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2012届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题


广东省佛山市普通高中 2012 届高三教学质量检测(一) 文科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动

,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 棱锥的体积公式: V ?

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1 ? 0}, B ? {x x ? 3 ? 0} ,则集合 (? A) ? B ? U A. {x ?1 ? x ? 3} B. {x ?1 ? x ? 3} C. {x x ? ?1} D. {x x ? 3}

2.等差数列 ?an ? 中, d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a 2 ? A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8 D. ? 10

3.下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为 A. y ? x B. y ? sin x C. y ? ex ? e? x D. y ? ? x3
2

? m ? ni ? 4.已知 i 是虚数单位, m 、 n ? R ,且 m(1 ? i) ? 1 ? n i ,则 ? ? ? ? m ? ni ? A. i B. ?i C. 1 D. ?1
5.已知椭圆

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 5 m 5
B.
2

A. 3

5 15 或 15 3

C. 5

D.

25 或3 3

6. “关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ”是“ 0 ? a ? 1 ” A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.把函数 y ? sin x ( x ?R) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标 6

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数为

A. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R ), x ? R

B. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R ), x ? R

C. y ? sin( x ?

1 2

?
6

D. y ? sin( x ?

1 2

?
6

8.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为 .... 3 ①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.①② C.③④ 9. B. ②③ D. ①④ 2 2

2

某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查, 现从中随机抽出 100 名司机, 已知抽到的司机年龄都

在 ? 20, 45? 岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的 频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 ... A. 31.6 岁 B. 32.6 岁 C. 33.6 岁 D. 36.6 岁

b 10. 已知向量 a ? ( x, 2) , b ? (1, y ) ,其中 x ? 0, y ? 0 .若 a ? ? 4 ,则

1 2 ? 的最小值为 x y

A.

3 2

B. 2

C.

9 4

D. 2 2

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 书法社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱 社被抽出 12 人,则这三个社团人数共有_______________.

?y ? x ? 12. 已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域的面积为 4 ,点 P( x, y) 在所给平面区域内, ?x ? a ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为 13. 对任意实数 a, b ,函数 F ( a, b) ? .

1 ? a ? b? | a ? b |? ,如果函数 f ( x) ? ?x2 ? 2x ? 3, 2

g ( x) ? x ? 1 ,那么函数 G( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? 的最大值等于
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ? cos( ? ?

.

?
3

)?

? 1 ,则点 M (1, ) 到直线 2 2
B

l 的距离为__________. 15.(几何证明选讲)如图, P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的 切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于

C 点.已知 AB ? AC , PA ? 2, PC ? 1 .则圆 O 的面积为
16. (本题满分 12 分)

.

C

P 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. A

在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ,若 B ? 60 ,
?

且 cos( B ? C ) ? ?

11 . 14

(1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积.

17. (本题满分 12 分) 文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级 A 和获得等级不是 A 的机会相 等,物理、化学、生物获得等级 A 的事件分别记为 W1 、W2 、W3 ,物理、化学、生物获得等级不是 A 的 事件分别记为 W1 、 W2 、 W3 . (1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三科成绩均 为 A 记为 ?W1 ,W2 ,W3 ? ) ; (2)求该同学参加这次水平测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的概率 大于 85% ,并说明理由. 18. (本题满分 14 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC ,

?BCA ? 90? , PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.
19. (本题满分 14 分) 已知圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1,圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,圆 C1 , C2 关于直线 l 对称. (1)求直线 l 的方程;

(2)直线 l 上是否存在点 Q ,使 Q 点到 A(?2 2,0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2,0) 点的距离的差为

4 ,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由.
20. (本题满分 14 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)已知 x1 ? e (e ? 2.71828L ) 和 x2 是函数 f ( x ) 的两个不同的零点, 求 a 的值并证明: x2 ? e 2 . 21. (本题满分 14 分)
* 2 设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

3

x 的交点为

N ( xn , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) .
(1)用 xn 表示 Rn 和 an ; (2)若数列 ?xn ? 满足: xn?1 ? 4xn ? 3, x1 ? 3 . ①求常数 p 的值使数列 ?an?1 ? p ? an ? 成等比数列; ②比较 an 与 2 ? 3 的大小.
n

2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 C

二、填空题 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
11. 150 12. 6 13. 3 14.

3 ?1 2

15.

9 ? 4

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ cos( B ? C ) ? ?

11 5 3 2 , ∴ sin(B ? C ) ? 1 ? cos ( B ? C ) ? 14 14

???????3 分

∴ cos C ? cos ?? B ? C ? ? B ? ? cos( B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B ? ?

??

11 1 5 3 3 1 ? ? ? ? 4 2 14 2 7
2

???????6 分

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos C ?

4 3 7

???????8 分

在△ ABC 中,由正弦定理

c b a ? ? sin C sin B sin A b sin A ?5 a
???????10

∴c ? 分 ∴S ?

a sin C ?8 sin A

,

b?

1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2

???????12 分

17. (本题满分 12 分) 解: (1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 种, 分 别 为 W1 ,W2 ,W3) ( 1,W2 ,W3) (W1 ,W2 ,W3) (W1 ,W2 ,W3) ( 1,W2 ,W3) ( 1,W2 ,W3) 、 W 、 、 、 W 、 W 、 ( 、 W ; (W1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3) ???????4 分

(2)由(1)可知,有两个 A 的情况为 W1,W2 ,W3) (W1 ,W2 ,W3)(W1 ,W2 ,W3) 、 、 三个, ( 从而其概率为 P ?

3 8

???????8 分

(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概率大于 85% , ???????10 分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有如下七种情况: 、 、W 、W 、 、W , ( 1,W2,W3 、 W1,W2 ,W3)(W1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3)(W1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3) W )( 概率是 P ?

7 ? 0.875 ? 85% . 8

???????12 分

方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 A 的事件概率大于 85% , ???????10 分 A 的事件有如下七种情况: 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 、 、 、W 、W 、 , (W1 ,W2,W3 、 W1,W2 ,W3)(W1,W2 ,W3)(W1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3)( 1,W2 ,W3)(W1,W2 ,W3) )( 概率是 P ?

7 ? 0.875 ? 85% . 8

????????12 分

18. (本题满分 14 分) (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB 分
? 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

???????1

??????????2

分 又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 分 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE 分 ??????????4 ??????????3

? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC


??????????5

? PC ? AC ? C , ∴ BE ? 平面 PAC
分 (2)取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM , ∵ E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,∴ EF / / CG . ∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , ∴ CG / / 平面 BEF . 分 同理可证: GM / / 平面 BEF . 又 CG ? GM ? G , ∴平面 CMG / / 平面 BEF . 分

??????????6

?????7 分 ?????8

????9

∵ CD ? 平面 CDG ,∴ CD / / 平面 BEF . 分 (3)由(1)可知 BE ? 平面 PAC 又由已知可得 BE ? 2 2 .

????10

1 1 1 8 S ?PAC ? ? AC ? PC ? 2 3 3 2 3 1 32 ∴ VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? 3 9 32 所以三棱锥 F ? ABE 的体积为 . 9 S ?AEF ?

????12 分

????14 分

19. (本题满分 14 分) 解: (1)因为圆 C1 , C2 关于直线 l 对称, 圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) ,圆 C2 的圆心 C2 坐标为 (0, 2) , 显然直线 l 是线段 C1C2 的中垂线, 线段 C1C2 中点坐标是 ( 2,1 ) ,C1C2 的斜率是 k ? 所以直线 l 的方程是 y ? 1 ? ? 分 (2)假设这样的 Q 点存在, 因为 Q 点到 A(?2 2,0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2,0) 点的距离的差为 4 , 所以 Q 点在以 A(?2 2,0) 和 B(2 2,0) 为焦点,实轴长为 4 的双曲线的右支上, ????????2 分 ????????3 分

y1 ? y2 0 ? 2 1 ? ?? , x1 ? x2 4 ? 0 2

????????5 分

1 ( x ? 2) ,即 y ? 2 x ? 3 . k

????????6

即 Q 点在曲线 分

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 2 ) 上, 4 4

????????10

? y ? 2x ? 3 ? 又 Q 点在直线 l 上, Q 点的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的解, ? ?1 ? ?4 4


????????12

消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 , ? ? 12 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ,方程组无解,
2 2

所以点 P 的轨迹上是不存在满足条件的点 Q . 分 20. (本题满分 14 分) 解:在区间 ? 0,??? 上, f ?( x) ? 分 ①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0,??? 上的增函数,无极值; 分 ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

????????14

1 1 ? ax ?a ? . x x

????????2

????????4

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 在区间 ? 0,??? 上, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a
????????7

综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间 ? 0,??? ,无极值; 分 ③当 a ? 0 时, f ( x ) 的是递增区间 (0, ) ,递减区间是 ( , ??) , 函数 f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ? ln a ? 1 . 分 (2) f ( e ) ? 0, ∴ 分 ∴ f ( x) ? ln x ? 分
5 3 5 3 e 5 e3 2 2 ? 0 ,? f (e ) ? f (e 2 ) ? 0 又 Q f (e ) ? ? ? 0 , f (e ) ? ? 2 2 2 2 3 2

1 a

1 a

1 a

????????9

1 1 ? a e ? 0 ,解得: a ? . 2 2 e

????????10

1 2 e

x.

????????11

????????13

分 由(1)函数 f ( x ) 在 (2 e , ??) 递减,故函数 f ( x ) 在区间 (e 2 , e 2 ) 有唯一零点, 因此 x2 ? e 2 .
3
3 5

????????14

分 21. (本题满分 14 分) 解:(1) y ?
2 2 2 2 2 x 与圆 Cn 交于点 N ,则 Rn ? xn ? yn ? xn ? xn , Rn ? xn ? xn ,

????????2 分 ????????3 分

由题可知,点 M 的坐标为 ? 0, Rn ? ,从而直线 MN 的方程为

x y ? ?1, an Rn

由点 N ( xn , yn ) 在直线 MN 上得: 将 Rn ?

xn yn ? ?1, an Rn

????????4 分

2 xn ? xn , yn ? xn 代入化简得: an ? 1 ? xn ? 1 ? xn .

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

(2)由 xn?1 ? 4 xn ? 3 得:1 ? xn?1 ? 4(1 ? xn ) ,
n n n n 又 1 ? x1 ? 4 ,故 1 ? xn ? 4 ?4 n?1 ?4 n ,? an ? 4 ? 4 ? 4 ? 2

① an?1 ? p ? an ? 4n?1 ? 2n?1 ? p ? (4n ? 2n ) ? (4 ? p) ? 4n ? (2 ? p) ? 2n ,

an?2 ? p ? an?1 ? 4n?2 ? 2n?2 ? p ? (4n?1 ? 2n?1 ) ? (16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n
令 an?2 ? p ? an?1 ? q(an?1 ? p ? an ) 得:

(16 ? 4 p) ? 4n ? (4 ? 2 p) ? 2n ? q(4 ? p) ? 4n ? q(2 ? p) ? 2n


????????9

由等式 (16 ? 4 p) ? 2 ? (4 ? 2 p) ? q(4 ? p) ? 2 ? q(2 ? p) 对任意 n ? N 成立得:
n n
*

?16 ? 4 p ? q(4 ? p) ? pq ? 8 ?p ? 2 ?p ? 4 ,解得: ? 或? ?? ? ?4 ? 2 p ? q(2 ? p) ?p?q ? 6 ?q ? 4 ?q ? 2
故当 p ? 2 时,数列 ?an?1 ? p ? an ? 成公比为 4 的等比数列; 当 p ? 4 时,数列 ?an?1 ? p ? an ? 成公比为 2 的等比数列。 ②由①知: an ? 4n ? 2n ,当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 2 ? 6 ? 3 ? 2 ;
1 1 1

????????11 分

当 n ? 2 时, an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .
n n n ?1 n ?1 事实上,令 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) ,则 f ?( x) ? n ? [( x ? 1) ? x ] ? 0 ,

????????12 分

故 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ( x ? 0) 是增函数,
n n

? f (3) ? f (2) 即: 4n ? 3n ? 3n ? 2n ,即 an ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n .

????????14 分


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