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2014年北京市中学生数学竞赛 (高一)


2 2  

中 等 数 学 

2 0 1 4年北京市中学生数学竞赛预赛 ( 高一 )  
中图 分 类 号 : C , 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 8- 0 0 2 2— 0 3  


r />、

选择题( 每小题 6 分, 共3 6分)   nE
n 

( C) 4 0   4 0 2  

( D) 4 0   4 0 3  
十 王  

1 . 设 P是素数集合 ,   是合数集合. 定义 
)=  
P;  

6 . 已知 函数 厂 (  ) :  
一  

. 则 

) 的值 

∈H .

域 为(  

) .  

下 面 三个 命 题 :  

①对任意 、 Y∈ P , 均有 , (  + Y ) = 0 ;   ②对任意 戈 、 Y∈ H, 均有 I ( x + Y )= 0 ;   ③对  ∈ P , Y∈ H, 均有 I ( x+ Y ) = 0  
中, 真命题有 (  
( A) 0  

( A ) 【 _ 1 , 寻 】   ( B ) 【 1 -   , 5 】  
( c ) 卜  , 1 】   ( D ) 【 _ 5 ’  】  
二、 填空题( 每小题 8 分, 共6 4分 )  
1 . 下 面是 我 国著 名 数 学 家 王元 院十 的题 词 : ‘  

) 个.  
( c ) 2   ( D ) 3  

( B ) 1  

2 . 在平面直 角坐标 系 x O y中 , 函数 Y=   1图  像上 的动点 P与坐标原 点 0的距 离 的最小 值为 
(   ) 。  

糍 琵赛 格 
若 不同的汉字代表 0— 9中的不 同数字 , 假设  “ 数学竞赛 好 ” 表示 的是 不 同数字组 成 的五 位数 
中最大的平方数. 则此五位数为— —  2 . 若实数  满 足 l o g 2   l o g 2   =l o g 4   1 0   , 则  3 . 如图 1 , 已知 正方  形A B C D的边 长为 5 , E、  
F为 正 方 形 外 的 两 点 ,   E  
BE =DF : 4. AE = C F=  

( A )  

( B )  

( c ) 1  

( D )  

3 . 在△ A B C中 , 已知 A B= A C , D是 A C上一  点, 且A D= B D= B C . 则C O S   B A C=(   ( A)   ( B )   ) .  
C  

( c )   4 . 一 串数 

( D )  

A  

D 

3 . 则E F= — — .   4 . 试 确 定 不 超 过  √ / t 77-


图1  

1 , 1 , 2, 3, 5, 8, 1 3, 2 1, 3 4, 5 5, 8 9, 1 4 4, 2 3 3, … 

的 最 大 整 数 为 


l斗

2  

的构成规律 是 : 第一个数 和第 二个数均是 1 , 从第 
..... ..... .. ..... ..... .

. .  

三个数起 , 每一个数 均等于其前 面 紧邻 的两个数  之和. 则这 串数 中的第 2   0 1 4个 数被 7除 的余数 
为(   ) .   ( B ) 2   ( C ) 4   ( D) 6   ( A) 0  

5 . 如图 2 , 在 四边形  A B C D 中, 已知  A C B=  

A D B= 9 0 。 , A C与 B D   交 于点 E , A C= B C , A D=   A   4 , B D =7 .则 S  邱 =  
● 
...... ..... ........ ...一

5 . 定义在 R 上 的 函数 f (  ) . 若 对 任 意实 数 


图2  

Y , 均满足方程 


Y ) =   ) + , ( Y ) 一 2 x y ,   ) .  
( S ) 4 0   4 0 1  

则  2 0 1 )=(  
( A) 4 0   4 0 0  

6 . 在立方体 的每个 面上各 写一个 正整数 , 在  每个顶点处写该顶点所在的三个面上 的正整数 的  乘积. 若八个顶点写 的数之 和为 2   0 1 4 , 则六个 面 

2 0 1 4年第 8期 

上写 的数之和为一   7 . 已知 A、 B为集 合 { 0 , 1 , …, 9 } 中 的数 字 , r   为两位整数A  , s 为 两位 整数 B A , r 、 s∈ { 0 o , 0 1 ,  




9 9 } . 当l   r —s   l - k   ( k为 整数 ) 时, 有 序数 对 
 
1  

C H = 朋= 丢 ( 1  = 学 .   y . A H - 1 _ 明 _ 1 - 学 :   澈  
C O 8   c =A   H
=   .  

( A,  ) 的个数 为一

8 . 已知 P是 边长 为 6   的正 △ A B C的内切 
4 . D.  

圆上 的一 个 动点. 则   P+÷P c的最 小值 为 

设这 串数 为 口   , 0   , …, 0   一 , 其构成规律为 
a1=a2=1, 口  =口  


1 + 8 





(  ≥3 ) .  

考虑这些数被 7除 的余数列为 

参 考 答 案 
— —

1, 1 , 2, 3, 5, 1 , 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0, 1 , 1 ….  



1 . A.  

观察余 数列第 1 7 个 数和第 1 8 个数分别与第  1 个数和第 2 个数相 同 , 循 环出现.   注意到 , 2   0 1 4= 1 2 5   x   1 6 +1 4 .   从而 , 所求结果为 6 .  
5 . B.  

若 = 2 , Y = 5 , 得 + Y = 7 , 则 
I ( x+ Y ) :i ( 7 ) =1 ≠0 ,  

故命题① 不真 ;  
若 = 4 , Y = 9 , 得 + Y =1 3 , 贝 0   I ( x+  ) =, ( 1 3 ) =1 ≠0 ,  

在题给方程 中令 = Y , 得  0 ) =   )+   ) 一 2   )=   +  (  0 ) = 口 ) .  
再 取  = Y: 0 , 得 
n =2a =   n =0.  

故命题②不真 ;   若 = 3 , Y = 8 , 得 + Y =1 1 , 则 
, (  + y )=I ( 1 1 )= 1 ≠ 0 ,  

故命题③不真.  
综上 , 真命题有 0个.  
2 . C.  

经检验 ,  
6. B.  

) =   满足方程.  

因此 , - 厂 ( 2 0 1 )=4 0   4 0 1 .  
1  

根据对称性 , 只需考虑  > 0的情形 即可.  

设动点为p ( x , Y ) . 则x y = ÷.  
又  + Y   =(  一Y )  + 2 缈 =(  一 , , )  +1 , 于  是, 当  :  =   时,  + y 2 取得最小值 1 , 此时,  
‘  

注意至 0 ,  一 戈 +1 > 0 .   于是 , , (  ) 的定 义域 为全体实数.   i i  ̄ y -   . 则 

y ( x 2 一   +1 )=  2 十3  +1  

=  

+   的最小值为 1 .  
3. C.  

如图 3 , 设A B= A C=1 ,   A D= B D= B C= 口 . 则 
C D = 1一口 .  

( Y 一1 )   一( Y+ 3 )  +( Y 一 1 )= 0 .   若 二次项 系数 Y 一 1 = 0 , 则  = 0 .   若二 次项 系数 Y一 1 ≠0 , 则 
=  

A  

△=( Y+3 )  一4 ( y一1 )  ≥0  
3 y 2—1 4 y一5≤ 0  

易知 ,  
△A B C∽ △ B C D  

Y ∈ 卜   1 , 5 】 .  
丝  ‘ 。 ‘   ~一    
图3  

。  一

所 以 ,  ) 的 值 域 为 【 一 了 1 , 5 ] .  
二 、 1 . 9 6   7 2 1 .  



。BC   C D 
j   2= 1 一 口  

口   1—0  

注意到 , 3 0 0  = 9 0   0 0 0, 3 1 0  = 9 6   1 0 0,  
3 2 0  =1 0 2   4 0 0>1 0 0   0 0 0 .  

。:  

( 负值舍去 ) .  

于是 , 这个不 同数 字 的五位数 可能在 3 1 0   ~   3 2 0   之 间的九个平方数中.  

作B H上 C D于点 且 则 

中 等 数 学 

又 3 1 1  =9 6   7 2 1 , 3 1 2  =9 7   3 4 4, 3 1 3  =9 7   9 6 9,  
3 1 4   9 8   5 9 6, 3 1 5  =9 9   2 2 5, 3 1 6  =9 9   8 5 6,   3 1 7  =1 0 0   4 8 9>1 0 0   0 0 0.  

而. s A A B C =4 1×( 4   + 7   )= 6 5 故   


堡 一  丝 一   一 堡 j 
肋 I s  8 c  
4  
4 B D 3 L   S z 2 x


一 塑 一 卫 
6 5。  

故不 同数字 的五位数 中最大的平方数为 9 6   7 2 1 .  
2 .   .  

6 5  

. s  8 E 皿


 ̄  -

设 Y= l o g 。 l o g  . 贝 0 口  =   .   令 0= 2和口= 4 . 由题 意知 
2  = 4  = ( 2   ) ‘   )  = 2 2  
=   Y=2 y+ 1=  Y= 一1  
=   .  

× 4×7=l 4, 于是 ,  
= — 。   7 7 = 。   1 1   1 1. ’  

S z  ̄B E-   7 7   6 . 7 4 .  

如图 4 , 设 在 立方体 相 对 的两个 面上 写 的正 
整数 对分 别 为 ( 口. 6 ) . ( c . d ) . ( e .n.  

3 。 ’ 五 .   易知 ,   A E B=   C F D= 9 0 。 .   延长 E A、 F D交 于点 G .  
由  A DG= 9 0 。 一   C D F=   DC F:   B A E,  
DAG =9 0。一   B AE =   A B E.  



△A G D   △B E A .  
于是 , EG=F G=7 .  

队而 , E F= 1   0 2.  
4 . 3 .  

注意 到 ,  

图4  

 ̄ f 4+ 2  


(  

+ 2 )  
+ 2 )  

则 在各顶点处写 的数之和为  0  + a d f+ 0 c e + a d e + b c f + b c e + b d f+ b d e  


2 (  

一 2 ) (  
1 8+4  ̄ /  

1 4 +4+4  ̄ ,  

—1 

—1 ~ ‘  

( 口 + b ) ( c + d ) ( e +  

=2   0 1 4 =2× 1 9 ×5 3 .  

而 3<  l 4< 4 , 于是 , 3 0<1 8+ 4  ̄ / 1 4< 3 4 .  
从而 , 3 <   因此 , 不超过 
5? 1   ?  

从而 , 在各面上写的数之 和为 
( 0+ 6 ) +( C + d ) +( e +  
:2 +1 9 +5 3 =7 4.   7 . 4 2 .  

< 3 . 4 .   的最大整数 为 : 3 .  

1 4 —2  

注意到 ,   l ( 1 0 A+ 曰 )一( 1 0 B+ A ) l =9   I A一  I =  .  

则l A— 日l 为完全平方 数.   由题意知 A 、  、 C 、 D 四点共圆 , 且 
叩 D =   C A D。  

当l A— Bl = 0时 , 有1 0个整数对 :   ( A, 口 ) =( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , …, ( 9 , 9 ) ;   当l  一 曰I = 1 时, 有l 8 个整数对 :  
( A,  ) =( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , …, ( 8 , 9 ) ,  

△A B C为等腰直角三角形 ,   C B A= 4 5 。 .   以 c为 中心旋转 △ B C D, 使点 B与 A重合 ,   则B D落在 A D上 , 得△ A C F .   于是 , A F= 7 , D F=7- 4= 3 ,  
F DC =   A BC =4 5 O .  

及它们 的逆序数 ;   当l A— B I = 4时 , 有l 2 个整数对 :  
( A,  ) =( O , 4 ) , ( 1 , 5 ) , …, ( 5 , 9 ) ,  

过点 c作 C H   j - D F于点 H . 则 

C H =  F = 寻 .  
从而 , S A A C D - "   1× 4×   3= 3
. 

及它们 的逆序数 ;   当I A—  f = 9时 , 有2 个整数对 :  
( A, B ) =( O , 9 ) ,  

及其逆序数.  

2 0 1 4年第 8 期 

2 0 1 4年全 国高中数学联赛 四川赛 区预赛 
中圈分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码:A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 8— 0 0 2 5—0 5  





选择题 ( 每小题 5分 , 共3 O分)  

1 . 设口 、 b ∈R, 复数 = 0 + 4   i , 且÷
则 b= (   ) .  

= 4   i .  

)   ( B ) (   1 , + ∞ )   ( c ) [ } ,   1 )   ( D ) 【   1 , 丢 】  




+ ∞

( A) 一 1 6   ( B ) 1   ( C ) 1 6   ( D) 1 7   2 . 过椭圆的左焦点 F作倾 斜角为 4 5 。 的直线  f 与该椭 圆交于 A 、 曰两 点. 若I B Fl = 2 I A FI , 则该 

4 . 已知 a 、 b 为正实数 , 记 
P=

/  ̄+ - b 2   一 a 丁 + b


Q=  

一  

椭 圆的离心率为 (  

) .  

( A )   1  ( B ) 孚 ( c )   1  ( D )  
3 . 已知公 差为 d的等差数列 { a   } 满足 d > 0 ,   且a   是a   、 a   的等 比中项. 记b   = a :   ( / " b ∈ Z+ ) ,   对任意 的正整数 n均有 
】  
+ 

R:河 一   .   a + D  
则下列判断正确的是 (  
( A) P≥Q≥尺   ( C ) Q≥  ≥P  

) .  

( B) Q≥P≥R  

1  

一 +  

1  

<  2‘  

.  

( D ) P、 Q、 R的大小关系不能确定  5 . 已知一个 半径 为 6的球. 则该 球 内接正 三 

则公差 d的取值范 围是 (  

) .  

棱锥 的体积 的最大值为(  

) .  

从而, 满 足条 件 的有 序 数 对 个 数 为 
1 O +1 8+ 1 2 +2 =4 2 .  

PM = =  一 PC  =—— OP =~ =   2  =   …厂, 一     = =一   2   … , , f   .  
=  

8 .  

.  

注意到 , P  + p c =船 + P M>  ̄B M.   过点 M 作 MH上 B C于点 H 则 
MH =   c=   1( 0 c O M)=   9


如图5 , 设△ A B C内切 圆为oD, 取O C上 的  
点  , / [  ̄O M= lo c
.  

,  





C H :6  



竽=   4.  

故B M =  



 



 






C  

— — 2   ‘  

图5  

因 此 

+  

c=胁

? P M>  ̄B M =  

.  

由正△ A B C的边长为 6 √  , 知 
OC =6, DP =3, OM =   3  

当动点 P为 B M 与 内切 圆的交点 时 , 得 到最 

小 值 单 .  
( 李延 林 提供 )  

j  —— O P  : =一   0C   : :—   2 —    

A /    O PM ( / ) A  OC P


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