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2014届高三人教A版数学一轮复习精练 7.4 基本不等式 Word版含解析]


双基限时练
巩固双基,提升能力 一、选择题 1 1 1.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则a+b的最小值是( 1 A.4 B.1 C.4 D.8 )

a+b=1, ? ? 解析:由 a>0,b>0,ln(a+b)=0,得?a>0, ? ?b>0. 1 1 a+b 1 1 1 故a+b= ab =ab≥? = =4. a+b?2 ?1?2

? ? ? ? ?2? ? 2 ? 1 当且仅当 a=b=2时,上式取等号. 答案:C
?1 a? 2.已知不等式(x+y)? x +y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正 ? ?

实数 a 的最小值为( A.2 C.9
? ?

) B.4 D.16

?1 a? x y 解析:(x+y)?x +y ?=1+y· a+x+a.

∵x>0,y>0,a>0, ax y ∴1+ y +x+a≥1+a+2 a. 由 9≤1+a+2 a,得 a+2 a-8≥0, ∴( a+4)( a-2)≥0. ∵a>0,∴ a≥2,∴ a≥4,∴a 的最小值为 4.

答案:B 4 ? ? 3.已知函数 f(x)=lg?5x+5x+m?的值域为 R,则 m 的取值范围是
? ?

(

) A.(-4,+∞) B.[-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4] 4 解析:设 g(x)=5x+5x+m,由题意 g(x)的图像与 x 轴有交点,而

4 5x+5x≥4,故 m≤-4,故选 D. 答案:D 4.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3x+27y+1 的最小值为( A.3 C.1 ) B.5 D.7

解析:方法一:由 x+3y-2=0,得 3y=-x+2. ∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1 9 =3x+3x+1 ≥2 9 3x· 3x+1=7.

9 当且仅当 3x=3x,即 3x=3,即 x=1 时取得等号. 方法二:3x+27y+1=3x+33y+1≥2 3x· 33y+1=2 32+1=7. 答案:D 5. 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8, 则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C.2 B.4 11 D. 2 )

解析:∵2xy=x· (2y)≤?

?x+2y?2 ?, ? 2 ?

∴原式可化为(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. 又∵x>0,y>0,∴x+2y≥4.当 x=2,y=1 时取等号. 答案:B 1 1 6.(2013· 苍山调研)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则x+3y的 最小值是( A.2 C.4 ) B.2 2 D.2 3

解析:由 lg2x+lg8y=lg2,得 lg2x+3y=lg2. 1 1 ?1 1 ? x 3y ∴x+3y=1,x +3y=? x+3y?(x+3y)=2+3y+ x ≥4.
? ?

答案:C 二、填空题 1??1 ? ? 7 . 设 x 、 y ∈ R , 且 xy≠0 , 则 ?x2+y2? ?x2+4y2? 的 最 小 值 为
? ?? ?

__________. 1 ?? 1 ? ? 1 解析:?x2+y2??x2+4y2?=1+4+4x2y2+x2y2≥1+4+2 4=9.
? ?? ?

1 2 当且仅当 4x2y2=x2y2时等号成立,即|xy|= 2 时等号成立. 答案:9 8.(2013· 台州调研)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1), 则(a+1)(b+2)的最小值为__________. 解析:∵ab-4a-b+1=0, 4a-1 ∴b= ,ab=4a+b-1. a-1

∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 4a-1 =6a+ · 2+1 a-1 [4?a-1?+3]×2 =6a+ +1 a-1 6 =6a+8+ +1 a-1 6 =6(a-1)+ +15. a-1 ∵a>1,∴a-1>0. 6 ∴原式=6(a-1)+ +15≥2 6×6+15=27. a-1 当且仅当(a-1)2=1,即 a=2 时等号成立. ∴最小值为 27. 答案:27 9.(2013· 聊城质检)经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千 辆 / 小时 ) 与汽车的平均速度 v( 千米 / 小时 ) 之间有函数关系: y = 920v (v>0),在该时段内,当车流量 y 最大时,汽车的平均 v +3v+1 600
2

速度 v=__________千米/小时. 解析:∵v>0, 920 ∴y= 1 600 ≤ v+ v +3 2 920 920 = ≈11.08, 80+3 1 600 v· v +3

1 600 当且仅当 v= v ,即 v=40 千米/小时时取等号. 答案:40 三、解答题 10.已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1.

1 4 9 求证:x +y + z ≥36. 解析:∵x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1,
?1 4 9? ?y 4x? ? z 9x? 1 4 9 ∴ x + y + z = (x + y + z) ? x+y+ z ? = 14 + ?x+ y ? + ?x+ z ? + ? ? ? ? ? ? ?4z 9y? ? + ? ≥14 + 2 z? ?y

y 4x x· y +2

z 9x 4z 9 y · + 2· x z y· z = 14 + 4 + 6 + 12 =

36. 1 1 当且仅当 x2=4y2=9z2, 1 1 1 即 x=6,y=3,z=2时等号成立. 1 4 9 ∴x+y+ z ≥36. 11.某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示,操场的两头 是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能 让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽.

解析:设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m, 中间的矩形区域面积为 S m2, πy 则半圆的周长为 2 m. πy ∵操场周长为 400 m,所以 2x+2× 2 =400, 400 即 2x+πy=400(0<x<200,0<y< π ). 1 1 ?2x+πy?2 20 000 ? ?= ∴S=xy=2π· (2x)·(πy)≤2π· π . ? 2 ?

? ? ?2x=πy, ? 由 解得? 200 ? y= . ?2x+πy=400, ?
π

x=100,

?x=100, ∴当且仅当? 200 ?y= π

时等号成立.

200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 π m 时, 矩形区域面积 最大. 12.已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0. (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解析:(1)由 x+y-3xy+5=0,得 x+y+5=3xy. ∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. ∴3xy-2 xy-5≥0. ∴( xy+1)(3 xy-5)≥0. 5 25 ∴ xy≥3,即 xy≥ 9 ,等号成立的条件是 x=y. 5 25 此时 x=y=3,故 xy 的最小值是 9 .
?x+y?2 3 ? ? = (x+y)2, (2)方法一:∵x+y+5=3xy≤3· 4 2 ? ?

3 ∴4(x+y)2-(x+y)-5≥0. 即 3(x+y)2-4(x+y)-20≥0. 即[(x+y)+2][3(x+y)-10]≥0. 10 ∴x+y≥ 3 .

5 等号成立的条件是 x=y,即 x=y=3时取得. 10 故 x+y 的最小值为 3 . 25 方法二:由(1)知,x+y+5=3xy,且(xy)min= 9 , 25 ∴3(xy)min= 3 . 25 10 5 ∴(x+y)min= 3 -5= 3 ,此时 x=y=3.


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