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攀枝花市06级高三第一次统考数学试题


攀枝花市 06 级高三第一次统考数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项:1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上,考试结束,将答题卡交回。 2. 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号

,不能答在试题卷上。 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B); 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生
k k 次的概率: Pn (k ) ? Cn ? P k ? (1 ? P) n ? k .

第Ⅰ卷
只有一项是符合题目要求的)

(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中, 1. 设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则 ( A ? B) ? C ? ( A. {1,2,3} B. {1,2,4} 5 2. 复数 的共轭复数是( ) 1 ? 2i A. 1+2i B. 1-2i C. {2,3,4} ) D. {1,2,3,4}

5 10 C. ? ? i 3 3

5 10 D. ? ? i 3 3

3. 若 f ( x) ? cos x ? tan x( x ? k? ? A.
3 2

?
2

, k ? Z ) ,则 f (?

7? ) 的值为( 3
3 2

) D. ?
1 2

B.

1 2

C. ?

4. 二项式 ( x ? 2)5 的展开式中 x 2 的系数是( A. -40 B. -80 C. 40

) D. 80 )

5. 在Δ ABC 中, AB 2 ? AB·BA·BC ? CA ? CB ,则Δ ABC 是( A. 正三角形 B. 直角三角形
高三数学试题(理)第 1 页 共 9 页

C. 非特殊的锐角三角形

D. 钝角三角形 )

6. 已知 a ? 3, b ? 5, 且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影长为( A.
12 5

B. 3

C. 4

D. 5 )

7. 设函数 f (x)是定义域为 R 且以 3 为周期的奇函数,若 f (1)>1,f (2)=a,则( A. a>2 B. a>-1 C. a>1 ) C. 0 D. 1 ) D. a<-1

8. f ( x) ? 3x ? 4 x3 ( x ? [0,1]) 的最大值是( A.
1 2

B. -1

9. 已知等差数列 {an } 的前 20 项的和为 100,那么 a7·a14 的最大值为( A. 不存在 B. 25 C. 50 D. 100

10. 已知 f ( x) ? ? 4 ? x 2 在区间 M 上的反函数是其本身,则 M 可以是( A. [-2,2] B. (-2,2) C. [-2,0] D. [0,2] )



11. 设 f ( x) ? 2 ? x 2 , 若 0 ? a ? b, 且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( A. (0,2) 12. 设 x ? B. (0,2] C. (0,4]

D. (0, 2 )

x1 ? x2 ? ? ? xn , p ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 , q ? ( x1 ? a) 2 ? ( x2 ? a ) 2 n

+?+ ( xn ? a) 2 , 若 a ? x ,则一定有( A. p>q B. p<q

) C. p≥q D. p、 的大小不定 q

高三数学试题(理)第 2 页 共 9 页

攀枝花市高 2006 级高三第一次统考

数 学 试 题(理工农医类)
第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题号 得分 得分 评卷人 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在 横线上)
3 2 的解集为 ? x x ?1

二 17 18 19

三 20 21 22

总分

13. 不等式



14. 设函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 (其中 a, b, ? , ? 为非零实数) , 若 f (2005)=5,则 f (2006)的值是 发现 A、B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 16. 汽车安全行驶的稳定性系数 ? 随使用年数 t 的变化规 律是 ? ? ?0e ??t ,其中 ?0、 ? 是正常数。经检测,当 t=2 时, 。 种。

15. 如图所示,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通。今

? =0.90 ? 0 , 则 当 稳 定 性 系 数 降 为 0.50 ? 0 时 , 该 种 汽 车 的 使 用 年 数 为
(结果精确到 1,参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算 步骤) 得分 评卷人 17. (本题满分 12 分)
x x 3x 3x ? ?? 设平面上 P、Q 两点的坐标分别是 (cos , sin ) , (? cos , sin ) ,其中 x ? ?0, ? 。 2 2 2 2 ? 2?

(1)求 PQ 的表达式; (2)记 f ( x) ? PQ ? 4? PQ (? ? R ) ,求函数 f (x)的最小值。
2

高三数学试题(理)第 3 页 共 9 页

得分

评卷人 18. (本题满分 12 分)

1 已知数列 {an } 中,an>0,前 n 项的和为 S,且满足 S n ? (an ? 2) 2 8

(1)求数列{an}的通项 an。 (2) 若数列{bn}满足 bn ? (t ? 1)
an ? 2 4 (1 ? t

求 ? 2) ,Tn 为数列{bn}的前 n 项的和, lim Tn 。
n??

得分

评卷人 19. (本题满分 12 分)

2005 年 12 月,四川省首届冬旅会在我市召开,设我市有甲、乙、丙 3 个旅游景点, 一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.7, 0.5, 0.3, 且客人是否游览哪个景点互不影响, 设 ? 表示客人离开我市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。 (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)记“函数 f ( x) ? x 2 ? 3? ? x ? 1 在区间 ?2,??? 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的 概率。

得分

评卷人 20. (本题满分 12 分)
1 a )的定义域为 R;命题 q:不等式 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对 16

设命题 p:函数 f (x)=lg( ax2 ? x ?

一切正实数均成立,如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范 围。

高三数学试题(理)第 4 页 共 9 页

得分

评卷人 21. (本题满分 13 分)

设函数 f (x)是定义在 ?? 1,0? ? ?0,1? 上的奇函数,当 x ? ?? 1,0? 时, f ( x) ? 2ax ? (1)当 x ? ?0,1? 时,求 f (x)的解析式; (2)若 a ? ?1 ,试判断 f (x)在 ?0,1? 上的单调性,并证明你的结论。 (3)是否存在 a,使得当 x=(0, 1]时,f (x)有最大值-6。

1 ( a ? R) 。 x2

得分

评卷人 22. (本题满分 13 分)
2x ? x2 (0 ? x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) 。 2 ? x ? x2

已知函数 f ( x) ?

(1)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f ?1 (an )(n ? N * ), 求数列{an}的通项公式;
1 (2)已知数列{bn}满足 b1 ? , bn ?1 ? (1 ? bn ) 2 ? f ?1 (bn )(n ? N * ), 求证:对一切 n ? 2 的正 2

整数,都满足: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2。 a1 ? b1 2a2 ? b2 nan ? bn

高三数学试题(理)第 5 页 共 9 页

2005—2006 年度(上)高三数学(理)参考答案
一、选择题:DACBBA 二、填空题: 13. (??,0) ? (1,3) 三、解答题 17. 解: (I)|PQ| ? (cos ? cos
x 2 3x 2 x 3x ) ? (sin ? sin ) 2 2 2 2

DDBCAB

14. 3

15. 13

16. 13

? 2 ? 2 cos 2 x ? 4 cos2 x ? 2 cos x(?x ? [0, ]) 2

?

(II) f ( x) ? 4 cos2 x ? 8? cos x ? 4(cos x ? ? ) 2 ? 4?2
? cosx ? [0,1],?当 0 ? ? ? 1时, f ( x) min ? 4(? ? ? ) 2 ? 4?2 ? ?4?2 ;

当 ? ? 1时, f ( x) min ? 4(1 ? ? ) 2 ? 4?2 ? ? 4 ? 8?; 当 ? ? 0 时, f ( x) min ? 4(0 ? ? ) 2 ? 4?2 ? 0 。 (12 分)
1 18. 解: (1)由已知: S1 ? a1 ? (a1 ? 2) 2 ? a1 ? 2 。 8 1 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? [(an ?1 ? 2) 2 ? (an ? 2) 2 ], 8
? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ) ? 4(an ?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? 4. ?{an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列。 ? an ? a1 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 2, (?an ? 0)

(2) bn ? (t ? 1)

4n ? 2 ? 2 4

? (t ? 1) n .

1 ? (t ? 1) n (t ? 1) n ? 1 (t ? 1) n ? 1 Tn ? (t ? 1)[ ]?[ ](t ? 1), lim Tn ? lim [ ](t ? 1) 。 n ?? n ?? 1 ? (t ? 1) t ?2 t ?2

?1 ? t ? 2,? lim Tn ?
n ??

t ?1 。 (12 分) 2?t

19. 解: (1)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事 件 A1,A2,A3。由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.7,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3。 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3。相应地,客人没有游览的景点数的可能
高三数学试题(理)第 6 页 共 9 页

取值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3。
P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 )

= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 2 ? 0.7 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.21,
P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? 0.21 ? 0.79 。

所以 ? 的分布列为
?

1 0.79

3 0.21

P

E? ? 1? 0.79 ? 3 ? 0.21 ? 1.42 。

3 9 (2)解法一 因为 f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? 1 ? ? 2 , 2 4
?3 ? 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3? ? x ? 1在区间 ? ? ,?? ? 上单调递增, 2 ? ?

3 4 要使 f (x)在 ?2,??? 上单调递增,当且仅当 ? ? 2, 即 ? ? 。 2 3
4 从而 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 1) ? 0.79 。 3

(12 分)

解法二: ? 的可能取值为 1,3。 当 ? =1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 在区间 ?2,??? 上单调递增, 当 ? =3 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 9 x ? 1 在区间 ?2,??? 上不单调递增。 所以 P(A)=P( ? =1)=0.79。 20. 解:a=0 时显然不成立。由 ax2 ? x ?
1 a ? 0 恒成立, 16

?a ? 0 ? 得? , 解得 a>2;∴命题 p 为真的充要条件是 a>2。 a ?? ? 1 ? 4 ? a ? 16 ? 0 ?

法一:由 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立,令 t ? 2 x ? 1 ? 1 , 则x?
t2 ?1 t 2 ?1 ,? t ? 1 ? a , 即 2(t ? 1) ? a(t 2 ? 1) 对一切 t >1 均成立, 2 2
高三数学试题(理)第 7 页 共 9 页

? 2 ? a(t ? 1), 即 a ?

2 对一切 t>1 均成立,?a ? 1 。故命题 q 为真的 t ?1

充要条件是 a≥1. 法二:令 y ? 2 x ? 1( x ? 0), y ? 1 ? ax 。 若两曲线仅有一个公共点(0,1)

(12 分)

则方程 2 x ? 1 ? 1 ? ax ,即 a 2 x 2 ? (2a ? 2) ? 0 有 ? ? (2a ? 2) 2 ? 0 ? a ? 1. 由图象可知, 要使不等式 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立,有 a ? 1 。 从而命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题的充要条件是 1 ? a ? 2 , 即所求实数 a 的取值范围为[1,2]。 21. 解:设 x ? ?0,1?, 则 ? x ? ?? 1,0?, f (? x) ? ?2ax ?
? f ( x) ? ? f (? x) ? 2ax ? 1 , x ? ?0,1? 。 x2 2 1 ? 2(a ? 3 ), 3 x x

(12 分)
1 , ? f (x) 是奇函数。 x2

(2)证明:? f ( x) ? 2a ?
? a ? ?1, x ? ?0,1?,

1 1 ? 1,? a ? 3 ? 0. 即 f ( x) ? 0 。 3 x x

? f (x) 在 ?0,1? 上是单调递增函数。

(3)解:当 a ? ?1 时,f (x)在 ?0,1? 上单调递增。
? f ( x) m ax ? f (1) ? ?6, ? a ? ? 5 (不合题意,舍之) , 2
1 。如下表: a

当 a ? ?1 时, f ( x) ? 0, x ? 3 ?

x f '(x) f (x)
f max ( x) ? f (3 ?

(??, 3 ?

1 ) a

3

?

1 a

(3 ?

1 ,?? ) a

+ Z

0 最大值

- 1

1 ) ? ?6 ,解出 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 (不合题意,舍去) a

高三数学试题(理)第 8 页 共 9 页

?a ? ?2 2 ,此时 x ? 3 ?

1 2 ? ? ?0,1? a 2

(13 分) ? 存在 a ? ?2 2 ,使 f (x)在 ?0,1? 上有最大值-6。 22. 解: (1) f ( x) ?
x x( 2 ? x) x ? (0 ? x ? 1) 的反函数 f ?1 ( x) ? ( x ? 0) , (1 ? x)(2 ? x) 1 ? x x ?1
an 1 1 ,两边取倒数得 ? ?1, an ? 1 an ?1 an

an ?1 ? f ?1 (an ) ,则 an ?1 ?

∴数列 {

1 1 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,从而 an ? 。 an n
bn 1 ? (1 ? bn )bn ,且由 b1 ? ? 0 , bn ? 1 2

(2) bn ?1 ? (1 ? bn ) 2

可得 bn ?1 ? (1 ? bn )bn ? 0 将①两边取倒数得 则 n ? 2时

1 1 3 ①, b2 ? (1 ? b1 )b1 ? (1 ? ) ? ? 。 2 2 4

1 1 1 。 ? ? 1 ? bn bn bn ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?L? ? ? ??? ? ? a1 ? b1 2a2 ? b2 nan ? bn 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2

=

1 1 1? 2

?

1 3 1? 4

?

26 ?1, 21



1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? a1 ? b1 2a2 ? b2 nan ? bn 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn

=(

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )?L?( ? ) ? 2? ? 2。 b1 b2 b2 b3 bn bn ?1 bn ?1

(13 分)

高三数学试题(理)第 9 页 共 9 页


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