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17 复数代数形式的乘除运算(学生版)


17 复数代数形式的乘除运算
学习目标:
1.理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则,理解除法是乘法运算的逆运算. 2.理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开,除法运算实质是分母实数化类问题.

学习重点:复数的乘除运算法则及其应用. 学习难点:复数的代数形式的化简. 学习过程: 一、课前准备:
1. 下列说法正确的是 ( ) A.两个纯虚数的积是纯虚数 B.两个虚数之积一定是虚数 C.两个虚数之比还是虚数 D.纯虚数的平方是负实数 2. 已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么
2

3. 如果复数 (m ? i )(1 ? mi ) 是实数,则实数 m ? 4. 计算(1) ?1 ? i ? ?
2

1? z


. .
2

(2) ?1 ? i ? ? (4)



1? i ; ? 1? i 2 3 100 (5) i ? i ? i ? ? ? i ? 二、新课导学 (一)新知
(3)

1? i ; ? 1? i 2 3 100 ; (6) i ? i ? i ??? i ?

.

1. 乘法运算规则:规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di (a, b, c, d ? R) 是任意两个复数,那么它们的积

? a ? bi ?? c ? di ? ? (ac ? bd ) ? ? bc ? ad ? i .
2.乘法运算律: (1)交换律: z1 z2 ? z2 z1 , (2)结合律: z1 ? z2 z3 ? ? ? z1 z2 ? z3 , (3)分配律: z1 ? z2 ? z3 ? ? z1 z2 ? z1 z3 . 3. 复数除法定义:满足 ? c ? di ?? x ? yi ? ? ? a ? bi ? 的复数 x ? yi( x, y ? R) 叫复数 a ? bi

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除以复数 c ? di 的商,记为: (a ? bi) ? (c ? di ) 或者 4. 除法运算规则:

a ? bi . c ? di

(二)典型例题
【例 1】计算: 【解析】

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i . 3 ? 4i

动动手:1. 若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z3 ? A. ?2 2 2. (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ? 【例 2】已知 z 是虚数,且 z ? 【证明】 B. ?2 2 . C. ?2 2i



) D. ?2 2i

1 是实数,求证: z ? 1 是纯虚数. z z ?1

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【例 3】已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z ,求 【解析】

(1 ? i ) 2 (3 ? 4i ) 2 的值 2z

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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动动手:设复数 z 满足 z ? 1 ,且 (3 ? 4i) ? z 是纯虚数,求 z . 【解析】

?

三、总结提升 1.掌握复数的乘法运算法则,两个复数的乘法,实质上是按多项式的展开法则进行 的,没有必要记住公式; 2.两个复数的除法,将分子和分母同乘以分母的共轭复数,将分母化为实数,分子 再按照复数乘法进行运算. 四、反馈练习 1. 复数

3 ? 2i ? 2 ? 3i A. ?i

( B. i

) C. 2i D. 1 ? i

第 3 页 共 4 页

2. 设 z ? 1 ? i ,则 A.

C. 2 ? i D. 1 ? i ?i m ? 2i ( m ? R )为纯虚数,则 m ? 3. 若复数 ( ) 1? i A. ?2 B. ?3 C. 2 D. 3 3 ? i ,则 | z |? 4. 若复数 z 满足 z ? i ? . i 5. 已知复数 z1 ? a ? 2i , z2 ? a ? (a ? 3)i ,且 z1 z2 ? 0 ,则实数 a ? 6.已知复数 z 满足 z+ z =2+8i ,求复数 z . 【解析】

2 ? z2 ? z B. 1 ? i

(

)

.

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