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2013高一数学必修1教师用书:第一章 §2 集合的基本关系(北师大版)


知识点一 理解教材新知 §2 第 一 章 集 合 集 合 的 基 本 关 系 知识点二 知识点三

考点一
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给出下面两个集合A={1,2},B={1,2,3,4}. 问题1:集合A中的元素都是集合B中的元素吗? 提示:是的. 问题2:集合B中的元素都是集合A中的元素吗



提示:不是.
问题3:集合B中的元素比集合A中的元素多,如用封 闭图形表示两个集合,该怎样表示? 提示:

1.子集 对于两个集合A与B,如果集合A中的 任何一个元素 都 是集合B中的元素,即若 a∈A,则a∈B ,我们就说集合 含 A包含于 集合B,或集合B 包含 集合A,记作 A?B (或 义

B?A ),就说集合A是集合B的 子集 .

图形 语言

性质

任何一个集合都是它本身的子集,即 A?A .

2.Venn图 为了直观地表示集合间的关系,常用封闭曲线的 内部 表示集合,称为Venn图.

给定两个集合A={0,1},B={x|x2=x}. 问题1:集合B能否用列举法表示出来? 提示:能,B={0,1}. 问题2:集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系?

提示:完全相同.

1.集合相等

对于两个集合A与B,如果集合A中的 任何一个元素 都
是集合B中的元素,同时集合B中的 任何一个元素 都是集 合A中的元素,这时,我们就说集合A与集合B相等,记作 A=B . 2.图形语言

对于上面给出的两个集合A={1,2},B={1,2,3,4}.
问题1:集合A是集合B的子集吗? 提示:是的. 问题2:集合B是集合A的子集吗? 提示:不是. 问题3:集合A与集合B相等吗? 提示:不相等.

1.真子集 (1)含义:对于两个集合A与B,如果 A?B ,并且 A≠B ,

我们就说集合A是集合B的真子集,记作 A?B(或B? A) .
(2)当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记 作A B (或B?A).

2.性质

(1)空集是任何集合的 子集 ,对于任何一个集合A,
都有 . ??A

(2)对于集合A、B、C,若A?B,B?C,则 A?C .

1.子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个 元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集 合”,因为当A=?时,A?B,但A中不含任何元素;又

当A=B时,也有A?B,但A中含有B中的所有元素,这
两种情况都使A?B成立.

2.符号∈和? 的区别 符号∈只能适用于元素与集合之间, 符号∈的左边只能写 元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表 示元素与集合之间的关系,如-1∈Z, 2∈R;符号? 只能适 用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的 集合是右边集合的子集,左边集合的元素均属于右边的集合, 如{1}? {1,0},{x|x<2}? {x|x<3}.

[例1]

下列各式中,正确的个数是

(

)

①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};
④?={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0} A.1 C.3 [思路点拨] B.2 D.4 首先要分清二者是元素与集合间的关系,

还是集合与集合之间的关系.如果要是集合与集合之间的 关系,还需要分清是包含、真包含、不包含等关系.

[精解详析]

对于①,是集合与集合的关系,应为

{0}? {0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合 是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于

④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且
空集是任何非空集合的真子集,所以?? {0};对于⑤, {0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组

(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对
于⑥,{0}是含有单元素0的集合,0与{0}是“属于与否”的 关系,所以0∈{0}.故②③是正确的. [答案] B

[一点通]

判断集合之间的关系其基本方法是转化为判

定元素和集合间的关系.首先判断一个集合A中的任意一个
元素是否属于另一个集合B,若是,则A?B,否则 A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集

合A,若是,则B?A,否则BA.最后下结论:若A?B,B?A, 则A=B;若A?B,B A,则A? B,若A B,B?A,则

B? A,若上述三种情况均不成立,则A
B A.

B,

1.下列结论正确的是

(

)

A.集合{x|x3+1=0,x∈R}=?
B.已知M={(1,2)},N={(2,1)},则M=N C.已知M={(2,3)},N={2,3},则有M?N D.已知A={x|x=5k,k∈N},B={x|x=10n,n∈N}, 则有B? A 解析:x=-1时,x3+1=0,∴A错;(1,2)与(2,1)是不 同的解,∴B错;∵(2,3)为有序数组,2,3为数,∴C错.

答案:D

2.已知集合A={高一 · 三班同学},B={高一 · 三班二组
成员},则 ( )

A.A?B
C.A? B

B.A?B
D.B? A

解析:由集合中元素的特点可知,D正确. 答案:D

3.指出下列各对集合之间的关系:

①A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};
②A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; ③A={-1,1},B={?,{-1},{1},{-1,1}}; ④A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; ⑤A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.

解:(1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B. (2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对, 故A与B之间无包含关系.

(3)观察发现集合A是集合B的一个元素,故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相 等的三角形,故A? B. (5)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由 图可发现A? B.

[例 2]

已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},

若 A=B,求 c 的值. [思路点拨] 欲求 c 的值,可列关于 c 的方程或方程组,

根据两集合相等的意义及集合中元素的互异性,有下面两种 情况:
?a+b=ac, ? (1)? ?a+2b=ac2; ? ?a+b=ac2, ? (2)? ?a+2b=ac. ?

[精解详析] 由集合中元素的互异性,知 b ≠ 0, c≠ ± 1,c ≠ 0,a ≠ 0.又 A=B,
?a+b=ac, ? ∴? ?a+2b=ac2 ? ?a+b=ac2, ? 或? ?a+2b=ac. ?

∴a=2ac-ac2 或 a=2ac2-ac, 即 c2-2c+1=0 或 2c2-c-1=0, 1 又∵c ≠ ± 1,∴c=- , 2 1 故所求实数 c 的值为- . 2

[一点通]

根据两个集合相等求集合中的特定字母,

一般是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组).要 注意将对应相等的情况分类列全,最后还需要注意将方 程(或方程组)的解代入原集合检验,对不符合题意的解要 舍去.

b 4.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,a,b}, 则 b-a= A.1 C.2 B.-1 D.-2 ( )

b 解析:∵a中,a≠0,∴a+b=0.当 b=1 时,a=-1, b b 这时a=-1,符合题意;当a=1 时,a=0 不合题意. 故 b-a=1-(-1)=2.

答案:C

5.已知M={0,2,b},N={0,2,b2},且M=N,则实 数b的值为________. 解析:∵M=N,∴b=b2.解得b=1或b=0(舍去), ∴b=1.

答案:1

[例3]

试写出满足条件?? M? {0,1,2}的所有集合M. 欲求M,首先需弄清条件“? ? M?{0,1,2}”

[思路点拨]

的含义.由“?? M”说明M为非空集合,即M中至少含有一 个元素;由“M ?{0,1,2}”知,M中至多含有2个元素,因此

M中元素个数为1或2,故可根据元素个数逐一列出集合M.

[精解详析] 空真子集.

∵?? M? {0,1,2},∴M为{0,1,2}的非

∴M中的元素个数为1或2.

当M中只有1个元素时,M可以是{0},{1},{2};
当M中有2个元素时,M可以是{0,1},{0,2},{1,2}; ∴M可以是{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}. [一点通] 解答本题应根据子集、真子集的概念求解,

在写集合的子集或真子集时,一般按元素由少到多的顺序

一一列举,可避免重复和遗漏.

6.集合A={ x|0≤ x<3,且x∈N}的真子集的个数是( A.16 B.8

)

C.7

D.4

解析:A={0,1,2}∴真子集为:?,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2}共7个. 答案:C

7.设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集, 并指出其中哪些是它的真子集.

解:将方程(x2-16)(x2+5x+4)=0因式分解得(x-4)
(x+1)(x+4)2=0,则可得方程的根为x=-4或x=-1 或 x=4.故集合A={-4,-1,4},其子集为?,{-4}, {-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,1,4}, 真子集为?,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},

{-1,4}.

[例4]

设集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤

2m+1},已知B?A.求实数m的取值范围. [思路点拨] 由B?A可得集合B=?或B中的任何一个

元素都在集合A中,可借助数轴解决.

[精解详析]
符合题意.

当m-1>2m+1,即m<-2时,B=?,

当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠?. 由B?A,借助数轴表示如图所示.

?m-1≥-1, ? 则? ?2m+1≤6, ?

5 解得 0≤m≤ . 2

5 综上所述,实数 m 的取值范围是 m<-2 或 0≤m≤ . 2

[一点通]

已知集合间的关系,求参数范围的步骤:

(1)化简所给集合. (2)用数轴表示所给集合. (3)根据集合间的关系,列出关于参数的不等式(组). (4)求解. 注意:①列关于参数的不等式(组)时,等号能否取到. ②在处理A?B(B≠?)的含参数问题时,不要忽视A=?

这种情况.

8.设A={x|1< x<2},B={ x|x<a},若A? B,则a 的

取值范围是
A.a≥2 则应有a≥2. 答案:A

(
B.a≤1

)

解析:A={x|1<x<2},B={x|x<a},要使A? B, C.a≥1 D.a≤2

9.已知集合A={x|x2+ax+1=0,x∈R},B={1,2},
且A? B,求实数a的取值范围. 解:∵B={1,2},A? B, ∴A可以是?,{1},{2}. 当A=?时,Δ=a2-4<0,即-2<a<2; 当A={1}时,方程有两个相等的实数根,Δ=a2-4=0

且1+a+1=0,所以a=-2;
当A={2}时,方程有两个相等的实数根,Δ=a2-4=0 且4+2a+1=0,此时不能成立,舍去. 综上所述,a的取值范围为{a|-2≤a<2}.

1.若集合A中含有n个元素,集合A的子集个数为2n,
真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2. 2.?与0,{0},{?}的区别与联系 ?与0 ?与{0} 都是 集合 ?与{?}

相同点

都表示 无的意思

都是集合

?与0

?与{0}

?与{?} ?不含任何元素;

不同点

?是集合; ?不含任何元素; 0是实数 {0}含一个元素0

{?}含一个元素,
该元素是空集? ? {?}

关系

0??

?

{0}

或?∈{?}

3.判断两集合间的关系的方法 判断两个集合之间的关系,主要有以下三种方法:

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