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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 1.6.2.1直线与平面垂直的性质]


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课时提升作业(十)
直线与平面垂直的性质

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.已知直线 l1,l2 与平面α ,有下列说法: ①若 l1∥α ,l1∥l2,则 l2∥α ;②l1

α ,l2∩α =A,则 l1 与 l2 为异面直线;③若 l1⊥α ,l2⊥α ,则 l1∥l2;④若 l1⊥l2,l1∥α ,则 l2∥α . 其中正确的个数有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

【解析】选 B.①错,因为 l2 还可能在α内.②错,当 A∈l1 时,l1∩l2=A.③对,是 线面垂直的性质定理.④错,l2 与α的位置关系不确定. 2.(2014· 松原高一检测)BC 是 Rt△ABC 的斜边, AP⊥平面 ABC, PD⊥BC 于点 D,连接 AD,则图中共有直角三角形的个数 是( A.8 C.6 ) B.7 D.5

【解析】选 A.因为 AP⊥平面 ABC,BC 平面 ABC, 所以 PA⊥BC,又 PD⊥BC 于 D,PD∩PA=P, 所以 BC⊥平面 PAD,AD 平面 PAD,所以 BC⊥AD.

又 BC 是 Rt△ABC 的斜边,所以∠BAC 为直角. 所以图中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB, △ADC,△ADB. 3.在空间中,下列说法正确的有( )

①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一平面的两条直线互相平行; ④两条异面直线不可能垂直于同一平面. A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】选 B.由公理 4 知①正确,由线面垂直的性质定理知④正确.对于②,空 间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能.对③中的两条平 行于同一个平面的直线,其位置关系不确定. 4.(2013·广东高考)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列说法中正确的 是( ) B.若 l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β D.若α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β

A.若 l∥α ,l∥β ,则α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则α ∥β

【解析】选 B.对于选项 A,两个平面α,β平行于同一条直线,不能确定两平 面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行);对于选项 B,垂直于同一条 直线的两个平面平行(直线是公垂线);对于选项 C,能推出两个平面相交且两个 平面垂直;对于选项 D,l∥β,l⊥β,l β都可能. 5.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 的 中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( )

A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 【解析】选 C. 因为△ABC 为直角三角形,M 为斜边 AB 的中点, 所以 MA=MB=MC, 因为 PM 垂直于△ABC 所在平面, 所以 Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC, 所以 PA=PB=PC . 【变式训练】已知直线 PG⊥平面α 于 G,直线 EF α ,且 PF⊥EF 于 F,那么线 段 PE,PF,PG 的关系是( A.PE>PG>PF C.PE>PF>PG ) B.PG>PF>PE D.PF>PE>PG

【解析】选 C.在 Rt△PFE 中,PE>PF;在 Rt△PFG 中,PF>PG,所以 PE>PF>PG. 6.(2014·吉安高二检测)如图,设平面α ∩β =EF,AB⊥α ,CD⊥α .垂足分别 为 B,D,如果增加一个条件,就能推出 BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选 项中的( A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC 与 BD 在β 内的射影在同一条直线上 D.AC 与α ,β 所成的角相等 )

【解析】选 D.对于 A.若 AC⊥β,EF β,则 AC⊥EF. 又 AB⊥α,EF α,则 AB⊥EF,AB⊥α,CD⊥α, 所以 AB∥CD, 故 ABDC 确定一个平面,又 AC∩AB=A, 所以 EF⊥平面 ABDC, BD 平面 ABDC, 所以 EF⊥BD.同理 B 也能推出 BD⊥EF.对于选项 C.由于 AC 与 BD 在β内的射影在同一条直线上,所以平面 ABDC 与平面β垂直,又因为 EF⊥AB, 所以 EF⊥平面 ABDC,所以 EF⊥BD.对于 D,若 AC∥EF,则 AC 与α,β所成的角 也相等,但不能推出 BD⊥EF. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·无锡高二检测)已知直线 m 平面α ,直线 n 平面α ,m∩n=M,直线 a⊥m,a⊥n,直线 b⊥m,b⊥n,则直线 a,b 的位置关系是________. 【解析】因为直线 a⊥m,a⊥n,直线 m 平面α,直线 n 平面α,m∩n=M,所 以 a⊥α.同理可证直线 b⊥α,所以 a∥b. 答案:a∥b 8.若三个平面两两垂直, 它们交于一点 A, 空间一点 C1 到三个平面的距离分别为 5,6,7,则 AC1 的长为________.

【解析】如图构造长方体,可知长方体的长、宽、高分别为 7,6,5,AC1 为体 对角线,所以 AC1= = .

答案: 9.AB 是☉O 的直径,点 C 是☉O 上的动点(点 C 不与 A,B 重合),过动点 C 的直线 VC 垂直于☉O 所在的平面,D,E 分别是 VA, VC 的中点, 则下列结论中正确的是________(填 写正确结论的序号). (1)直线 DE∥平面 ABC. (2)直线 DE⊥平面 VBC. (3)DE⊥VB. (4)DE⊥AB. 【解析】因为 AB 是☉O 的直径,点 C 是☉O 上的动点(点 C 不与 A,B 重合), 所以 AC⊥BC, 因为 VC 垂直于☉O 所在的平面, 所以 AC⊥VC,又 BC∩VC=C, 所以 AC⊥平面 VBC. 因为 D,E 分别是 VA,VC 的中点, 所以 DE∥AC,又 DE?平面 ABC,AC 平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC, DE⊥平面 VBC,DE⊥VB, DE 与 AB 所成的角为∠BAC 是锐角,故 DE⊥AB 不成立. 由以上分析可知(1)(2)(3)正确. 答案:(1)(2)(3)

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·开封高一检测)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)求证:AB⊥A1C. (2)若 AB=CB=2,A1C= 【解析】(1)如图, 取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 又 A1C= . ,故 OA1⊥OC. ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

,则 A1C2=OC2+O

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,所以 OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1= × =3.

11.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=1,∠ACB=90°, AA1= ,D 是 A1B1 的中点.

(1)求证:C1D⊥平面 A1B. (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1⊥平面 C1DF?并证 明你的结论.

【解析】(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又 D 是 A1B1 的中点, 所以 C1D⊥A1B1. 因为 AA1⊥平面 A1B1C1,C1D 平面 A1B1C1, 所以 AA1⊥C1D,又 AA1∩A1B1=A1, 所以 C1D⊥平面 A1B. (2)作 DE⊥AB1 交 AB1 于 E,延长 DE 交 BB1 于 F,连接 C1F, 则 AB1⊥平面 C1DF,点 F 即为所求. 证明:因为 C1D⊥平面 AA1B1B,AB1 平面 AA1B1B, 所以 C1D⊥AB1. 又 AB1⊥DF,DF∩C1D=D, 所以 AB1⊥平面 C1DF. 【变式训练】如图所示,ABCD 为正方形,SA⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的 平面分别交 SB,SC,SD 于点 E,F,G.求证:AE⊥SB.

【证明】因为 SA⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 SA⊥BC,又因为 BC⊥AB, SA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 SAB,

又 AE 平面 SAB,所以 BC⊥AE. 因为 SC⊥平面 AEFG,所以 SC⊥AE. 又 BC∩SC=C,所以 AE⊥平面 SBC, 所以 AE⊥SB.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知直线 l⊥平面α ,直线 m 平面β .有下面四个说法: ①α ∥β ?l⊥m;②α ⊥β ?l∥m;③l∥m ?α ⊥β ; ④l⊥m ?α ∥β . 其中正确的说法是( A.①② B.①③ ) C.②④ D.③④

【解析】选 B.l⊥α,α∥β,所以 l⊥β .又因为 m β ,所以 l⊥m.①正确.l∥ m,l⊥α ,所以 m⊥α ,又因为 m β ,所以α⊥β,③正确. 2.如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂 直于平面 ABC,动点 P∈l,当点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小( A.变大 B.变小 C.不变 D.有时变大有时变小 【解析】选 C.由于 BC⊥CA,l⊥平面 ABC, 所以 BC⊥l,即 BC⊥AP,又因为 AP∩AC=A, )

故 BC⊥平面 ACP, 所以 BC⊥CP,即∠PCB=90°. 3.(2014·蚌埠高一检测)线段 AB 在平面α 的同侧,A,B 到α 的距离分别为 5, 7,则 AB 的中点到α 的距离为( A.4 B.5 ) C.6 D.7

【解题指南】利用线面垂直的性质求解. 【解析】选 C.设 AB 的中点为 M,分别过 A,M,B 向 α作垂线,垂足分别为 A1,M1,B1,则由线面垂直的 性质知 AA1∥MM1∥BB1,四边形 AA1B1B 为直角梯形, AA1=5,BB1=7,MM1 为其中位线,所以 MM1= =6.

4.(2014· 洛阳高一检测)PO 垂直于△ABC 所在平面α , 垂足为 O, 若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,且点 O 在△ABC 内部,则点 O 是△ABC 的( A.重心 B.垂心 C.外心 )

D.内心

【解析】选 D.如图所示,因为 PO⊥平面 ABC,所以 PO⊥AB.又因为 PD⊥AB,PO∩PD=P,所以 AB⊥平面 POD,所以 AB⊥OD.同理,OE⊥BC,OF⊥AC. 又因为 PD=PE=PF,所以 OD=OE=OF. 所以 O 为△ABC 的内心. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·合肥高一检测)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是棱 AA1,AB 上的点,若∠B1MN=90°,则 ∠C1MN=________.

【解析】因为 B1C1⊥平面 ABB1A1,所以 B1C1⊥MN.又∠B1MN 是直角, 所以 MN⊥B1M.又 B1C1∩B1M=B1, 所以 MN⊥平面 B1C1M. 所以 MN⊥C1M,所以∠C1MN=90°. 答案:90° 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总 是保持 AP 与 BD1 垂直,则动点 P 的轨迹为________.

【解析】如图,先找到一个平面总是保持与 BD1 垂直, 连接 AC,AB1,B1C,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 有 BD1⊥面 ACB1, 又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 根据平面的基本性质得: 点 P 的轨迹为面 ACB1 与面 BCC1B1 的交线段 CB1. 答案:线段 CB1 【变式训练】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 AD,DD1,D1A1, A1A 的中点,M 是 AB 的中点,点 N 在四边形 EFGH 的四边及其内部运动,则 N 满 足什么条件时,有 MN⊥A1C1.

【解析】连接 EG,EM,GM,BD, 因为正方形 AA1D1D 中,E,G 分别为 AD,A1D1 的中点, 所以 EG∥AA1. 因为 AA1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 EG⊥平面 A1B1C1D1. 因为 A1C1 平面 A1B1C1D1, 所以 A1C1⊥EG. 因为在△ABD 中,EM 是中位线,所以 EM∥BD. 因为 BB1∥DD1 且 BB1=DD1, 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥BD. 所以 EM∥B1D1. 因为正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, 所以 A1C1⊥EM. 因为 EM∩EG=E,EM,EG 平面 EGM, 所以 A1C1⊥平面 EGM. 因此,当点 N 在 EG 上时,直线 MN 平面 EGM,有 MN⊥A1C1 成立. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·宿迁高二检测)如图,在三棱锥 P-ABC 中, 点 E,F 分别是棱 PC,AC 的中点. (1)求证:PA∥平面 BEF. (2)若平面 PAB⊥平面 ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥PA. 【解题指南】(1)根据三角形中位线的性质,可得 EF∥PA,再利用线面平行的判

定定理,可证 PA∥平面 BEF. (2)作 PO⊥AB,垂足为 O,根据平面 PAB⊥平面 ABC,可得 PO⊥平面 ABC,所以 PO⊥BC,利用 PB⊥BC,可得 BC⊥平面 PAB,从而可得结论. 【证明】(1)因为点 E,F 分别是棱 PC,AC 的中点, 所以 EF∥PA, 因为 PA?平面 BEF,EF 平面 BEF, 所以 PA∥平面 BEF. (2)作 PO⊥AB,垂足为 O, 因为平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB, 所以 PO⊥平面 ABC,所以 PO⊥BC, 因为 PB⊥BC,PO∩PB=P,所以 BC⊥平面 PAB, 因为 PA 平面 PAB,所以 BC⊥PA. 【变式训练】如图,已知点 P 为平面 ABC 外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证: PB⊥AC.

【证明】过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O,连接 OA,OB,OC.因为 BC 平面 ABC,所以 PO⊥BC. 又因为 PA⊥BC, PA∩PO=P, 所以 BC⊥平面 PAO.

又因为 OA 平面 PAO, 所以 BC⊥OA. 同理,可证 AB⊥OC. 所以 O 是△ABC 的垂心.所以 OB⊥AC. 又因为 PO⊥AC,OB∩PO=O,所以 AC⊥平面 PBO. 又 PB 平面 PBO,所以 PB⊥AC. 8.(2014·山东高考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F 分别为线 段 AD,PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BEF. (2)求证:BE⊥平面 PAC. 【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行. (2)本题考查了线面垂直的判定,在平面 PAC 中找两条相交直线与 BE 垂直即可. 【证明】(1)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2, 又因为 E 为 AD 的中点,所以 AE=1,所以 AE=BC, 因为 AB=BC,AD∥BC,所以四边形 ABCE 为菱形, 因为 O,F 分别为 AC,PC 的中点,所以 OF∥AP, 又因为 OF 平面 BEF,AP?平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)因为 AP⊥平面 PCD,CD 平面 PCD, 所以 AP⊥CD, 因为 BC∥ED,BC=ED,

所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD,所以 BE⊥PA, 又因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC, 又因为 PA∩AC=A,PA,AC 平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 【变式训练】在△ABC 中,∠BAC=60°,P 是△ABC 所在平面外一点,PA=PB=PC, ∠APB=∠APC=90°. (1)求证:PB⊥面 PAC. (2)若 H 是△ABC 的重心,求证:PH⊥面 ABC. 【证明】(1)如图,由题设易得 AB=AC,因为∠BAC=60°, 所以△ABC 为等边三角形, 所以 AB=BC. 因为 PA=PB=PC, 所以△PAB≌△PBC, 所以∠BPC=∠APB=90°, 即 PB⊥PC. 又 PB⊥PA,PA∩PC=P,所以 PB⊥面 PAC. (2)取 BC 中点 D,因为 PB=PC,所以 PD⊥BC. 同理可得 AD⊥BC,所以 BC⊥面 PAD. 因为 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线, 所以△ABC 的重心 H 在 AD 上, 所以 BC⊥PH,同理可得 AB⊥PH.

又 AB∩BC=B,所以 PH⊥面 ABC.

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