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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:4.1三角函数的概念(第1课时)


第四章
第 讲

三角函数

(第一课时)

1







●三角函数的定义及符号 ●弧度制以及弧度与角度的互换 公式 ●弧长、扇形面积公式 ●常用角的集合表示法 ●利用三角函数的符号法则,判 断三角函数式的符号;反过

来,已知 三角函数的符号,求角的范围
2







三角函数的概念是三角函数的 基础,也是高考对基础知识与基本技 能考查的重要内容之一,试题经常出 现且多为选择、填空题,难度一般不 太高,主要考查角的范围的判定、三 角函数值的符号、大小等.

3

一、 弧度制 半径长 1.把等于________的圆弧所对的圆心角叫 做1弧度的角.如果一个扇形的半径为r,弧长为l, l 扇形的圆心角的弧度数为α,那么α=____. r

4

?

2. 角度与弧度的换算公式为:1°=___弧 180 180 度,1弧度=____度. ? 3. 扇形的半径为R,圆心角的弧度数为α, 则这个扇形的弧长l=______,面积 |α|·R 1 1 S=_______=_______. lR | ? | R2
2 2

?

?

5

二、角的概念的推广 ? 1. 任意角的定义 ? 角可以看成平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形. ? 2. 按 逆 时 针 方 向 旋 转 所 形 成 的 角 叫 ________; 正角 ?按顺时针方向旋转所形成的角叫 ________; 负角 ? 一条射线没有做任何旋转所形成的角叫 _________. 零角
?
6

3. 若角的顶点与原点重合,角的始边 终边 与x轴非负半轴重合,那么角的 _____ 在 第几象限,就叫第几象限角. ? 4. 所有与角α终边相同的角,连同角 | ? 2k 集 合 α 在 内 , 构 成{?角 ? 的? ? ? , k ? Z} 是 ________________.
?

7

5. (1) 终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 是 {_______________; x | x ? n? , n ? Z } ? (2) 终边在y轴上 的角的集合是 ? {x |_______________; x ? n? ? , n ? Z } 2 ? (3)终边在坐标轴上的角的集合 n {x | x _______________; 是 ? 2 ? , n ? Z}
?

8

(4)终边在第一象限的角的集合 ? 是 { x | 2 k? ? x ? 2 k ? ? , k ? Z } ;
2

(5)终边在第二象限的角的集合 ? 是 { x | 2 k? ? ? x ? 2 k? ? ? , k ? Z } ;
2

(6)终边在第三象限的角的集合 3 是 { x | 2 k? ? ? ? x ? 2 k? ? 2 ? , k ? Z } ; 是 (7)终边在第四象限的角的集合 ? { x | - ? 2 k? ? x ? 2 k ? , k ? Z } ; 2
9

(8)与α终边在同一直线上的角构成的集
{? | ? ? k? ? ? , k ? Z } 合为 ______________.

三、任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y),它与原点的距离
y x 那么sinα= ____,cosα= ____,tanα= ____, r r y x r cotα= ___,secα= ____,cscα= ____. x y x r y
10

, r (r ? x 2 ? y 2 )

四、单位圆与三角函数 1. 用单位圆中的有向线段表示三角函数.

sinα= ____,cosα= ____,tanα= ____. MP OM AT
11

2. 三角函数值的符号
象限

函数 符号
sinα,csc α cosα,sec α









+ +

+ -

-

+
12

1.若sinθcosθ>0,则θ在( A. 第一、二象限 C. 第一、四象限

)B

B. 第一、三象限 D. 第二、四象限

因为sinθcosθ>0,

所以sinθ、cosθ同号.
当sinθ>0,cosθ>0时,

θ在第一象限;
当sinθ<0,cosθ<0时,
13

2.若角α的始边为x轴的非负半轴,顶点 为坐标原点,点P(-4,3)为其终边上一点,则 cosα的值为( C)
4 A. 5 4 C. 5 3 B. 5 3 D. ? 5

x 4 cos r=5, ? ? ? - . r 5

故选C.

14

3.若θ是第二象限角,则能确定为正值的 是( ) C ? ? A. sin B. cos 2 2 ? C. tan D. cos 2? 2 所以

?

因为θ是第二象限角, 为第一、三象限角,

2 所以tan ? >0,故选C. 2

15

题型1:角所在位置及其关系 1. 若角2α的终边在x轴上方, 那么α是( ) A. 第一象限角 B. 第一或第二象限角 C. 第一或第三象限角

D. 第一或第四象限角
16

? ? ? ?

由题意知, 2kπ<2α<2kπ+π (k∈Z), ? 得? ? ? ? k? ? (k ? Z ). k 2 当k是奇数时,α是第三象限角;

?

当k是偶数时,α是第一象限角,故选

C
17

?

【点评】:角所在的位置与角集的对 应关系是解决有关象限角问题的基础. 涉及半角或倍角的范围求解时,注意 倍数关系中的奇偶讨论.

18

? 已知角α为第一象限的角,确定角 所在

的象限.

2

首先写出角α的一般形式是2kπ<α< ? 2kπ+ (k∈Z),两边同时除以2, 2 ? ? 得 k? < <k? ? (k ? Z). 2 4 ? (1)当k为奇数时,角 是第三象限的角; 2 (2)当k为偶数时,角? 是第一象限的角.
综上,角 是第一象限或第三象限的角.
2
19

?

2

? ?

题型2 :角度与弧度互化 3 7 ?1 2. 设角 ? -570?,? 2 ? 750?, ?1 ? ? , ? 2 ? - ? .
5 3

(1)将α1 、α2 用弧度制表示出来,并指 出它们各自所在的象限; (2)将β1 、β2 用角度制表示出来,并在 。 。 -720 ~0 之间找出与它们有相同终边的所 有角.
?

20

?

(1)因为180°=π,

570 19 ? ? - ?. ? 所以 -570? ? 180 6 5 ? 所以 ?1 ? -2 ? 2? ? ? . 6 ? ? 同理, ? 2 ? 2 ? 2? ? . 6
?

所以α1在第二象限,α2在第一象限.

21

所以设θ=k· 360°+108°(k∈Z).
由于-720°≤θ<0°,

3 3 (2)因为 ? ? ? 180? ? 108?, 5 5

所以-720°≤k· 360°+108°<0°,
所以k=-2或k=-1.

所以在-720°~0°之间与β1终边相同的角是 -612°和-252°.
同理,β2=-360°-60°=-420°,且在720°~0°之间与β2有相同终边的角是-420°与60°.

22

【点评】:角度化为弧度,使得角集与 数集得到了统一.角度化为弧度的方法是:

义域时,一般用弧度数.

n? n? ? 弧度.弧度单位一般省略.角集作为定 180

23

kπ π kπ π (1)已知集合{x|x= 4 +4,k∈Z},N={x|x= 2 -4, k∈Z},则( ) A.M∩N=? B.N?M C.M?N D.M∪N=N (2)若 α=-2,则角 α 是第 三 象限的角.

24

kπ π k+1 解:因为 x= 4 +4= 4 ·π,k∈Z, kπ π 2k-1 x= 2 -4= 4 ·π,k∈Z,所以 N?M,故选 B. (2)α=-2≈-2×57.30° =-114.60° ,是第三象限 的角.

25

题型三

l |α|=R的运用

3.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求∠AOB 和弦 AB 的长. 分析: 欲求∠AOB, 需要知道弧 AB 的长和半径 OA 的长,用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,结合 已知条件,能比较容易求得,之后在△AOB 中求弦 AB 1 的长,作 OM⊥AB 交 AB 于 M,则 AM=BM=2AB,在 Rt△AMO 中求 AM.

26

解:设扇形的半径为 R cm,∠AOB=α,
?2R+αR=4 ? 依题意得?1 2 ?2R α=1 ?
?R=1 ? ,解得? ?α=2 ?

.

1 过 O 作 OM⊥AB 交 AB 于 M,则 AM=BM=2AB, 在 Rt△AMO 中,AM=sin1,所以 AB=2sin1, 故弦 AB 的长为 2sin1 cm.

27

点评:这类问题主要是利用弧长、 面积公式,找出扇形半径、圆心角、周 长、面积的联系,建立相关的关系式.

28

在半径为R的圆中,240°的中心角所 对的弧长为________;面积为2R2的扇形的中 心角等于弧度_________.
4 l? 由弧长公式得 ? R ? ? R. 3 由扇形面积公式 S ? 1 lR ? 1 ? R 2 , 2 2 2S 得 ? ? 2 ? 4. R
29

参考题 在0°~360°之间,找出与下列角的终边 相同的角: (1)-265°; (2)3900°.

(1)设α=-265°+k· 360°,k∈Z. 因为α∈[0°,360°), 所以k=1,且α=95°.

所以在0°~360°之间,
与-265°角终边相同的角是95°.
30

(2)设β=3900°+k· 360°,k∈Z. 因为β∈[0°,360°), 所以k=-10,且β=300°. 所以在0°~360°之间,与3900°角终 边相同的角是300°.

31

1. 在写出与α角终边相同的角的集合时要 注 意 单 位 统 一 , 避 免 出 现 “ 2kπ+30°,k∈Z 或 ? k· 360°+ 6 ,k∈Z”之类的错误;判断角所在的 象限时要注意2π的整数倍(360°的整数倍)加α ? 与α终边相同,避免出现kπ+ 是第一象限角的 3 k? 错误判断.如遇kπ+α(k∈Z)或 +α (k∈Z)等应 2 对k的奇偶性进行讨论,再确定其所在的象限.
32

?

2. 根据定义,角度制与弧度制的互换关系 是:角度化为弧度,只需将角α乘
? 度化为角度,则只需将α乘 180.

? ;弧
180°

?

33


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