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【高考冲刺】山东省2015届高三预测金卷(数学文)


2015 届高三预测金卷(山东卷) 数学文
一. 选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1.设集合 A ? {x | y ? 2 ? x} , B ? {x | y ? ln(3 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. {x | x ? ?2} C. {x | ?2 ? x ? 3} 【答案】D 【解析】 试题分析: A ? {x | x ? ?2} ,

B ? {x | x ? 3} 故选 D. 考点:集合的运算 2.数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -c, 则 c=1 是数列{an}为等比数列的 A. 充分非必要条件 C.充分必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析:因为数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -c, 则 c=1 是数列{an}为等比数列的充分必要条件, 故选 C.学优高考网 考点:充分必要条件,等比数列的定义. 3.设 z ?| 3 ? i | ?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数为( ) A. 2 ? i 【答案】A 【解析】 试题分析: z ?| 3 ? i | ?i =2+i,所以共轭复数为 2 ? i . 故选:A
·1·
n n



B. {x | x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? 3}

A ? B? { x| ? 2 ? x ? 3 } ,

(

)

B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

B. 2 ? i

C. 4 ? i

D. 4 ? i

考点:复数的运算,求模运算. 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是( ) .

A.

2 2

B. ?1

C .0

D. ? 1 ?

2 2

【答案】D

考点:程序框图,直到型循环结构. 5. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f (? x) , 当 x ? ? 0, ? 时,f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 则 f ( x) 2

? ?

1? ?

·2·

在区间 ?1, ? 内是( ) A.减函数且 f ( x) ? 0 C.增函数且 f ( x) ? 0 【答案】B 【解析】 试题分析:因为定义在 R 上的奇函数满足 f(x+1)=f(-x) , 所以 f(x+1)=-f(x) ,即 f(x+2)=-f(x+1)=f(x) ,所以函数的周期是 2, 则 f(x)在 ?1, ? 上图象和在(-1,设 x∈(-1,B.减函数且 f ( x) ? 0 D.增函数且 f ( x) ? 0

? 3? ? 2?

[:]

? 3? ? 2?

1 )上的图象相同, 2

1 1 ) ,则 x+1∈(0, ) , 2 2 1 又当 x∈(0, ]时,f(x)=log 2 (1-x) ,所以 f(x+1)=log 2 (-x) , 2
由 f(x+1)=f(-x)得,f(-x)=log 2 (-x) , 所以 f(x)=-f(-x)=-log 2(-x) ,由 x∈(-1,数,且 f(x)<f(-1)=0, 所以则 f(x)在区间 ?1, ? 内是减函数且 f(x)<0, 故选:B. 考点:函数的性质,奇偶性与单调性. 6.已知椭圆 C:

1 1 )得,f(x)=-log 2(-x)在(-1,- )上是减函 2 2

? 3? ? 2?

x2 y2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线 4 3


段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? ( A.4 【答案】C 【解析】 B.8 C.12 D.16

试题分析:如图,设 MN 的中点为 P,由题意可知,PF1,PF2 分别为 ?AMN , ?BMN 的中位线,
·3·

∴ | AN | ? | BN |? 2(| PF 1 | ? | PF 2 |) ? 2 ? 4 ? 8 .

故选 A. 考点:椭圆的性质.

7. 为了得到函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? A.向左平移 【答案】D 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的图像, 可将函数 g ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图像 (



? 3

B.向右平移

? 3

C.向左平移

? 6

D.向右平移

? 6

?

? ? ? ) ? 2sin ?2( x ? ) ? , 6 12 ? ?

? ? ? ? ? g ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin ?2( x ? ) ? 可得向右平移 . 6 6 12 ? ?
故选:D. 考点:三角函数恒等变换和图象的平移. 8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( )

·4·

A.2 【答案】D 【解析】

B.

9 2

C.

3 2

D.3

试题分析:由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,PA⊥底面 ABCD,PA=x,底面是一个上下边分 别为 1,2,高为 2 的直角梯形.V= ? 故选:D. 考点:几何体三视图,几何体的体积. 9. “直线 l1: ax+2y-8=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”是 “ a ? 1 ”的 A.充分而不必要 C.充要条件 【答案】C B.必要而不充分 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 (1 ? 2) ? 2 x ? 3 ,所以 x=3. 3 2

?a (a ? 1) ? 2 ? 【解析】 直线 l1: ax+2y-8=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”的充要条件是 ? a 即a ?1, 2 ?8 , ? ? ? ? 2 a ?1 4
故选 C. 考点:考查直线平行,充分条件、必要条件. 10.设曲线 y ? x 为 A.
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值

1 n

B.

n n ?1

C.

1 n ?1

D. 1

【答案】C 【解析】 试题分析:曲线 y ? x
n ?1

(n ? N * ) , y? ? (n ? 1) x n , f ?(1) ? n ? 1,∴曲线 y=xn+1(n∈N*)在(1,1)
n ,因此。 n ?1

处的切线方程为 y ? 1 ? (n ? 1)(x ? 1) ,该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ?

x1 ? x2 ??? xn ?
故选 C.

1 2 n ?1 n 1 ? ..... ? ? 2 3 n n ?1 n ?1

考点:导数的运算,导数的几何意义,两直线的交点.
·5·

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
2 3

11.已知 x 3 > x 5 ,则 x 的取值范围是_______________. 【答案】 (-∞,0)∪(1,+∞) 【解析】 试题分析: 在同一坐标系中画出 y= x 与 y= x 的图象观察交点的坐标, 得到结论 x∈(-∞,0)∪(1,+∞). 考点:幂函数的性质. 12.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一组新数 据,则所得新数据的平均数和方差分别是 _______________. 【答案】62.8 , 3.6 【解析】 试题分析:由平均数与方差的公式可得平均数为 60+2.8=62.8,方差不变. 考点:平均数与方差. 13.已知 a ? 6, b ? 3, a ? b ? ?12, ,则向量 b 在向量 a . 上的投影是 【答案】-2 【解析】 试题分析:a ? b ? a ? b cos ? ? 18cos ? ? ?12,? b cos ? ? ?2 , 所以向量 b 在向量 a . 上的投影是-2. 考点:投影,向量模,数量积.
2 14. 设二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 ?0, ?? ? , 则u ?
2 3 3 5

?

?

? ?

?

??



? ?

? ?

?

?

??

1 4 ? 2 的最小值为 c ?1 a ? 4
2



【答案】 【解析】

2 3
2

试题分析:∵二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) ,∴a>0,△=4-4ac=0,∴a>0, c>0, ac=1. 则可知 u ?

1 4 c a a2 ? c2 2 当 a?c最 ? ? ? ? ? a?c? 2 2 c ? 1 a ? 4 a(c ? a) c(c ? a) ac(c ? a) (c ? a)

小时,则可知 a ? c ?

1 4 2 ? 2 最小,根据 a ? c ? 2 ac ? a ? c ? 2 时,则有 u ? 2 的最 c ?1 a ? 4 (c ? a )
·6·

小值为

2 。 3

考点:二次函数的性质,基本不等式.
2 15. 已知正项数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 对 ? n ∈N﹡有 2 S n = an 令 bn= +an .

an

1 , an+1+an+1 an

设{ bn }的前 n 项和为 Tn ,则在 T1,T2,T3,?,T100 中有理数的个数为_____________. 【答案】9 【解析】
2 2 2 试题分析: 由 2 S n = an+an 可得 2Sn?1 ? an 两式相减得 2an ? an ? an ?1 ? an?1 , ?1 ? an ? an?1 化简得
2

2 2 n ? 1 时, 2a1 ? a12 ? a1 解 an ? an?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ?1 ? 1 ,正项数列{ an }是等差数列,当

得 a1 ? 1 ,故 an ? n ; bn=

1 n n ? 1+? n ? 1? n

?

1 1 n ?1 ? n 1 1 ? , ? ? ? n ?1 ? n n ? n ?1 n ?1 ? n n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? 1? ,故当 2 2 3 n ?1 n n n ?1 n ?1

Tn ? 1 ?

n ? 3,8,15, 24,35, 48,63,80,99 时前 n 项和为 Tn 为有理数,故在 T1,T2,T3,?,T100 中有理数的
个数为 9 个. 考点:等差数列的定义,等差数列的通项公式、裂项求和方法. 三、解答题(共 6 小题,75 分) 16.(本小题满分 12 分) 将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数, (1)求点数之和是 5 的概率; (2)设 a,b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数,求等式 2 【答案】 (1) 【解析】
·7·
a ?b

? 1 成立的概率。

1 9

(2)

1 6

试题分析:将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次的基本事件总数为 N ? 6 ? 6 ? 36 个. (1)因为事件“ x ? y ? 5 ”包含 (1 , 4) 、 (3, 2) 、 (2 ,3) 、 的概率为 P 1 ?

(4 ,1) 四个基本事件,所以事件“ x ? y ? 5 ”

4 1 ? ; 36 9
a ?b

(2)因为事件“ 2

? 1 ,即 a=b” 包含 (1,1) 、 (2 , 2) 、 (3 , 3) 、 (4 , 4) 、 (5 , 5) 、 (6 , 6) 共 6 个基
a ?b

本事件,所以事件“ 2 考点:古典概型.

? 1 ”的概率为 P2 ?

6 1 ? . 36 6

17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 sin(

1 π 11 ? A) ? , cos( π ? B ) ? ? . 2 2 14

(1)求 sin A 与 B 的值; (2)若角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? 5 ,求 b , c 的值. 【答案】 (1) (1) sin A ? 【解析】 试题分析: (1) ∵ sin( 且 0 ? B ? ? ,∴B=

? 5 3 ,B= ;(2)b=7,c=8. 3 14

π 11 11 5 3 ? A) ? , o s ∴ cos A ? , ∴ sin A ? , ∵c 14 2 14 14

? o s ?? ? B ? ? c

1 B?? , 2

? 3
a sin B ? 7 ,由余弦定理得,49 ? 25 ? c 2 ? 5c ,解得 c=8,或 c=-3(舍), sin A

(2)由正弦定理得,b ? 所以 b=7,c=8.

考点:正弦定理,余弦定理,同角三角函数公式. 18.(本小题满分 12 分)

[:.]

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且面 PAB ? 面

ABCD , PA ? 1 , PC ? 2 .

·8·

(Ⅰ) 若点 E 是 PC 的中点,求证: PA // 面 BDE ;

(Ⅱ) 若点 F 在线段 PA 上,且 PF ?

1 PA , 3

求三棱锥 B ? AFD 的体积.

【答案】(Ⅰ)见答案(Ⅱ) 【解析】 试题分析:

1 6.

(Ⅰ)连接 AC,设 AC ? BD ? O ,?点E是PC的中点 。



?PAC中,EO / / PA, 又EO ? 面BDE

PA ? 面BDE,? PA / /面BDE ???? 5 分
(Ⅱ)? PA ? PB ? AB ? 1, 取AB的中点M.

? PM ? AB且PM ?

3 , 2

?面PAB ? 面ABCD, 面PAB ? 面ABCD ? AB

·9·

? PM ? 面ABCD, 作FN / / PM 交AB于点N.
1 3 ? FN ? 面ABCD.? PF ? PA,? FM ? . 3 3
?四边形ABCD是矩形, ? BC ? 面PAB.

??PBC为直角三角形, ? BC ? 3.
所以 VB ? AFD ? VF ? ABD ?

1 1 S ABD .FN ? ???????12 分 3 6.

考点:线面平行的判定,棱锥的体积. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 2 ln x ( a ?R) . (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设函数 g ( x ) ? ? 围. 【答案】 (1) 2 x ? y ? 2 ? 0 【解析】 试题分析: (1) a ? 2 时, f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x ,? f ?( x) ? 2(1 ? (2)a>0

1 x

a .若至少存在一个 x0 ? ?1, e? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范 x

1 x

1 2 )? , 2 x x

? f ?(1) ? 2, 又 f (1) ? 0, ? 在点 (1, 0) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? 2,
? 切线方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .
(2)? g ( x) ? ?

a 1 a , f ( x) ? g ( x) ,? a( x ? ) ? 2ln x ? ? , x x x 2ln x 2ln x ?ax ? 2ln x, x ??1, e? ,? a ? , 依题意 a ? ( )min , x ? ?1, e? , x x 2 ln x 2? ( 1 xl n ) h( x )? h , ? x( ? ) . x x2
由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时, h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, e? 上为增函数.

? h( x)min ? h(1) ? 0. ∴a>0
考点:导数及几何意义,函数单调性.
·10·

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn , 且 Sn = 2an - 2(n = 1, 2,3?) , 数列 {bn }中, 点 P(bn b1 = 1 , , bn+ )1 在直线 x - y + 2 = 0 上. (I)求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; (II) 设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,并求满足 Tn < 167 的最大正整数 n . 【答案】 (1) an ? 2n,bn ? 2n ? 1 【解析】 试题分析: (1)? Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2, (2) 4

又Sn-Sn?1=an,(n ? 2, n ? N * )

???? 2 分

? an ? 2an ? 2an?1 , ? an ? 0,
?

.

an ? 2, (n ? 2, n ? N * ),即数列?an ? 是等比数列。????3 分 an?1

? a1 ? S1 ,? a1 ? 2a1 ? 2,   即a1=2,       ? an ? 2n…………………………………………………………4分
?点( P bn , bn?1 )在直线x-y+2=0上, ?bn ? bn?1+2=0

?bn?1 ? bn ? 2,即数列?bn ? 是等差数列,又b1=, 1 ?bn ? 2n ?1??6 分

·11·

考点:等比数列的定义及通项公式,错位相减法求和. 21. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴相交于两点 M,N(点 M 在点 N 的右侧),且

x2 y2 |MN|=3,已知椭圆 D: 2 + 2 错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的焦距等于 2|ON|,且过点( 2 错误! a b
未找到引用源。,

6 错误!未找到引用源。 ). 2

(1)求圆 C 和椭圆 D 的方程; (2)若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,求证:直线 NA 与直线 NB 的倾斜角互补. 【答案】 (1) (x-

5 2 2 25 错误!未找到引用源。 ) +(y-2) = 2 4
·12·

y2 x2 错误!未找到引用源。+ =1 3 4

(2)

见解析 【解析】 试题分析:(1)解:设圆的半径为 r,由题意,圆心为(r,2), 因为|MN|=3,

3 5 2 2 25 错误!未找到引用源。 ) +2 = 错误!未找到引用源。,r= 错误!未找到引用源。, 2 2 4 5 25 2 2 故圆 C 的方程是(x- 错误!未找到引用源。 ) +(y-2) = 错误!未找到引用源。 ① 2 4
所以 r =(
2

在①中,令 y=0 解得 x=1 或 x=4, 所以 N(1,0),M(4,0).

? 2c ? 2, ? 2 由? c 1 错误!未找到引用源。得 c=1,a=2,故 b =3. e? ? ? a 2 ?
所以椭圆 D 的方程为

y2 x2 错误!未找到引用源。+ =1. 3 4

(2)证明:设直线 l 的方程为 y=k(x-4).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 错误!未找到引用源。 3 ? y ? k ? x ? 4? , ?
得(3+4k )x -32k x+64k -12=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=
2 2 2 2



32k 2 64k 2 ? 12 错误!未找到引用源。 ,x 错误!未找到引用源。. 1x2= 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

当 x1≠1,x2≠1 时,

kAN ? kBN ?

y1 y ? 2 错误!未找到引用源。 x1 ? 1 x2 ? 1

错误!未找到引用源。 ?

k ? x1 ? 4 ? k ? x2 ? 4 ? 错误!未找到引用源。 ? x1 ? 1 x2 ? 1
[:]

?k?

? x1 ? 4?? x2 ?1? ? ? x2 ? 4?? x1 ?1? 错误!未找到引用源。 ? x1 ?1?? x2 ?1?
·13·

=

? x1 ?1?? x2 ?1?
k

k

?? ?2 x1 x2 -5 ? x1 +x2 ? +8? ?

=

? 2 ? 64k 2 ? 12 ? 160k 2 ? ? =0. ?? ? ? 8 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ? ? ?

所以 kAN ? ?kBN 当 x1=1 或 x2=1 时,k=±

1 错误!未找到引用源。, 2

此时,对方程②,Δ =0,不合题意. 所以直线 AN 与直线 BN 的倾斜角互补. 考点:圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,斜率公式.

-END-

·14·


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