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2014届高三第二次模考数学理试题


余江一中高三第二次模拟考试 数学(理)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

10.如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是 侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成 上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1) ,截面下面部分的体积为

/>1 1.设集合 U ? x ? N 0 ? x ? 8 , S ? ? ,2,4,5?, T ? ?3,5,7?, 则 S ? ?CU T ? ?
A. ? ,2,4? 1
3

?

?

V (x) ,则函数 y ? V (x) 的图像大致为 (
( )



B. ? ,2,3,4,5,7? 1

C. ? ,2? 1

D. ? ,2,4,5,6,8? 1 )

2.已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c= ( A:-2 或 2 B: -9 或 3 C: -1 或 1 D: -3 或 1

3.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有(
x



二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )

A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

?log 3 x, x ? 0 ? x 11.已知函数 f ( x ) ? ? ? 1 ? ??3? ,x ? 0 ?? ?
) 12. f ( x ) ? ? 13.函数 y ? ( )

,则满足方程 f (a) ? 1的所有的 a 的值为



4. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )在x ?

?
12

时有极大值, f ( x ? ? ) 为奇函数, ? , ? 的一组可能值依次为( 且 则

a a ? a
x

,求 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) =

?
(A) 6

,?

?
12

? ?
(B) 6 12

,

?
(C) 3

,?

?
6

? ?
(D) 3 6

,

5.对于 R 上可导的任意函数 f (x) ,若满足
< A. f (0) ? f (2) 2 f (1)

1? x ? 0 ,则必有 f ' ( x)
B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

1 与函数 y ? 2 sin ?x 1? x
2

x ? [?2,4] 的图象的所有交点的横坐标之和=

14.若 x ? 0 时,均有 [( a ? 1) x ? 1]( x ? ax ? 1) ? 0 ,则 a = 15.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)在[-2,2]的图像如图所示 给出下列四个命题:

> C. f (0) ? f (2) 2 f (1)

6.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的不恒为 0 的偶函数,且对任意 x 都有 xf ( x ? 1) ? ( x ? 1) f ( x) ,则 f [ f ( )] ? ( A; ) 0
1 x

7 2

① 方 程 f[g(x)]=0 有 且 仅 有 6 个 根 g[f(x)]=0 有且仅有 3 个根 f[f(x)]=0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根 中正确的命题是

②方程 ③方程

B:

1 2
2

C: 1

D:

7 2




7.曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x |
2

9 2 A. e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

8.定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ? 3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,当 ? 1 ? x ? 3 时,

⑴当 a=2 时,求 A ? B;

⑵求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

f ( x) ? x 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012 ) ? (
A 335 B 338 C 1678 D

) 2012 ) 17. (本小题满分 12 分)已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足不
2 2

5? 9.已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图像关于直线 x ? 对称,则实数 a 的值为( 3
A. ? 3 B. -

3 3

C.

2

D.

2 2

等式 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. ``

(2)证明:若 a ? 5 ,则对于任意 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x) sin 2 x ? m sin(x ? (1) 当 m ? 0 时,求 f ( x) 在区间 ? (2) 当 tan a =2 时, f (a ) =

?
4

) sin(x ?

?
4

),

? ? 3? ? 上的取值范围; , ?3 4 ? ?
2 ( a ? R) . x ?1

3 ,求 m 的值。 5

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)当 a ? 1 时,求 f (x) 在 x ? [1,??) 最小值;

(2)若 f (x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)求证: ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 ( n ? N* ) . ? ? ??? 3 5 7 2n ? 1

19. (本小题满分 12 分).某厂家拟在 2013 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量) x

( 万件与年促销费用 m m ? 0)万元满足 x ? 3 ?

k ( k 为常数) ,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是 1 m ?1

万件. 已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元, 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) . (1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

余江一中 2014 届高三第二次模拟考试 数学(理)
20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)讨论函数 f ( x) 的单调性;

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 , 2

答案: AADDC 11: 0或3

ADBBA
; 12: -3 13: 8 15:1 3 4

14: 3/2 16:解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B=(4,5) .

(2)∵ B=(2a,a2+1) ,当 a< 要使 B ? A,必须 ? 当 a=

1 时,A=(3a+1,2) 3

? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ?
(2)∵ m ? 0 时,

2 16 ) ? m ? ?[ ? (m ? 1)] ? 29(m ? 0) m ?1 m ?1

? 2a ? 3a ? 1
2 ?a ? 1 ? 2

,此时 a=-1;

16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 . m ?1
16 ? m ? 1 ,即 m ? 3 时, ymax ? 21 . m ?1

1 1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 当 a> 时,A=(2,3a+1) 3 3 ? 2a ? 2 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 1≤a≤3. ? a ? 1 ? 3a ? 1 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}
2 1 解 :由a x ? ax ? 2 ? 0,得(ax ? 2)(ax ? 1) ? 0,显然a ? 0 ? x ? ? 或x ? a a 2 1 ? x ? ? ?1,1? , 故 | |? 1或 | |? 1,? a |? 1 | ? a a “只有一个实数满足x 2 ? 2ax ? 2a ? 0” .即抛物线y ? x 2 ? 2ax ? 2a与x轴只有 17: 一个交点, ? ? 4a 2 ? 8a ? 0.? a ? 0或2, ?
2 2

∴ y ? ?8 ? 29 ? 21 ,当且仅当

答:该厂家 2013 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.

20: (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? ? x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 ,即 a=2,则 f ?( x) ?

( x ? 1) 2 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调增加。 x

? 命题 " p或q为真命题"时 " | a |? 1或a ? 0" ? 命题 " P或Q "为假命题 ? a的取值范围为?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1?

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 。 故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 上单调减少,在 (0, a ? 1) , (1, ??) 上单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 , 同理可得 f ( x) 在(1,a-1)上单调减少,在(0,1),(a-1,+?)上单调增加。 (2)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

18:解: (1)当 m ? 0时,

1 1 2 ? 1 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
又由 x ? ?

? ? 5? ? ? ? 2 ? ? ? 3? ? , ? 得2 x ? ? ?0, ? , 所以 sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? . 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? ?8 4 ?
2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x , 2

a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 , x x

从而 f ( x ) ? (2)

由于 1 ? a ? 5 ,故 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 上单调增加,从而当 0 ? x2 ? x1 时, 有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故 当 0 ? x1 ? x2 时,有

m 1 ? cos 2 x 1 m 1 1 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ?sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x ? ? 2 2 2 2 2 2
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ; x1 ? x2

由 tan a ? 2 得 sin2a=

2 ? a cos a 2 tan a 4 ? ? , 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1。 x1 ? x2 x2 ? x1

cos2a=

cos 2 a ? sin 2 a 1 ? tan 2 a 3 3 1 ?4 3? 1 ? ? ? ,所以 ? ? ? (1 ? m) ? ? ,得 m ? ?2 2 2 2 5 2 ?5 5? 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5
2 ,定义域为 (0,??) . x ?1

19: (1)由题意可知,当 m ? 0 时, x ? 1 ,∴ 1 ? 3 ? k 即 k ? 2 , ∴ x ? 3?

21: (1) f ( x) ? ln x ?

2 8 ? 16 x ,每件产品的销售价格为 1.5 ? 元. m ?1 x
8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m) x

? f ' ( x) ?

∴2013 年的利润

1 2 x2 ?1 ? ? ? 0, x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

y ? x[1.5 ?

? h(x) 在 (0,??) 上是增函数.

f ( x)min ? f (1) ? 1 .
(2)

……… 4 分

根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x?

2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

a 2 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 因为 h ( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
'
'

因为若 f ( x) 存在单调递减区间,所以 h ( x) ? 0 有正数解. 即 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
2

k ?2 k ?2 1 ,则有 ln , ? k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立. ? 3 5 2k ? 1 2 k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立.

当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ? 1) x ? a 开口向下的抛物线, ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解;
2 2

③当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ? 1) x ? a 开口向上的抛物线,
2

即方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根.
2

因为 x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有两正根.
2

或:

ax 2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解


a( x 2 ? 2 x ? 1) ? x有x ? 0的解

当 x ? 1时, f ( x) ? f (1) ? 1; 即

a?

x 有x ? 0的解 ( x ? 2 x ? 1)
2

?? ? 0 1 ,解得 0 ? a ? . ? 2 ? x1 ? x 2 ? 0
综合①②③知: a ?

a?

x 1 的最大值( x ? 0) ,? a ? 2 ( x ? 2 x ? 1)
2

1 . 2 2 x ?1 . ? 1 ,即 ln x ? x ?1 x ?1

(3) (法一)根据(Ⅰ)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x?

k ?1 k ?1 1 ,则有 ln , ? k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
……… 14 分

? ln(n ? 1) ?

1 1 1 . ? ??? 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ?3ln 2 ? ln8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln(k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 . ?n ? k ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ? ? ??? ? ln k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1


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