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解析几何中计算方法与技巧


解析几何中计算方法与技巧
高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力 ,常规的解题方法必须熟练掌 握,在此基础上积累计算经验,掌握计算技巧,则解析几何定可得到高分。 一、巧用韦达定理简化运算 1、过二次曲线 C 上一点 P(x0,y0)作直线 l,求 l 与 C 另一交点。 例 1:求直线 y=kx+

二、利用计算的对称性避免重复运算 引例:过原点 O 作抛物线 y2=2px 的两条互相垂直的弦 OA 与 OB,求证:AB 直线过定点。

例 1:设椭圆 E:

2 x2 2 -k 与椭圆 +y =1 的交点坐标。 2 2

2 x2 2 +y =1 上一点 A(1, ) ,过 A 作两条关于平行 y 轴的直线对 2 2

称的两条直线 AC,AD 交椭圆 E 于另两点 C 和 D。求证:CD 直线的方向确定。

2、合二为一的整体运算 例 2:过点 P(-1,2)作圆 C: (x-1)2+y2=1 的两条切线,求两条切线的斜率和。

1 例 3:过点 P(x0,- )作抛物线 y=x2 的两条切线,求证:切点弦过定点。 4

例 4:抛物线 y2=2x 上动点 P,过点 P 作⊙C: (x-1)2+y2=1 的切线 PM,PN 分别交 y 轴于 M,N 两点,求△PMN 面积的最小值。 例 2:设曲线 C1:
x2 2 +y =1 与曲线 C2:y=x2-1。C2 的顶点为 M,过原点 O 的直线 l 与 4

C2 相交于 A、B 两点,直线 MA、MB 分别与 C1 相交于 D、E。 (1)证明:MD⊥ME; (2)若△MAB,△MDE 的面积分别为 S1、S2,问是否存在直线 l 使得 例 5:过抛物线 x2=2y 的焦点作斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1 和 l2,若 l1 交抛物线 于 A、B 两点,l2 交抛物线于 C、D 两点。以线段 AB 为直径作圆 C1,以 CD 为直 径作圆 C2。若 k1+k2=2,求两圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程。

S1 17 = ? S 2 32

例 3:设椭圆

x2 y2 + =1 的左焦点 F,点 A、B 是椭圆上的两点,满足 AF ? 2 FB , 4 4

例 5:设 A、B 是椭圆

x2 y2 + =1(a > b > 0)上两点,O 为原点,且 OA⊥OB, a2 b2

求 A、B 两点距离。

求△AOB 面积的最大值与最小值。

例 4:一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3 的双曲线 E:

x2 y2 =1(a>0, b>0) a2 b2

例 6:若椭圆

x2 y2 + =1(a > b > 0)上任两点 A、B,O 为原点,求 AOB 面积 S a2 b2

交于 P、Q 两点,直线 l 与 y 轴交于 R,且 OP ? OQ =-3, PR =3 RQ (1)求双曲线方程; (2)若 F 是双曲线的右焦点,M 与 N 是 E 上的两点,且 MF =λ FN ,求实数 λ 的取值范围。

的最大值。

三、活用图形的几何性质,则计算变得更为轻巧 我们知道解析几何的基本任务之一是用代数的方法讨论图形的几何性质,也就 是说曲线的几何性质不明显时必须用计算的办法加以讨论,反之几何性质明显时可 大大简化计算。 引例 1:若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆
x2 y2 + =1 总有公共点,求 m 范围。 5 m

例 2:设椭圆

x2 y2 + =1(a> b>0)的右顶点为 A,若椭圆上存在一点 P 使∠OPA=90° a2 b2

(O 为原点) ,求椭圆离心率的取值范围。

引例 2:双曲线

x2 y2 =1(a>0, b>0)的两焦点为 E、F,△MEF 为等边三角形。 a2 b2

若线段 ME 的中点 N 在双曲线上,求双曲线的离心率。

例 1:设圆 C 与两圆(x+ 5 )2 +y2=4,(x- 5 )2 +y2=4 中的一个内切,另一个外切 (1)求圆心 C 的轨迹 L 的方程; (2) 已知点 M (

例 3:抛物线 y2=4x 与圆(x-a)2+y2=a2 有唯一公共点,求 a 的取值范围。

3 5 4 5 , ) , F ( 5, 0) , 若点 P 是 L 上的动点, 求||MP|-|FP|| 5 5

的最大值及此 P 点坐标。

例 4:已知抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若点 A 关于 x 轴的对称点为 D (1)证明:点 F 在直线 BD 上; 8 (2)设 FA ? FB = ,求△BDK 的内切圆方程。 9

例 6:曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点距离的最小值。 (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0) (y0≠±3)为 C2 外任一点,过 P 点作 C2 的两条切线,分别 与 C1 相交于 A、B 和 C、D,当 P 在直线 x=-4 上运动时,求证:四点 A、B、 C、D 的纵坐标之积为定值。

例 5:设 F1、F2 分别是椭圆 E:

x2 y2 + =1(a > b > 0)的左、右焦点,过 F1 斜率 a2 b2

例 7:长为 2 的木棍的两端在抛物线 y2=X 的上滑动,设棍子的中点为 P (1)求 P 点轨迹方程; (2)求棍子的中点 P 到 y 轴距离的最小值。

为 1 的直线 l 交 E 于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列 (1)求 E 的离心率; (2)设 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程。


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