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第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答


2 0 1 3年  第 5 2卷  第 5期 

数 学通报 

5 7  

第十六届北京高 中数学 知识应 用竞赛  决 赛 试 题 及 解 答 
1 .寒 假过 后 张磊长 高 了许 多 , 一条 半 新 的运 
关 于计 薪 的背景 材料 如 下 :  

动 裤显 得很 短 , 他 决定 把裤 腿剪 掉改 成短 裤 , 等 天 
气 暖和 了穿 . 张磊 把两 条裤 腿对 折后 , 根 据数 学 原  理 画 了一 条剪 裁 线 ( 不含 裤 脚 边 ) , 并 成 功 改 造 了 

A.根 据《 北 京 市工 资支付规 定》 , 在 法 定休 假 
日工作 的 , 应 当按 照 不 低 于 日工 资基 数 的 3 0 0  

支付加 班 工 资 , 在 周末 休 息 日工作 的 , 用人 单位 应  当首 先安排 劳动 者 在 同等 时 间补休 , 不 能 安排 补 
休 的, 按 照 不 低 于 日工 资 基 数 的 2 0 0 % 支 付 加 班  工 资.   B. 根 据 人 力 资源和 社会 保 障部 的 最新 规 定 ,  

长裤 . 请 你 指 出张磊 的剪 裁 方案 是 下 面 4种剪 裁 
线 中的哪一 种 , 并 说 明其 中的数 学原 理 .  

我 国的制 度计 薪 日为 2 1 . 7 5天 ( 注: ( 3 6 5 —1 0 4 ) ÷ 

1 2 —2 1 . 7 5 ) . 日工 资基 数 就 是 由职 工 个 人 的 月薪 
A  B  C  D 

与制 度计 薪 日相 除得 来.  
C .根 据 国务 院 办 公 厅 放 假 通 知 , 2 0 1 3年 春  节假 期从 2月 9日至 1 5日, 放 假 7天. 其 中, 2月  
9 日至 1 1日为法 定 节假 日, 1 2 日至 1 5 日为 星 期 
双休 的调休 .  


:  

( 1 ) 这 种 说 法 是 正 确 的. 根 据 背 景 材 料 

C, 春节 期 间有 3个 法定节 假 日、 4个 调休 , 按 照 背  景 材 料 A, 法 定 节 假 日 至 少 付 日工 资 基 数 的 

/  
:  
解 短裤 的 下 部裤 腿 部 分 近 似 于 圆 台侧 面 ,   根据 圆 台侧 面展 开 图 的 知识 , 可 知 裁 剪 线应 该 是 

3 0 0 %, 调休 至 少 付 日工 资 基 数 的 2 0 0 %. 于是 春  节一天没歇 , 便 至 少 拿 日工 资基 数 的 3个 3 0 0 % 
和 4个 2 0 0 %, 合计为 1 7个 日工 资基 数.   月薪 为 5 0 0 0元 , 根 据 背 景 材 料 B, 日工 资应  为5 0 0 0 ÷2 1 . 7 5 —2 2 9 . 8 9元 . 加班工资为 2 2 9 . 8 9  
×1 7 —3 9 0 8 . 1 3元 .  

圆心 为两侧 裤 缝 所 在 直 线交 点 的 圆上 的一 段 弧 ,  
如上 图. 因此 , 选 D.  

2 . 2 0 1 3年 2月 1 6日北 京 晚报 头 版 一 篇 文 章  的标 题 为 “ 春 节 一 天没 歇 , 可拿 1 7倍 日均 工 资 ” .   请 回答 :  

( 2 ) 月 加 班 工 资 的表 达 式 为 Y一  
● U  

( 3 s + 

2 t ) , Y的取值 范 围 由 S和 t的范 围决 定 , 一年 的每 


个 月 中的 国家 法 定假 日最 多 为 3天 ( 春 节 和 国 

( 1 ) 这 种说 法 是 否 正 确 , 并 给 出算 法 理 由. 以  月工 资 5 0 0 0元 为例 , 计算 出春节 全加 班 的工 资 ;   ( 2 ) 如果某 个 月 里 , 一 位 月 薪 为 a元 的员 工 ,   在 国家 的法定 假 日加 班 S 天, 在周末又加班 t 天,   请 写 出这位 员工该 月加 班 工 资 Y的 表 达 式 , 并 估 
计 Y的范 围.  

庆) , 有 可 能 中 秋 和 国庆 节 重 合 , 这时 , 1 O月 的 国  家 法定 假 日为 4天 . 一 个月 中 的周六 、 日的天 数 的  最大值是 1 0天 ( 只要 取 1 、 号 是 星期 六 , 就 可 以 发 
现3 0日是星 期 日, 恰 好 覆 盖 了 5个 周 末 ) ; 另外 ,  

存 在 没有 国家 法定 假 日周 末 休 息 日. 综上 , 0 ≤3 s  

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数 学通报 

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+2 t≤ 3 ×4 +2 ×1 0 =3 2 , 即0 ≤  ≤ 

.  

E d g e ( x,   )一寺 l  f ( x -  ̄ - 1 , Y +1 )+ f ( x,  
L J  

( 在 解答 时 , 如 果 没 有 考 虑 到 中秋  节在 1 0月  
o n 一 

Y+ 1 )+ f( z一 1 ,Y+ 1 )一 厂(  + 1 ,   一1 ) 一 

份 的情况 , 答 案是 0 ≤  ≤ 

也算 正确 )  

f( x,   一1 ) 一 (  一 1 ,   一1 )l,  

显然 , 若( z,  ) 不是 边 缘 点 , 其E d g e ( x,  ) 值 
3 . 在 垂 直于水 平 面 的板 壁 上 画一个 直径 为 一 

就很 小 , E d g e ( x,  ) 值 较大 时 对应 的点 ( . z ,  ) 是 边  缘点 , 这 时要 给 定 一个 阈值 a ( a >0 ) , 对 于点 ( z,   ) , 若 E d g e ( x,  ) ≥a, 则 将 其 涂 成 白色 , 否 则 涂  成 黑色 , 这样 , 所 有 白色 点 属 于 这 个 灰 度 图 像 的 
边 缘.   现在 给 出一个 纯 黑 纯 白两 色 图 , 黑 色 是 正八 

米 的 圆圈 , 从 圆 圈 的最 高 点 A 沿 着 弦 AB 和 AC  
装 有两 道滑 槽 ( 如 图) . 把 三 颗 弹 丸从 A 点 同 时放 

下, 让一 颗 自由落下 , 另外 两 颗分 别在 两道 滑槽 里  毫无摩 擦 而且 没 有 滚 动 地 滑下 . 问 哪 一 颗 先 到达 
圆周 ?为 什么 ?   解 三颗 弹丸 在重 力 的作用 下 以不 同 的加 速 

边 形 AB C DEF G H, 如图 1 , 我 们 将 黑色 点 取 值 为 
0 , 将 白色 点取 值 为 1 , 这 个 图被 二值 化 了. 由此 计 

度做 匀加 速运 动.  

算 出每一 点 ( 9 2 ,  ) 的 E d g e (  , Y ) , 给定 了阈值 a  
后, 画 出 了正 八 边 形 边 缘 的八 条边 中六 条 边 的位 
置, 如图 2 .  

请 回答 下列 问题 :   ( 1 ) 为何 在 图 2中显 示 的 正 八 边形 边 缘 不完 
整, 缺少 B C和 F G 边缘 ?  

( 2 ) 请 你设 计 出一种 方 法 , 将 图 2缺少 的边 缘 
提 取 出来 . 说 明理 由.   ( 3 ) 图 2显 示 的 DE 边 缘 白线 比 E F 边缘 白  

线粗 , 你 能 由此 判 断 出 这里 给 定 的 阈值 a是 怎 样 
的数 值 吗?  

B 

G 

自由落 体 的弹丸 沿直 径 AD 以重 力加 速 度 g  
C  F 

下 落 . 使 用 公 式 A D 一   g £ z , 算 出   = = = √  .  
沿弦 ( 如 弦 AC ) 运 动 的 弹丸 将 以重 力 加 速 度 
g沿 AC 的分 量 a做 匀 加 速 运 动. 所 用 的 时 间 为 
t l一

图 1 原 始 二 值 图 

√  . 注 意 到 g 和 n 有 关 系   g 一  . 可 以  
由此 可 知 弹丸沿 直径 下落 与 沿 弦 AC下滑 所 

得到 t 1 一t .  

用 的时 间是相 同的. 沿 线 AB运 动 的结 论 也一 样.   4 .灰 度 图 像 是 数 字 图 像 中非 常 重 要 的一 类 

图像 , 灰度 图像 的边缘 是 数字 图像 的关 键特 征 , 在 
已经定 义 了点 的 灰 度值 之 后 , 有一 种 刻 画灰 度 图 
图 2 边缘 提 取 图 像 

像 边缘 的方 法 : 如果 用 f ( x,  ) 表 示 图像 在 点 ( z,  
) 处 的灰 度值 , 定 义 
解  ( 1 ) B C和 F G 边 缘 是 由竖 直 方 向 的点 构 

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●● ●● o  ● ● ●o o 
● ● o o o  ● o o o o 
图 5  

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成的, 竖 直边缘 上下 位置 点 的颜色 是一样 的 , 导 致  在 该算 法 中 , 这样 的点 的 E d g e ( x, j , ) 为0 , 小 于 阈  值( 阈值 是 正数 ) , 于是 被涂 上 了黑 色 , 所 以竖 直 边  缘 在 图 2中没有 出现 .  
( 2 ) 竖直 边缘 的获取方 法如 下 :  

根 据 阈 值 n ( ÷ < n ≤ ÷)   ● ● ● o o o ●  
● o o ● ● 

o o ● ● ● 
图6  

定 义一 个新 的 图像灰 度值 E d g e — n e w( x,  ) :  
Ed ge


l 根 据 阈 值 。 (   ≤ ÷ )  
● ● o o o 
● o o o o  o o o o ● 

n e w(  , . y )一寺 l   f ( x -1 ,   +1 ) +  

厂 (  ~ 1 ,  ) +f ( x 一1 ,   一1 ) 一f ( x +1 , Y +1 )  


f ( x+1 ,  ) 一f( x+ 1 ,Y 一1 )l , 依 此计 算 出  任 取 小于 1的 正 数 为 阈值 a , 则 竖 直 边 缘 的 

o o o ● ● 
图 7  

的竖 直边 缘 的点 的 E d g e _ n e w( x, j , ) 一1 .  
点被 涂上 白色 , 这样 就补 上 了图 2的缺 失.  

5 .某 人计 划下 周去 某 地 旅游 , 当地 的气 象 预  报是 : 下周 每 天 有 5 O % 的可 能 下 雨 . 为 了简 单 起  见, 假 设 每天 是否 下雨 与前 几 天 的天气 情况 无关 .  

( 3 ) 在这个 问题 中 , E d g e ( x,  ) 值 只可 取到 0 ,  

÷ 号  
对 于 DE来 说 , 如图 3 , 显然 , 中间 两 行 是 边  缘点 , 每一点 的 E d g e ( x ,  ) 都为 1 , 于是 生 成 图像  的这部 分边 缘 , 如图 4 .  
● ● ● ● ● ●  ● ● ● ● ● ●  o o o o o o  o o o o o o 
图3  
根据阈值 a 涂 色 

请估计 在 下周 旅游 时遇 到连 续 3天 下雨 的可 能 性 
有多 大 ?   解  因 为每 天 有 5 O % 的 可能 下雨 , 同样 也 有  5 O   的可 能 不 下雨 . 用 数字 1和 0分 别 表 示 下 雨  和不 下雨 , 则从 周一 到 周 日, 7天对 应 7个 位 置 的 
● ● ● ● ● ◆ 
o o o o o o 

、  

每个位 置 上 1或 0出现 都具 有相 同的可 能性.  
连 续 3天 下 雨 这 个 事 件 发 生 , 包 含了连续 4   天, 5天 , 6天 , 7天下雨 的情 况 . 因此 , 可 以用 固定  3 个 连续 位置 上 出现 1 , 其 它 4个 位置 上任 意 出 现  1 和 0来 表达 “ 连 续 3天下 雨” 事件 发生 .   7天 内每 天是 否下 雨 的所有 可 能 情况 共 有 2  

o o o o o o  ● ● ● ● ● ● 
图4  

对 于 EF来 说 , 如图 5 , 根据 E d g e ( x,  ) 的算 

种. 连续 3天下雨 的情况 可 以分 以下几 类 考虑 :  

法, 如果定义÷<。 ≤÷, 生成的边缘图像就为  
图6 ; 如果定义 n ≤÷ , 生成的边缘图像就为图 7 .  
比较 图 4与 图 6 、 图 4与 图 7 . 若 设 定 图 4中  边缘 的宽 度 ( 横 向 的两 行 白点 ) 为 1 , 则 图 6中边  缘 的宽度 ( 斜 置 的两 列 自点 ) 为  , 图 7中 边缘 的 

1 。 前 3天下 雨 , 后 面 的 4天 是否 下 雨未定 , 这 

样 的所 有可 能情 况共 有 2   种.  

2 。 第二 天到 第 四天下 雨 , 第 一 天不 下 雨 ( 第 一 
天下 雨情 况 已经计 算 在 1 。 中) , 最 后 的 3天是 否下  雨未 定 , 这样 的所 有 可能情 况 共有 2 。 种.   3 。 第三 天到 第 五天下 雨 , 扣 除第 二天下 雨 的 2  
种情 况“ 1 1 ,0 1 ” , ( 已经 计 算 在 1 。 , 2 。 中) , 考 虑 第 

O , O o ” 和最 后 两 天 是 否  宽 度 ( 斜 置 的 四 列 白 点 ) 为  , 而   < 1 < 学,   二天 不下 雨 的两 种 情 况 “1 图 2显示 的 DE边 缘 白线 比 E F 边缘 白线 粗 , 所  下雨 未定 的所 有可 能情 况共 有 2 ×2   种.   4 。 第 四天到 第六 天下 雨 , 扣除 第三 天下 雨 的 4  

以E F边缘白线应当是图 6 , 即÷<口 ≤ .  

种情 况“ 0 1 1 , 0 0 1 , 1 0 1 , 1 1 1 ”( 已经 计算 在 1 。 , 2 。 , 3 。   中) , 考 虑 前 3天 的其 余 四种 情 况 “ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 ,  
l 1 0 ” 以及 后 1天是 否下 雨未 定 的所有 可 能情 况 共 
有 4 ×2种.  
( 下转 第 6 2页 )  

6 2  















_









 

V 

) / /

 

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冰箱 , z分 钟后 饮 料 的 温    庙  科 的 温  黝 则    -2   6   , 由已知 得  “




( O ? 9 9 1 9 )  
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,  

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一 o .  
…  
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器 嚣  

:   , 饮 料 可 以 达 到 l 。 ℃ .  



~口 Q — l  

6  

6= : = o o s 4  


”  闩
( 1 )  

筹  


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