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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之正弦定理


北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》全部教案 第一课时 一、教学目标 1、知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明 方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关 系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作。 3、情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学 生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等 知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? Ⅱ.探析新课 [探索研究] (图 1.1-1) C B A §2.1.1 正弦定理

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

a b c ? sin A , ? sin B ,又 sinC ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C
的定义,有

A b C a (图 1.1-2) c B

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A c (图 1.1-3)

C a B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ? ???

???

??? ? ???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ? ??? ? ???

A

B

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

? ? j

? ??? ? ? ??? ? a c 同理,过点 C 作 ? j AB cos?900 ? A? ?0? j CB cos?900 ?C ? ∴ c sin A ? a sin C ,即 sin A sin C ? ??? ? b c a b c 从而 ? j ? BC ,可得 ? ? sin B sin C sin A sin B sinC
类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

[理解定理]: (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同 一正数, 即存在正数 k 使 a ? k sin A ,b ? k sin B , (2) c ? k sinC ; 等价于

a

sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为:①已

知三角形的任意两角及其一边可以求其他边, 如a ?

b sin A ; ②已知三角形的任意两边与其 sin B

中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。一般地,已知三角形的某些边和 角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

a b

例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理, C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ; 根据正弦定理, b ? 根据正弦定理, c ?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理, sin B ?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20
a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400 a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时, C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 , c ?

⑵ 当 B ?1160 时, C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 , c ?

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习:课本本节练习 1 和练习 2。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sin C ?1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3)

Ⅳ . 课 时 小 结 ( 由 学 生 归 纳 总 结 ):( 1 ) 定 理 的 表 示 形 式 :

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? sin A ? sin B ? sinC ;或 a ? k sin A , b ? k sin B ,

c ? k sinC (k ? 0)(2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边及一角;
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业:课本习题 2-1 五、教后反思: A 组 3、4


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