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闵行区2012年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷(理科)附答案


闵行区 2012 年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若 U ? {?3, ?2, ?1,0,1, 2,3} , A ? {x x ? 1 ? 0, x ? Z} , B ? {x | ?1 ? x ? 3, x ?Z} ,
2

则 ?U A ? B ? . 2.已知扇形的面积为

?

?

3? ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是. 16
2 2

3.已知 a、b?R ,命题“若 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? 2 ”的否命题是.

? 4.若 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ? ? ? 2 cos 2? ? 0 ,则 sin? ? cos? 的值为. ? ? ? 4?
5.椭圆

x2 ? y 2 ? 1(t ? 1) 上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1,则 t ? . t

b 6.设向量 a、 满足 a ? (2, 1) , b ? 2 5 ,且 b 与 a 的方向相反,则 b 的坐标为.
7.已知直线 l : y ? kx ? 1 与两点 A(?1, 5)、B(4, ? 2) ,若直线 l 与线段 AB 相交,则 k 的取 值范围是. 8 . 若 f ( n) ? 1 ?

? ?

?

?

?

?

?

f (k ? 1) ? f (k ) ? .

1 1 1 ? ??? (n ? N* ) , 则 对 于 k ?N* , 2 3 3n ? 1

开始 输入 x

9.在 △ABC 中,若 a ? b ,且

a b ? ,则 ?C 的大小为. tan A tan B

2

2

x? y


y=2x+1
x? y ?6
是 输出 y 结束

10.执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为. 11. 设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数, n 项和为 S n , a1 ? 1 , 前 且

a4 ? 6 , S3 ? 12 ,则 a2012 =.
12. 若偶函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且当 x ?[?1,0] 时, f ( x) ? x ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为个.
2

C

B P M A

13.如图,矩形 OABC 中,AB=1,OA=2,以 B 为圆心、BA 为半径在矩
N O

形内部作弧,点 P 是弧上一动点, PM ? OA ,垂足为 M, PN ? OC ,垂足为 N,则四 边形 OMPN 的周长的最小值为.

14.已知线段 AB 上有 10 个确定的点(包括端点 A 与 B). 现对这些点进行往返标数(从 A →B→A→B→?进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往回数) 。如图:在点 A 上标 1,称为点 1,然后从点 1 开始数到第二个数,标上 2,称为点 2,再从点 2 开始数到第三个 数, 标上 3, 称为点 3 (标上数 n 的点称为点 n) ??, , 这样一直继续下去, 直到 1, 3, 2, ?, 2012 都被标记到点上.则点 2012 上的所有标记的数中,最小的是.

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.抛物线 y ? 2 x 2 的准线方程是[答]() (A) x ? ?

1 1 1 1 .(B) y ? ? .(C) x ? ? . (D) y ? ? . 2 8 8 2
[答]()

x ?1 16.若函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? 2 的图像关于 y ? x 对称,则 f ( x) ?

(A) log 2 x . (B) log 2 ( x ? 1) .(C) log 2 x ? 1 . (D) log 2 ( x ? 1) . 17 . 已 知 关 于 x、y 的 二 元 一 次 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 ?

? ? ? a ? ( a , a ) , b (1 , 2 ) ? ? b b ,c 1 2

? a1 b1 c1 ? ? ,记 ? a2 b2 c2 ?

1

( ,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 c 2,c )
[答]()

? ? ? ? ? ? ? b c (A) a ? b ? c ? 0 . (B) a、、 两两平行. ? ? ? ? ? b c (C) a / /b . (D) a、、 方向都相同.
2 2

18.设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x ? mx ? m ? m ? 0 的两个不相等的实数根,那么过两点

A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 2 ) 的直线与圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 的位置关系是(
2



(A)相离.

(B) 相切.

(C)相交.

(D)随 m 的变化而变化.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. ( 本 题 满 分 12 分 )

? 2 2 ) 对 于 m ? ( x , y ) , n (x , y , 规 定 向 量 的 “ * ” 运 算 为 : 1 1

??

?

?? ? m ? n ? ( x1 x2 , y1 y2 ) .

? ? ?? ? ? ?? ?? ? (a * b) ? e1 ? 1 ? ? 1. 若 a ? ( x, 1), b ? (?1, x), e1 ? (1, 0), e2 ? (0, 1) .解不等式 ? ? ?? (a * b) ? e2 ? 1

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a, b ? 0 ? , R1 , R2 是它实轴的两个端点, I 是其虚轴的一个 a 2 b2

端点.已知其一条渐近线的一个方向向量是 1, 3 , ?IR1R2 的面积是 3 , O 为坐标原点, 直线 y ? kx ? m ? k , m ? R ? 与双曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB . (1)求双曲线 C 的方程; (2)求点 P ? k , m ? 的轨迹方程,并指明是何种曲线.

?

?

??? ?

??? ?

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了 1400 万元购买了一块 空地,规划建设 8 幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑 面积均为 250 平方米,第一层建筑费用是每平方米 3000 元,从第二层开始,每一层的建筑 费用比其下面一层每平方米增加 80 元. (1)若该经适楼房每幢楼共 x 层,总开发费用为 y ? f ( x) 万元,求函数 y ? f ( x) 的表 达式(总开发费用=总建筑费用+购地费用) ; (2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层?

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 将边长分别为 1、2、3、?、n、n+1、?( n ?N )的正方形叠放在一起,形成如图所
*

示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、??、第 n 个阴影 部分图形.设前 n 个阴影部分图形的面积的平均值为 f (n) .记数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

? f ( n),当n为奇数 ? an +1 ? ? ? f ? an ? ,当n为偶数 ?
(1)求 f (n) 的表达式; (2)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式;

1
(3)记 bn ? an ? s ? s ? R ? ,若不等式 0

0 bn

0 bn ? 2 ? 0 有解,求 s 的取值范围. bn ?1

bn ?1 bn ?1

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 记 函 数 f ( x) 在 区 间 D 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 max ? f ( x) | x ? D? 与

min ? f ( x) | x ? D? .

设函数 f ( x ) ? ?

?? x ? 2b, x ? ?1, b ? ? , 1 ? b ? 3 . g ( x) ? f ( x) ? ax, x ?[1,3] . ?b, x ? (b,3] ?

(1)若函数 g ( x) 在 [1,3] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2)若 a ? R .令 h(a) ? max ? g ( x) | x ? [1,3]? ? min ? g ( x) | x ? [1,3]? .

3) 记 d (b) ? min ?h(a) | a ? R? .试写出 h( a ) 的表达式,并求 min d (b) b ? (1, ;
I (3)令 k ( a) ? max? g [ f (x )] | x? I? ? min g [f (x )] |x? ? (其中 I 为 g[ f ( x)] 的定义 ?
域).若 I 恰好为 [1, 3] ,求 b 的取值范围,并求 min k (a) a ? R .

?

?

?

?

闵行区 2012 年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准

1. ?2,3? ;2.

3? ;3.若 a ? b ? 2 ,则 a 2 ? b2 ? 2 ;4. 1 ;5. 2 ;6. (?4, ?2) ; 8 2

7. ? ??, ?4? ? ? ?

1 1 1 1 ? 3 ? o ;9. 90 ;10.23;11.(文) 、 , ?? ? ;8. ? ? 3k 3k ? 1 3k ? 2 2 ? 4 ?

(理) 4024;12.10;13.(文) 2 2 ? 2 、(理) 6 ? 2 2 ;14. (文)12、(理)3. 二. 选择题 15. D;16.C;17.B;18. (文)B、 (理)D 三. 解答题 19.(本题满分 12 分)

? ? ?? (a * b) ? e1 ? 1 (? x, x) ? (1,0) ? 1 ? x ? 1 解: ? ? ?? ? ? ? ?1 (a * b) ? e2 ? 1 (? x, x) ? (0,1) ? 1 x ? 1

(6 分)

?

?x ?1 2x (12 分) ?1 ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? x ? 0 . x ?1 x ?1
3a ,?a ? 1 (3 分)

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 解: (文)由题意,有 b ? 3 , b ? (1) 故双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 .(6 分) 3

(理)由题意,双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则有 b ? 3a, c ? 2a 又 ?IR1R2 的面积是 3 ,故 所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

1 ? 2a ? b ? 3 ,得 a ? 1, b ? 3, c ? 2 (3 分) 2

y2 ? 1 .(6 分) 3
2

(2)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,直线 AB : y ? kx ? m 与双曲线 x ?
2 得 (3 ? k ) x ? 2kmx ? m ? 3 ? 0 由题意 3 ? k ? 0 , 分) (2
2 2 2

y2 ? 1 联立消去 y , 3

? 2 ?? ? ? 2km ? ? 4 ? 3 ? k 2 ?? ?m 2 ? 3? ? 0 ? 2km ? (4 分) 且 ? x1 ? x2 ? 3 ? k2 ? ? ?m2 ? 3 x1 x2 ? ? 3 ? k2 ?
又由 OA ? OB 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 而 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? x1 x2 ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
2 2

??? ?

??? ?

所以

m2 ? 3 2 m2 ? 3 2km ?k ? 2 ? km? ? m2 ? 0 2 2 k ?3 k ?3 3? k

化简得 2m2 ? 3k 2 ? 3 ① 由 ? ? 0 可得 k 2 ? m2 ? 3 ② 由①②可得 2m ? 3k ? 3
2 2

(6 分)

故点 P 的轨迹方程是 2 y ? 3x ? 3 ( x ? ? 3) (8 分)
2 2

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. (1)由已知,每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为: , 3000 ? 250 ? 750000 (元) ? 75 (万元) 从第二层开始,每幢每层的建筑总费用比其下面一层多: , 80 ? 250 ? 20000 (元) ? 2 (万元) 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项,2 为公差的等差数列,2 分 所以函数表达式为:

x( x ? 1) (6 ? 2] ? 1400 ? 8x 2 ? 592 x ? 1400 ( x ? N* ) ; 分) 2 (2)由(1)知经适楼房每平方米平均开发费用为: f ( x) 40( x 2 ? 74 x ? 175) (10 分) g ( x) ? ? 10000 ? 8 ? 250 x x 175 ? ? (12 分) ? 40 ? x ? ? 74 ? ≥ 40 2 175 ? 74 ? 4018 (元) x ? ? 175 当且仅当 x ? ,即 x ? 13.2 时等号成立, x 175 ? ? * 但由于 x ?N ,验算:当 x ? 13 时, g ( x) ? 40 ?13 ? ? 74 ? ? 4018 ,当 x ? 14 时, 13 ? ? 175 ? ? g ( x) ? 40 ?14 ? ? 74 ? ? 4020 . 14 ? ? 答:该经适楼建为 13 层时,每平方米平均开发费用最低. (14 分) 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 解: (文) (1)第 n 个阴影部分图形的周长为 8n,(2 分) y ? f ( x) ? 8[75x ?

?

?

8 ? 8n ?n 2 故 f ( n) ? (4 ? 4n ? 4 . 分) n
(2) a1 ? f (1) ? 8 , a2 ? f (a1 ) ? f (8) ? 36 , a3 ? f (3) ? 16 当 n 为奇数时, an ? f (n) ? 4n ? 4 (3 分) 当 n 为偶数时, an ? f (an ?1 ) ? 4an ?1 ? 4 ? 4 ? 4(n ? 1) ? 4? ? 4 ? 16n ? 4

故 an ? ?

?4n ? 4,当n为奇数 ?16n ? 4,当n为偶数

. 分) (5

(3) bn ? an ? s ? ?

?4n ? 4 ? s, 当n为奇数 ?16n ? 4 ? s, 当n为偶数

bn ?1 bn ? 2

bn ?1 bn

? 0 有解 ? bn?1bn ? bn?1bn? 2 ? bn?1 (bn ? bn? 2 ) ? 0 有解,

当 n 为奇数时, bn ?1 (bn ? bn ? 2 ) ? 0 即

?16(n ? 1) ? 4 ? s ??? 4n ? 4 ? s ? ? 4(n ? 2) ? 4 ? s ?? ? 0 , ? ?
亦即 16n ? 20 ? s ? 0 有解,故 s ? ? ?16n ? 20 ?max ? ?36 (3 分) 当 n 为偶数时, bn ?1 (bn ? bn ? 2 ) ? 0 即 ? 4(n ? 1) ? 4 ? s ???16n ? 4 ? s ? ?16(n ? 2) ? 4 ? s ? ? ? 0 , ? ? 于是 4n ? 8 ? s ? 0 ,故 s ? ? ?4n ? 8 ?max ? ?16 . 分) (5 综上所述: s ? ?16 . 分) (7 (理)解: (1)由题意,第 1 个阴影部分图形的面积为 22 ? 12 ,第 2 个阴影部分图形的面
2 2 积为 4 ? 3 ,??,第 n 个阴影部分图形的面积为 ? 2n ? ? (2n ? 1) .(2 分)
2 2

故 f ( n) ?

?2

2

? 12 ? ? ? 4 2 ? 32 ? ? ?? 2n ? ? (2n ? 1) 2 ? ? ? n
2

?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 (4 分) n

(2) a1 ? 1 , a2 ? f (1) ? 3 , a3 ? f (a2 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 当 n 为偶数时, an ? f (n ? 1) ? 2n ? 1 , (3 分)

当 n 为大于 1 的奇数时, an ? f (an ?1 ) ? 2an ?1 ? 1 ? 2 ? 2(n ? 1) ? 1? ? 1 ? 4n ? 5 ,

?1,当n ? 1 ? 故 an ? ?2n ? 1,当n为偶数 . ?4n ? 5,当n为大于1的奇数 ?

(5 分)

?1 ? s, 当n ? 1 ? (3)由(2)知 bn ? ?2n ? 1 ? s, 当n为偶数 . ?4n ? 5 ? s, 当n为大于1的奇数 ? 1
又 0

0 bn

0 bn ? 2 ? 0 ? bn?1bn ? bn?1bn? 2 ? bn?1 (bn ? bn? 2 ) ? 0 . bn ?1

bn ?1 bn ?1

(ⅰ)当 n=1 时,即 b2 (b1 ? b3 ) ? (3 ? s)(?6) ? 0 ,于是 3 ? s ? 0 ? s ? ?3 (ⅱ)当 n 为偶数时, 即 ? 4(n ? 1) ? 5 ? s ???(2n ? 1 ? s) ? ? 2( n ? 2) ? 1 ? s ? ? ? ? 4n ? 1 ? s ? ( ?4) ? 0 ? ? 于是 4n ?1 ? s ? 0 , s ? ? ?4n ? 2 ?max ? ?6 . (ⅲ)当 n 为大于 1 的奇数时, 即 ? 2(n ? 1) ? 1 ? s ? ? ?? 4n ? 5 ? s ? ? ? 4(n ? 2) ? 5 ? s ? ? ? ? 2n ? 1 ? s ? ? ? ?8 ? ? 0 ? ? 于是 2n ? 1 ? s ? 0 , s ? (?2n ? 1) max ? ?7 . (5 分) (3 分)

综上所述: s ? ?3 . (7 分) 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解: (文) (1) g ( x ) ? ?

?(a ? 1) x ? 2b, x ? [1, b] (2 分) ?ax ? b, x ? (b,3] ?a ? 1 ? 0 ? a ? 0 (4 分) a?0 ? ?(a ? 1) x ? 4a ? 2, x ? [1, 2a ? 1] , x ? (2a ? 1,3] ?ax ? 2a ? 1,

由题意 ?

(2)当 b ? 2a ? 1 时, 0 ? a ? 1, g ( x) ? ?

显然 g(x)在 [1, 2a ? 1] 上单调递减,在 [2a ? 1,3] 上单调递增,又此时 g (1) ? g (3) ? 5a ? 1 故 max ? g ( x) | x ? [1,3]? ? g (1) ? g (3) ? 5a ? 1 , 分) (2

min ? g ( x) | x ? [1,3]? ? g (2a ? 1) ? 2a 2 ? 3a ? 1 (4 分)
从而: h( a ) = ?2a ? 2a, a ? ? 0,1? . 分) (6
2

(3) g ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 2b, x ? [1, b] x ? (b,3] ?ax ? b,

1)当 a ? 0 时, max ? g ( x) | x ? [1,3]? =g(1)=a+2b-1, min ? g ( x) | x ? [1,3]? =g(3)=3a+b

此时, h(a) ? ?2a ? b ? 1 2) 当 a ? 1 时, max ? g ( x) | x ? [1,3]? =g(3)=3a+b, min ? g ( x) | x ? [1,3]? = g(1)=a+2b-1 此时, h(a) ? 2a ? b ? 1 (2 分) 3) 当 0 ? a ?

b ?1 时 , m a xg x ) x| ? ( ? 2

[ g(1)=a+2b-1, ? 1=, 3 ]

min ? g ( x) | x ? [1,3]? =

g(b)=ab+b,此时, h(a) ? a ? b ? ab ? 1 4) 当

b ?1 ? a ? 1 时, max ? g ( x) | x ? [1,3]? =g(3)=3a+b, min ? g ( x) | x ? [1,3]? = g(b)=ab+b, 2

此时, h(a) ? 3a ? ab

??2a ? b ? 1, a ? 0 ? ?(1 ? b)a ? b ? 1,0 ? a ? b ? 1 ? 2 故 h( a ) ? ? , 分) (4 b ?1 ?(3 ? b)a, ? a ?1 ? 2 ?2a ? b ? 1, a ?1 ?

b ?1 b ?1 ] 上单调递减,在 [ , ?? ) 单调递增,故 d (b) ? min?h (a ) | a ? R? 2 2 b ? 1 (3 ? b)(b ? 1) =h( )= ,(6 分) 2 2 1 故当 b ? 2 时,得 max ?d (b) | b ? ?1,3?? ? . 分) (8 2
因 h( a ) 在 (??, (理) (1) g ( x ) ? ?

?(a ? 1) x ? 2b, x ? [1, b] ?a ? 1 ? 0 ? a ? 0 (4 分) , 分)由题意 ? (2 ?ax ? b, x ? (b,3] ?a ? 0

(2) g ( x ) ? ?

?(a ? 1) x ? 2b, x ? [1, b] ?ax ? b, x ? (b,3]

1)当 0 ? a ?

b ?1 时, max ? g ( x) | x ? [1,3]? = g(1)=a+2b-1, min ? g ( x) | x ? [1,3]? = 2

g(b)=ab+b,此时, h(a) ? a ? b ? ab ? 1 2) 当

b ?1 ? a ? 1 时 , m a x g ( ) x? ? x | 2

[1, 3 ] ? =g(3)=3a+b, min ? g ( x) | x ? [1,3]? =

g(b)=ab+b,此时, h(a) ? 3a ? ab

b ?1 ? ?(1 ? b)a ? b ? 1,0 ? a ? 2 ? 故 h( a ) ? ? , 分) (2 b ?1 ?(3 ? b)a, ? a ?1 ? ? 2

b ?1 b ?1 ] 上单调递减,在 [ ,1] 单 调 递 增 , 故 d (b) ? min ?h(a) | a ? R? 2 2 b ? 1 (3 ? b)(b ? 1) =h( )= ,(4 分) 2 2 1 故当 b ? 2 时,得 max ?d (b) | b ? ?1,3?? ? . 分) (6 2
因 h( a ) 在 [0, (3)ⅰ)当 x ? (b,3] 时,f(x)=b, g[ f ( x)] ? ab ? b

ⅱ)当 ?

? x ? [1, b] ,即 x ? b 时, g[ f ( x)] ? ab ? b ?? x ? 2b ? [1, b] ? x ? [1, b] ? x ? [1, b] 时,即 ? (*)(3 分) , ?? x ? 2b ? (b,3] ? x ? [2b ? 3, b)
, 但此时 I ? [2b ? 3, b) ? ?b? ? (b,3] ? [1,3] ,

ⅲ)当 ?

①若 2b-3>1 即 b>2, 由 (*) x ? 2b 3 )b 知 [ ? , 所以 b>2 不合题意。

②若 2b-3 ? 1 即 b ? 2, 由(*)知 x ? [1, b) ,此时 I ? [1, b) ? ?b? ? (b,3] ? [1,3] 故 1 ? b ? 2 , 分)且 g[ f ( x)] ? ? (5

??ax ? 2ab ? b, x ? [1, b] ?ab ? b, x ? (b,3]

于是,当 a ? 0 时, k (a) ? (ab ? b) ? (2ab ? b ? a) ? (1 ? b)a 当 a ? 0 时, k (a) ? (2ab ? b ? a) ? (ab ? b) ? (b ? 1)a 即 k (a) ? ?

?(1 ? b)a, a ? 0 (7 分) ?(b ? 1)a, a ? 0

从而可得当 a=0 时, max ?k ( a) | a ? R? =0.(8 分)



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