∴nan=2· 3n-2,∴an=n· 3 (n≥2).

?1,n=1, ∵a1=1,∴an=?2 n 2 3 ,n≥2. ?n·


2· 3n-2 an an (2)an≤(n+1)λ?λ≥ ,由(1)可知当 n≥2 时, = , n+1 n+1 n?n+1? n?n+1? an 1 1 * 设 f(n)= 2· = n (n≥2,n∈N ), 2· , 3 n+1 3 f?n? 则 f(n+1)-f(n)= 2?n+1??1-n? 1 1 1 1 <0, ∴ > (n≥2), 又32· n +1 f?2? 2· 3 f?n+1? f?n?

1 a1 1 1 =3及 2 =2,∴所求实数 λ 的最小值为3.


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