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课时作业21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


课时作业 21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.计算 sin44° cos14° -cos44° cos76° 的结果等于( 1 A.2 2 C. 2 3 B. 3 3 D. 2 ) 分值:100 分

解析:sin44° cos14° - cos44° cos76° = sin44

° cos14° - cos44° sin14° 1 =sin30° =2. 答案:A 4 π 2.若 cosα=-5,α 是第三象限的角,则 sin(α+4)=( 7 2 A.- 10 2 C.- 10 7 2 B. 10 2 D. 10 )

4 3 解析:由题知,cosα=-5,α 是第三象限的角,所以 sinα=-5, π π π 3 2 由两角和的正弦公式可得 sin(α+4)=sinαcos4+cosαsin4=(-5)× 2 4 2 7 2 +(-5)× 2 =- 10 . 答案:A 3-sin70° 3. =( 2-cos210° )

1 A.2 C.2

2 B. 2 3 D. 2

3-sin70° 3-cos20° 3-?2cos210° -1? 解析: = = 2 2 2 2-cos 10° 2-cos 10° 2-cos 10° =2. 答案:C 1 1 4.(2013· 莱州一中检测)已知 tanα=4,tan(α-β)=3,则 tanβ 等 于( ) 7 A.11 1 C.-13 11 B.- 7 1 D.13

1 1 解析: 由 tanα = 4 , tan(α - β) = 3 ,得 tanβ = tan[α - (α - β)] = 1 1 4 -3 tanα-tan?α-β? 1 = =- 1 1 13. 1+tanαtan?α-β? 1+4×3 答案:C α 1+tan2 4 5.若 cosα=-5,α 是第三象限的角,则 α=( 1-tan2 1 A.-2 C.2 1 B.2 D.-2

)

α α α 1+tan2 cos2+sin2 1+sinα 解析: = = α α α cosα , 1-tan2 cos2-sin2 4 ∵cosα=-5,α 是第三象限的角, 3 1 ∴sinα=-5,故原式=-2. 答案:A 6.已知 4 A.-3 C.2 cos2x 1 = π 5,0<x<π,则 tanx 等于( 2cos?x+4? 3 B.-4 D.-2 cos2x )

cos2x-sin2x 解析:∵ π = cosx-sinx 2cos?x+4? =cosx+sinx, 1 即 cosx+sinx=5 ① 1 将①两边平方得 1+2cosxsinx=25, 12 ∴cosxsinx=-25 ② 4 3 由①②及 0<x<π 得 sinx=5,cosx=-5, 4 ∴tanx=-3. 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

4 π α 7 . 若 sin(π - α) = 5 , α ∈ (0 , 2 ) ,则 sin2α - cos2 2 的值等于 __________. 4 4 π 解析:∵sin(π-α)=5,∴sinα=5,又∵α∈(0,2), 3 ∴cosα=5 1+cosα α ∴sin2α-cos22=2sinαcosα- 2 3 1+5 4 3 4 =2×5×5- 2 =25. 4 答案:25 π 5 4 8.已知 α、β∈(0,2).若 cos(α+β)=13,sin(α-β)=-5,则 cos2α=__________. π 解析:由 α、β∈(0,2),得 π π α+β∈(0,π),α-β∈(-2,2). 12 3 故 sin(α+β)=13,cos(α-β)=5, ∴cos2α=cos(α+β+α-β)=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)· sin(α 5 3 12 4 63 -β)=13×5-13×(-5)=65. 63 答案:65 π 4 π 9.(2012· 江苏)设 α 为锐角,若 cos(α+6)=5,则 sin(2α+12)的 值为__________.

π π π 2π 解析:∵0<α<2,∴6<α+6< 3 , π 4 又 cos(α+6)=5, π ∴sin(α+6)= π 3 1-cos2?α+6?=5,

π π π ∴sin2(α+6)=2sin(α+6)cos(α+6) 3 4 24 =2×5×5=25, π π cos2(α+6)=2cos2(α+6)-1 4 7 =2×(5)2-1=25, π π π ∴sin(2α+12)=sin[2(α+6)-4] π π π π =sin2(α+6)cos4-cos2(α+6)sin4 24 2 7 2 17 2 =25× 2 -25× 2 = 50 . 17 2 答案: 50 三、解答题(共 55 分) ?sinx-cosx?sin2x 10.(15 分)(2012· 高考北京卷)已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. f(x)= ?sinx-cosx?sin2x sinx

=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin(2x-4)-1, 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π (2)由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈Z), π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). π 3π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ-8,kπ)和(kπ,kπ+ 8 ](k∈Z). x 11.(20 分)(2013· 淄博模拟)已知函数 f(x)=2cos22- 3sinx. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π 1 cos2α (2)若 α 为第二象限角,且 f(α-3)=3,求 的值. 1+cos2α-sin2α π 解:(1)∵f(x)=1+cosx- 3sinx=1+2cos(x+3), ∴函数 f(x)的最小正周期为 2π. π 又∵-1≤cos(x+3)≤1, ∴函数 f(x)的值域为[-1,3]. π 1 1 1 (2)∵f(α-3)=3,∴1+2cosα=3,即 cosα=-3. 2 2 ∵α 为第二象限角,∴sinα= 3 . ∴ cos2α 1+cos2α-sin2α

cos2α-sin2α = 2cos2α-2sinαcosα

= =

?cosα+sinα??cosα-sinα? 2cosα?cosα-sinα? cosα+sinα 2cosα

1 2 2 -3+ 3 1-2 2 = = 2 2 . -3 12.(20 分)如下图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们的 3 4 终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为(-5,5).

sin2α+cos2α+1 (1)求 的值; 1+tanα →· → =0,求 sin(α+β). (2)若OP OQ 3 4 解 : (1) 由 三 角 函 数 定 义 得 cosα = - 5 , sinα = 5 , 则 原 式 = 2sinαcosα+2cos2α 2cosα?sinα+cosα? = sinα sinα+cosα 1+cosα cosα =2cos2α 3 18 =2×(-5)2=25.

→· → =0, (2)∵OP OQ π π ∴α-β=2,∴β=α-2, π 3 ∴sinβ=sin(α-2)=-cosα=5, π 4 cosβ=cos(α-2)=sinα=5. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 4 4 3 3 7 =5×5+(-5)×5=25.


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